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山东省济宁市兖州区2015-2016学年高一数学上学期期中试题


2015-2016 学年山东省济宁市兖州区高一(上)期中数学试卷
2015 年 11 月 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 1.设全集 U ? x x ? 4, x ? N , A ? ?0,1, 2? , B ? ?2,3? , 则 B ? CU A 等于 ( )

?

?

A

?3?


B

?2,3?

C ?

D

?0,1,2,3?
定 义 域 是 (

2

f ( x) ?

4? x ? log 4 ( x ? 1) x ?1





A ?0,1? ? ?1,4?

B [?1,1) ? (1, 4]

C (?1, 4)

D (?1,1) ? (1, 4]

3







f ( x) ? 2?|x|
y



图 y



是 (

) y y

o
A

x

o
B
1 6.1 数

x

o
C

x

o
D

x

4.已知定义在 R 上的函数 f (x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:

x f (x)
那 么 函

2 2.9 (x) 一

3 -3.5 定 存 在

4 -5.5 零 点 的 区 间 是 (

f

) A (-∞,1)

B (1,2)

C (2,3)

D (3,+∞)

5.若奇函数 f ? x ? 在区间[3,7]上是增函数且最小值为 5,则 f ? x ? 在区间 ? ?7, ?3? 上是





A 增函数且最大值为 ?5

B 增函数且最小值为 ?5
1

C 减函数且最小值为 ?5
6 . 下 列 说 法

D 减函数且最大值为 ?5
中 , 正 确 的 是 (



A 对任意 x∈R,都有 3x>2x; B y=( 3 )-x 是 R 上的增函数; C 若 x∈R 且 x ? 0 ,则 log2 x2 ? 2log2 x ; D 在同一坐标系中,y=2x 与 y ? log 2 x 的图象关于直线 y ? x 对称.
7 .设 f ? x ? 是定义在 ? ?6, 6? 上的偶函数,且 f ? 4? ? f ?1? ,则下列各式一定成立的是 ( )

A f ? 0? ? f ? 6?

B f ? 4? ? f ?3?

C f ? 2? ? f ? 0?

D f ? ?1? ? f ? 4?

8 . 已 知 函 数

0 ) ? l o xg x ? ( 1 ) ) f , 则 f( f( ? f ( x) ? ? ? x 3 ?2 ? 1( x ? 0)

2

1 (的 l o 值g是 ) 3




A 6

B 5

C

7 2

D

5 3

9.设函数 f ( x), g ( x) 的定义域为 R ,且 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列结论中正 确 ) 的 是 (

A C

f ( x) g ( x) 是偶函数 f ( x) | g ( x) | 是奇函数

B D

| f ( x) | g ( x) 是奇函数 | f ( x) g ( x) | 是奇函数

10. 对于任意实数 x,符号 [x]表示不超过 x 的最大整数(如[-1. 5]=-2,[0]=0,[2. 3]=2), 则

1 1 [log 2 ] ? [log 2 ] ? [log 2 1] ? [log 2 3] ? [log 2 4] 4 3





为 (



A 0

B -2

C -1

D 1

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上
2

11. (log43+log83) (log32+log92)=_________. 12.已知幂函数 f ? x ? 图象过点 (3,

3 ) ,则 f (9) ? 3


13.已知集合 A ? {x | x2 ? 1}, B ? {x | ax ? 1} ,若 B ? A ,则实数 a 的值为 14.已知函数 f(x)=4x -kx-8 在[5,20]上具有单调性,则实数 k 的取值范围为 _________________.
2

15. 定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0, +∞)上单调递减, 且 f ( ) ? 0, 则满足 f (log 1 x) ? 0
4

1 2

的 x 的集合为____________________.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. (本小题满分 12 分) 集合 A={x|3≤x<10},B={x|2<x<7},C={x|x<a}, (Ⅰ)求 A∪B; (Ⅱ)求(CRA)∩B; (Ⅲ)若 A∩C≠ ? ,求 a 的取值范围.

17. (本小题满分 12 分)

16 ? 1 0.25 0 (Ⅰ)计算 ( 2 ? 3) ? ( 2 2 ) ? 4( ) 2 ? 4 2 ? 8 ? (?2014) 49
3 6

4 3

(Ⅱ)已知 lg2=a,lg3=b,试用 a,b 表示 log12 5 .

18. (本小题满分 12 分)

3

已知函数 y ? (log 2 x ? 2)(log 4 x ? ), 2 ≤ x ≤ 8 . (Ⅰ)令 t ? log2 x ,求 y 关于 t 的函数关系式,并写出 t 的范围; (Ⅱ)求该函数的值域 .

1 2

19 . (本小题满分 12 分) 已知 f ? x ? 是定义在 ? 0, ??? 内的增函数,且满足 f ( xy) ? f ? x ? ? f ? y ? , f ? 2? ? 1 . (Ⅰ)求 f ? 8? ; (Ⅱ)求不等式 f ? x ? ? f ? x ? 2? ? 3 的解集. 20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? a ?

1 (x ? R) . 2 ?1
x

(Ⅰ)求证:不论 a 为何实数 f(x)在(﹣∞,+∞)上为增函数; (Ⅱ)若 f(x)为奇函数,求 a 的值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求 f(x)在区间[1,5)上的最小值.

21 . (本小题满分 14 分) 某校学生研究性学 习小 组发现,学生上课 的注 意力指标 随着听课 时间 的变化而 变化,老师讲课开始 时 ,学生的兴趣激增; 接 下来学生的兴趣将保 持 较理想的状态 一段时间,随后学生的注意力开始分散.设 f(t)表示学生注意力指标,该小组发现 f (t)随时间 t(分钟)的变化规律(f(t)越大,表明学生的注意力越集中)如下:

t ? 10 (0?t ?10) ?100a ?60 ? f (t ) ? ? 340 ( a >0, 且 a ≠1) (10?t ?20) ? ? ?15t ?640( 20?t ?40) ?
若上课后第 5 分钟时的注意力指标为 140 ,回答下列问题: (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)上课后第 5 分钟时和下课前 5 分钟时比较,哪个时间注意力更集中? (Ⅲ)在一节课中,学生的注意力指标至少达到 140 的时间能保持多长?

4

2015-2016 学年山东省济宁市兖州区高一(上)期中 数学试卷答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

B
二、填空题 11.

D

C

C

A

D

D

A

C

C

5 4 1 2

12.

1 3

13.0,±1

14.(﹣∞,40]∪[160,+∞)

15. (0, ) ? (2,?? ) 三、解答题 16.解: (1)∵A={x|3≤x<10},B={x|2<x<7}, ∴A∪B={x|2<x<10};························· 4 分 (2)∵A={x|3≤x<10},B={x|2<x<7},∴CRA={x|x<3 或 x≥10}, 则(CRA)∩B={x|2<x<3}; ······················ 8 分 (3)∵A={x|3≤x<10},C={x|x<a},且 A∩C≠ ? ,∴a>3. ······· 12 分

49 2 4 17.解: (1)原式= (2 ? 3 ) ? (2 ? 2 ) - 4 ? ( ) - 2 ? (23 ) 4 ? 1 ···· 3 分 16
··································
3 4

1 3

1 2 6

1 2

1 4

4 3

1

1

1

= 2 ? 3 ? (2 4 ) 3 ? 4 ?
2 3

7 ? 2 ?1 4

? 108 ? 2 ? 7 ? 3 ? 100 ················· 6 分

10 lg lg 5 2 ? lg10 ? lg 2 ? 1 ? lg 2 ? (2) log12 5 ? lg12 lg 3 ? 4 lg 3 ? lg 4 lg 3 ? 2 lg 2
∵lg2=a,lg3=b,

········· 10 分

log12 5 ?
18.解: y ?

1 ? lg 2 1? a ? lg 3 ? 2 lg 2 b ? 2a

··············· 12 分

1 1 3 (t ? 2)( t ? 1) ? t 2 ? t ? 1 , 2 2 2

又 2 ≤ x ≤ 8 ,∴ 1 ? lo g2 2 ≤ log2 x ≤ log2 8 =3 ,即 1 ≤ t ≤ 3 . ······ 5 分 ( 2 )由( 1 )得: y ? 当t ?

1 3 1 (t ? ) 2 ? , 1 ≤ t ≤ 3 2 2 8

3 1 时, y m i n ? ? ; 8 2
5

当 t =3 时, y m i n ? 1 ;

······················

11 分 12 分

故:该函数的值域为 [ ? ,1] . ···················

1 8

19.解: (1)∵f(xy)=f(x)+f(y)且 f(2)=1 ∴令 x=y=2,则 f(4)=f(2)+f(2)=2, 令 x=4,y=2,则 f(8)=f(4)+f(2)=2+1=3 ··················· 6 分 (2)∵f(x)+f(x-2)>3, ∴f(x(x-2))>f(8),··························· 8 分 又∵f(x)是定义在(0,+∞)内的增函数,

?x ? 0 ? ? x ? 2 ? 0 ,解得 x>4, ? x ( x ? 2) ? 0 ?
∴不等式的解集为(4,+∞). ······················· 12 分 20. (1)∵f(x)的定义域为 R, 任取 x1<x2, 2分

?a? 则 f ( x1 ) ? f ( x 2)
∵x1<x2,∴ 2 1 ? 2
x x2

1 1 2 x1 ? 2 x2 ? a ? =. ···· ? 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 )


? 0, (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 ) ? 0,

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ················ 4 分 所以不论 为何实数 f(x)总为增函数. ··················· ··································· 5 分 (2)∵f(x)在 x∈R 上为奇函数, ∴f(0)=0,即 a ? 下面证明当 a ?

1 ? 0 . 解得 2 ?1
0

a?

1 . ············· 7 分 2

1 时,f(x)为奇函数. 2

f(x)的定义域显然为 R.

? f ( x) ?

1 1 2x ?1 , ? x ? 2 2 ? 1 2(2 x ? 1)

2? x ? 1 (2 ? x ? 1)2 x 1? 2x ? f ( ? x) ? ? ? ? ? f ( x) , 2(2 ? x ? 1) 2(2 ? x ? 1)2 x 2(1 ? 2 x )
故:当 a ?

1 时,f(x)为奇函数. ··················· 9 分 2

(3)由(2)知,? f ( x) ?

1 1 2x ?1 , 由(1)知,f(x)为增函数, ? x ? 2 2 ? 1 2(2 x ? 1)
6

∴f(x)在区间[1,5)上的最小值为 f(1). ∵ f (1) ?

1 1 1 ? ? ,∴ 2 3 6

在区间[1,5)上的最小值为

1 . ······ 13 分 6

21 解: (1)由题意得,当 t=5 时,f(t)=140, ·············· 2 分
5

即 100a100 ? 60 ? 140,解得,a=4; ··················· 4 分 (2)f(5)=140,f(35)=﹣15×35+640=115, ·············· 6 分 由于 f(5)>f(35) ,故上课后第 5 分钟末比下课前 5 分钟末注意力更集中. · 8 分 (3)①当 0<t≤10 时,由(1)知,f(t)≥140 的解集为[5,10], ②当 10<t≤20 时,f(t)=340>140,成立; ③当 20<t≤40 时,﹣15t+640≥140,故 20<t≤ 综上所述,5≤t≤ ,··········· 12 分

, ························ 13 分 ﹣5= 分钟. ······ 14 分

故学生的注意力指标至少达到 140 的时间能保持

7


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