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建立适当的坐标系求平面的法向量


求平面的法向量

直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.

P
a

B
A
向量 a AB, AP

称为直线l的方向向量

平面的法向量:如果表示向量 n 的有向线段所在

直线垂直于平面 ? ,则称这个向量垂直于平 面 ? ,记作 n ⊥? ,如果 n⊥? ,那 么 向 量 n 叫做平面 ? 的法向量.
l

n
A

几点注意: 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都 互相平行;

1. 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 直 角 梯 形 , 且 AD // BC ,
?ABC ? ?PAD ? 90? ,侧面 PAD ? 底面 ABCD . 若 PA ? AB ? BC ?

z

1 AD . 2

(Ⅰ)平面 ABCD
. P

(2)平面 PAC ;

(3)平面 PCD

A B C

D

y

x

问题:如何求平面的法向量?

⑴设平面的法向量为 n ? ( x, y, z )
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a ? (a1 , b1 , c1 ), b ? (a2 , b2 , c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的方程
? ?n ? a ? 0 组? ? ?n ? b ? 0
n a b

⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.

2.如图, ABCD 是边长为 3 的正方形, DE ? 平面 ABCD , AF // DE , DE ? 3 AF , BE 与平面 ABCD 所成角为 600 .(Ⅰ)平面 BDE ; (Ⅱ)平面 ACE; (Ⅲ) 面 BDE⊥面 ACE
E

z

F A

D B

C

y

x

4.如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形, AD//BC, ∠ADC=90° , 平面 PAD⊥底面 ABCD,Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点,PA=PD=2, BC= AD=1,CD= 3 . (Ⅰ)若点 M 是棱 PC 的中点,求平面 BMQ 的法向量; (Ⅱ)求证:平面 PQB⊥平面 PAD;
P

1 2

z

M D Q

C B

A

x

y

设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则

线线垂直
线线平行
线面垂直
线面平行

l ⊥m ? a ⊥b ? a?b ? 0;
l ∥ m ? a ∥ b ? a ? kb ;

l ⊥ ? ? a ∥ u ? a ? ku ; l ∥? ? a ? u ? a ? u ? 0 ;

面面垂直

面面平行

? ⊥ ? ? u ⊥ v ? u ? v ? 0. ? ∥ ? ? u ∥ v ? u ? kv .

注意:这里的线线平行包括线线重合,线面平行 包括线在面内,面面平行包括面面重合.

AE ? EB , AD // EF , EF // BC , BC ? 2 AD ? 4 , 5.在如图的多面体中, EF ⊥平面 AEB ,

EF ? 3 , AE ? BE ? 2 , G

是 BC 的中点.

(Ⅰ)求平面 DEG 的法向量;(Ⅱ) 求证: BD ? EG ;
A D

E

F

B

G

C

2013年全国新课标Ⅰ卷 18题 如图,直棱柱 ABC ? A1 B1C1中 ,D, E分 别 是 AB , BB 的 1 z
2 中点, AA1 ? AC ? CB ? AB . 2 (1)证 明 : BC1 // 平 面A1CD;

x
y

2013年全国新课标Ⅰ卷 18题 如图,直棱柱ABC ? A1B1C1中,D, E分别是AB, BB1的
2 中点,AA1 ? AC ? CB ? AB. 2

z

y
x


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