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【创新方案】2013年高考数学一轮复习 第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第4讲 指数与指数函数教案 理 新人教版

第4讲
【2013 年高考会这样考】

指数与指数函数

1.考查指数函数的图象与性质及其应用. 2.以指数与指数函数为知识载体,考查指数的运算和函数图象的应用. 3.以指数或指数型函数为命题背景,重点考查参数的计算或比较大小. 【复习指导】 1.熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础,较高的运算能力是高考得分的保障,所 以熟练掌握这一基本技能是重中之重. 2.本讲复习,还应结合具体实例了解指数函数的模型,利用图象掌握指数函数的性质.重 点解决:(1)指数幂的运算;(2)指数函数的图象与性质.

基础梳理 1.根式 (1)根式的概念 如果一个数的 n 次方等于 a(n>1 且,n∈N ),那么这个数叫做 a 的 n 次方根.也就是,若
*

n xn=a,则 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n>1 且 n∈N*.式子 a叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数.
(2)根式的性质 ①当 n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数,这时,a 的 n 次方根用符号 a表示. ②当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数的正的 n 次方根用 符号 a表示,负的 n 次方根用符号- a表示.正负两个 n 次方根可以合写为± a(a>0).
n ③? n ? =a.

n

n

n

n

? a?

④当 n 为奇数时, a =a;
?a ? a≥0? ? n n 当 n 为偶数时, a = |a|=? ? ?-a ? a<0?

n

n

.

⑤负数没有偶次方根. 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正整数指数幂:a =a·a·?·na (n∈N ); 个
1
n
*

②零指数幂:a =1(a≠0); 1 -p * ③负整数指数幂:a = p(a≠0,p∈N );

0

a

④正分数指数幂:a = a (a>0,m、n∈ N ,且 n>1);

m n

n

m

*

m 1 1 * ⑤负分数指数幂:a- = = (a>0,m、n∈N 且 n>1). n m a n n am

⑥0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的性质 ①a a =a
r s r s r+s

(a>0,r、s∈Q)

②(a ) =a (a>0,r、s∈Q) ③(ab) =a b (a>0,b>0,r∈Q). 3.指数函数的图象与性质
r r r

rs

y=ax

a>1

0<a<1

图象

定义域 值域 性质

R (0,+∞) 过定点(0,1)

x<0 时,0<y<1 x<0 时,y>1.
在(-∞,+∞)上是减函数

当 x>0 时,0<y<1; 当 x>0 时,y>1; 在(-∞, +∞)上是增函数

一个关系 分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的, 分数指数幂与根式可以相互转化, 通常利用分数指数幂 进行根式的化简运算. 两个防范 (1)指数函数的单调性是由底数 a 的大小决定的, 因此解题时通常对底数 a 按: a<1 和 a 0< >1 进行分类讨论. (2)换元时注意换元后“新元”的范围.
2

三个关键点 1? ? x 画指数函数 y=a (a>0,且 a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),?-1, ?.

?

a?

双基自测 1.(2011·山东)若点(a,9)在函数 y=3 的图象上,则 tan A.0 C.1
a x


6

的值为(

).

B.

3 3

D. 3

解析 由题意有 3 =9,则 a=2,∴tan 答案 D 2.(2012·郴州五校联考)函数 f(x)=2


6

=tan

π = 3. 3

|x-1|

的图象是(

).

?2 ,x≥1, ? 解析 f(x)=??1?x-1 ??2? ,x<1, ?? ?
答案 B

x-1

故选 B.

1 3.若函数 f(x)= x ,则该函数在(-∞,+∞)上是( 2 +1 A.单调递减无最小值 C.单调递增无最大值 解析 设 y=f(x),t=2 +1, 1 x 则 y= ,t=2 +1,x∈(-∞,+∞)
x

).

B.单调递减有最小值 D.单调递增有最大值

t

t=2x+1 在(-∞,+∞)上递增,值域为(1,+∞).
1 因此 y= 在(1,+∞)上递减,值域为(0,1).

t

答案 A

?1? 4.(2011·天津)已知 a=5log23.4,b=5log43.6,c=? ?log30.3,则( ?5?
A.a>b>c C.a>c>b B.b>a>c D.c>a>b

).

3

10 10 ?1? 解析 c=? ?log30.3=5-log30.3=5log3 , 23.4>log22=1, 43.6<log44=1, 3 log log log 3 3 ?5? >log33=1, 10 10 10 又 log23.4>log2 >log3 ,∴log2 3.4>log3 >log4 3.6 3 3 3 又∵y=5 是增函数,∴a>c>b. 答案 C 1 1 -1 2 -2 5.(2012·天津一中月考)已知 a +a- =3,则 a+a =______;a +a =________. 2 2 1 1 2 -1 解析 由已知条件(a +a- ) =9.整理得:a+a =7 2 2 又(a+a ) =49,因此 a +a =47. 答案 7 47
-1 2 2 -2

x

考向一 指数幂的化简与求值 【例 1】? 化简下列各式(其中各字母均为正数). 2 1 1 1 -1 ? a ·b ? - ·a- ·b 3 2 2 3 (1) ; 6 5 a·b 5 1 1 -1 2 -3 1 -2 (2) a ·b ·(-3a- b )÷(4a ·b ) . 6 3 2 3 2 [审题视点] 熟记有理数指数幂的运算性质是化简的关键.

a- b ·a- b
解 (1)原式=

1 1 3 2

1 1 2 3

a b

1 5 6 6

1 1 1 1 1 5 1 =a- - - ·b + - = . 3 2 6 2 3 6 a 5 1 -3 2 -3 1 (2)原式=- a- b ÷(4a ·b ) 2 6 3 2 5 1 -3 ? 1 3? =- a- b ÷?a b- ? 4 6 ? 3 2? 5 1 3 =- a- ·b- 4 2 2 5 1 5 ab =- · =- 2 . 3 4 4ab ab 化简结果要求
4

(1)若题目以根式形式给出,则结果用根式表示; (2)若题目以分数指数幂的形式给出,则结果用分数指数幂表示; (3)结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又有负指数幂. 【训练 1】 计算: 1 ? 1?-2 ? 7?1 0 (1)0.027- -?- ? +?2 ? -( 2-1) ; 3 ? 7? ? 9?2
-1 3 ? 4ab ? ?1? 1 (2)? ?- · . 1 ?4? 2 -2 3 -3 0.1 ? a b ? 2

解 (1)原式=?

? 27 ?-1-(-1)-2?1?-2+?25?1-1 ? ?7? ? 9 ?2 ?1 000? 3 ? ? ? ?

10 5 = -49+ -1=-45. 3 3 1 3 4 ·4 2 2 3 3 3 3 4 0 0 4 (2)原式= ·a ·a- ·b ·b- = a ·b = . 100 2 2 2 2 25 25 考向二 指数函数的性质 【例 2】? 已知函数 f(x)=? (1)求函数 f(x)的定义域; (2)讨论函数 f(x)的奇偶性; (3)求 a 的取值范围,使 f(x)>0 在定义域上恒成立. [审题视点] 对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形;恒成立问题可通过求最值解 决. 解 (1)由于 a -1≠0,且 a ≠1,所以 x≠0. ∴函数 f(x)的定义域为{x|x∈R,且 x≠0}. (2)对于定义域内任意 x,有
x x

? x 1 +1?·x3(a>0 且 a≠1). ? ?a -1 2?

f(-x)=?
x

? -x1 +1?(-x)3 ? ?a -1 2?

? a x+1?(-x)3=?-1- x 1 +1?(-x)3 =? ? ? a -1 2? ?1-a 2? ? ?
=?

? x 1 +1?x3=f(x), ? ?a -1 2?
x

∴f(x)是偶函数. (3)当 a>1 时,对 x>0,由指数函数的性质知 a >1, ∴a -1>0,
x

1

ax-1 2

1 + >0.

5

又 x>0 时,x >0,∴x ?
3 3

? x 1 +1?>0, ? ?a -1 2?

即当 x>0 时,f(x)>0. 又由(2)知 f(x)为偶函数,即 f(-x)=f(x), 则当 x<0 时,-x>0,有 f(-x)=f(x)>0 成立. 综上可知,当 a>1 时,f(x)>0 在定义域上恒成立. ? a +1? x 当 0<a<1 时,f(x)= . x 2? a -1? 当 x>0 时,1>a >0,a +1>0,
x x x
3

ax-1<0,x3>0,此时 f(x)<0,不满足题意;
当 x<0 时,-x>0,f(-x)=f(x)<0,也不满足题意. 综上可知,所求 a 的取值范围是 a>1. (1)判断此类函数的奇偶性,常需要对所给式子变形,以达到所需要的形式,另 外,还可利用 f(-x)±f(x),

f? x? 来判断. f? -x?

(2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题,是解决恒成立问题的常用方法. e a 【训练 2】 设 f(x)= + -x是定义在 R 上的函数. a e (1)f(x)可能是奇函数吗? (2)若 f(x)是偶函数,试研究其在(0,+∞)的单调性. 解 (1)假设 f(x)是奇函数,由于定义域为 R,
-x

a? e a ?e ∴f(-x)=-f(x),即 + x=-? + -x?, a e ? a e ?

x

-x

? 1? x -x 整理得?a+ ?(e +e )=0, ?
a?
1 2 即 a+ =0,即 a +1=0 显然无解.

a

∴f(x)不可能是奇函数. (2)因为 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x), e a e a 即 + x= + -x, a e a e
x
-x

? 1? x -x 整理得?a- ?(e -e )=0, ?
a?
1 又∵对任意 x∈R 都成立,∴有 a- =0,得 a=±1.

a

当 a=1 时,f(x)=e +e ,以下讨论其单调性, 任取 x1,x2∈(0,+∞)且 x1<x2,
6

-x

x

则 f(x1)-f(x2)=ex1+e-x1- ex2-e-x2 ? ex1-ex2? ? ex1+x2-1? = , ex1+x2 ∵x1,x2∈(0,+∞)且 x1<x2, ∴ex1+x2>1,ex1-ex2<0,∴ex1+x2-1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), e a ∴函数 f(x)= + -x, a e 当 a=1 时在(0,+∞)为增函数, 同理,当 a=-1 时,f(x)在(0,+∞)为减函数. 考向三 指数函数图象的应用 e +e 【例 3】? (2009·山东)函数 y= x -x的图象大致为( e -e
x
-x -x

).

[审题视点] 函数图象的判断要充分利用函数的性质,如奇偶性、单调性. e +1 2 2 2x 解析 y= 2x =1+ 2x , x>0 时, -1>0 且随着 x 的增大而增大, y=1+ 2x 当 e 故 e -1 e -1 e -1 >1 且随着 x 的增大而减小,即函数 y 在(0,+∞)上恒大于 1 且单调递减,又函数 y 是奇 函数,故选 A. 答案 A
2x

ax-1 利用指数函数的图象和性质可研究复合函数的图象和性质, 比如: 函数 y= x , a +1 y=
e -e x ,y=lg(10 -1)等. 2
x x
-x

【训练 3】 已知方程 10 =10-x,lg x+x=10 的实数解分别为 α 和 β ,则 α +β 的值 是________.

解析 作函数 y=f(x)=10 ,y=g(x)=lg x,y=h(x)=10-x 的图象如图所示,由于 y=

x

f(x)与 y=g(x)互为反函数,∴它们的图象是关于直线 y=x 对称的.又直线 y=h(x)与 y= x 垂直, y=f(x)与 y=h(x)的交点 A 和 y=g(x)与 y=h(x)的交点 B 是关于直线 y=x 对称 ∴
的.而 y=x 与 y=h(x)的交点为(5,5).又方程 10 =10-x 的解 α 为 A 点横坐标,同理,
7
x

α +β β 为 B 点横坐标.∴ =5,即 α +β =10. 2 答案 10

难点突破 3——如何求解新情景下指数函数的问题 高考中对指数函数的考查,往往突出新概念、新定义、新情景中的问题,题目除最基本问题 外,注重考查一些小、巧、活的问题,突出考查思维能力和化归等数学思想. 一、新情景下求指数型函数的最值问题的解法 【示例】? (2011·福建五市模拟)设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内 有定义.对于给定的正数 K,定义函数 fK(x)=?
-x

?f? ?

x? ,f? x? ≥K, x? <K,

? ?K,f?

取函数 f(x)=2+x

+e ,若对任意的 x∈(-∞,+∞),恒有 fK(x)=f(x),则 K 的最大值为________.

二、新情景下求与指数型函数有关的恒成立问题的解法 【 示 例 】 ?
?f1? ? ? ? ?f2?

若 f1(x) = 3

|x - 1|

, f2(x) = 2·3

|x - a|

, x ∈ R , 且 f(x) =

x? ,f1? x? ≤f2? x? , x? ,f1? x? >f2? x? ,

则 f(x)=f1(x)对所有实数 x 成立,则实数 a 的取值范围

是________.

8

9