当前位置:首页 >> 数学 >>

酉空间课件


第四节
一、定义

欧式空间和酉空间

设V是R上的线性空间,在V上定义了一个二元函数, 称为内积,记为(x,y),满足以下性质: 1)对称性(x,y)=(y,x); 2)可加性(x+y,z)=(x,z)+(y,z); 3)齐次性(k x,y)=k(x,y),k为任意实数; 4)非负性(x,x)≥ 0,当且仅当x=0时有(x,x)= 0. 此时称V为欧式空间(有限维或无限维) 注:欧式空间的子空间仍是欧式空间

注:(x,y+z)=(y+z,x)=(y,x)+(z,x) =(x,y)+(x,z) (x,ky)=(ky,x)=k(y,x)= k(x,y) 即:内积对两个变量都满足线性性质. 例:在R n中,取x =(x1,…, xn )T ,y =( y1, …, yn ) T , 令 (x,y)= x1 y1 +…+ xn yn 易验证满足内积四 个 条件,故为欧氏空间,仍记为R n.

例: f, g∈ C [a,b],令 (f, g)= 则C [a,b]为欧氏空间.

? f ( x) g ( x)dx ,
a

b

定义:非负实数 ( x, x) 称为x的长度(模),记 为 ||x||. 欧氏空间中有:

1)||k x|| = |k| ||x||; 2)||x+y||2+||x-y||2 = 2(||x||2+||y||2)平行四边形公式 3)|(x,y)| ||x||?||y|| 柯西公式 4)||x+y|| ||x||+||y|| 三角不等式
注:由柯西公式引入两个非零向量的夹角:

<x,y> =

( x, y) arccos ?[0, ? ] x y

二、正交性
在欧式空间中,如果(x,y)= 0,则称x与y正交 (垂直), 记为 x ⊥ y. 注: x ⊥ y ? y ⊥ x, 0与任何向量正交. x ⊥ y ? ||x+y||2 = ||x||2+||y||2 勾股定理,可以推 广到一般情形. 定义:n维欧式空间中一组非零的向量,如果它们两 两正交,就称为一组正交向量组,正交向量组是线性 无关的,所以个数不会超过n.

定义:n维欧式空间中,由n个向量组成的正交向量组称 为正交基. 由单位向量组成的正交基称为标准正交基.
注:1)将一组正交基单位化即可得到标准正交基. 2)设e_1,…,e_n为标准正交基,则(e_i, e_j)= 其度量阵为I_n(单位矩阵) 3)在单位正交基下,内积运算变的简单: 设 x=x_1e_1+…+x_ne_n, y=y_1e_1+…+y_ne_n 则(x,y)=x_1y_1+…+x_ny_n = XTY

定理3:对于n维欧式空间的任一基x1 ,? , xn , 均可找到一组标准正交基. 证明方法是构造性的,称为Gram-Schmidt正交化方法:先正交化 y k ? xk ? ?
i ?1 k ?1

( xk , yi ) yi , k ? 1, 2,? , n, (***) (yi , yi )

yk 再单位化zk ? . yk
k ?1 ( xk , yi ) 带入(***)得xk = ? yi +y k = ? ( xk , z i )zi + y k zk , k ? 1, 2,? , n, 即 i ?1 (y i , y i ) i ?1 k ?1

? y1 ( x2 , z1 ) ? ( xn , z1 ) ? ? ? y2 ? ( xn , z2 ) ? ( x1 ,? , xn ) ? ( z1 ,? , zn ) ? . ? ? ? ? ? ? ? 0 yn ? ? ? 这表示过渡矩阵是一个正线上三角阵.

例:在R 4中取一组基x1 ? (1,1,0,0)T , x2 ? (1,0,1,0)T , x3 ? (?1,0,0,1)T , x4 ? (1, ?1, ?1,1)T .将其正交单位化.

正交直和分解:
V 是欧式空间,W ? V,x ? V,若?y ? W,有x ? y,则称x垂直于W, 记为x ? W; W1与W2为V的两个子集,若?x ? W1 ,?y ? W2 , 有 x ? y, 则称W1与W2是正交的,记为W1 ? W2 . 易见,W为V的子空间时,x ? W ? x与W的每个基元都正交,且 W ? ={x ? V|x ? W},仍是V的子空间,称为W的正交补.有以下定理 定理4 设W为V的子空间,则V=W ? W ? .

定理4 设W为V的子空间,则V=W ? W ? . 注1:上述定理中的分解称为V的正交直和分解, 正交直和分解是唯一的,而一般的直和分解不唯一. 注2: 1)(W ? )? ? W,2)dimV=dimW+dimW ? .

推论:任取A=(a ij )n?n ? R n?n ,有N(A) ? R(A T )=R n , 且R(A T )=N(A) ? . 证明:由定理知N(A) ? N(A) ? =R n,下面证明R(A T )=N(A) ? . 任取x ? R(A T ), 有x ? A T? , ? ? R n , 任取y ? N(A), 有Ay ? 0. 则( x, y ) ? xT y ? ? T Ay=0,所以R(A T ) ? N(A) ? . 又dimR(A T )=r(A T )=r(A)=n-dimN(A) ? dimN(A) ? . 所以结论成立.

三、正交变换与正交矩阵
正交变换:欧式空间中的线性变换T称为正交变 换,如果它保持向量的内积不变,即 对任意的V 中的x与y, T(x,y)= (Tx, Ty) =(x,y).

定理:V是欧式空间,T ∈L(V,V),以下命题等 价: 1)T是正交变换 2)T保持长度不变,即 ||T x||=||x||. 3)如果e_1,…,e_n为标准正交基,则Te_1,…,Te_n 为标准正交基. 4)T在V的任一标准正交基下的矩阵为正交矩阵.

注:如果ATA=AAT=I,称A为正交矩阵,正交矩阵满 足性质: (a) A 为非奇异阵, |A|= ±1 (b) A -1= A T,都为正交阵 (c)正交阵的乘积仍为正交阵 (d)A的特征值的模为1

四、酉空间简介
定义:设V是C上的线性空间,在V上定义了一个二 元函数(值为复数),称为内积,记为(x,y), 满足以下性质: 共轭对称性(x,y)= ( y, x); 可加性(x+y,z)=(x,z)+(y,z); 齐次性(k x,y)=k(x,y),k为任意复数; 非负性(x,x)≥ 0,当且仅当x=0时有(x,x)= 0. 此时称V为酉空间(有限维或无限维)

例:在C 中任取x=(x1 ,?, xn ) , y=(y1 ,?, yn ) ,
n T T

y =y =(y1 ,?, yn ) , 令
H T T

( x, y) ? x1y1 ? ? ? xn yn ? y H x. 则Cn为一个酉空间.

注: 1 )(x,y +z)=(y +z,x) ?(y,x)?(z,x) ?(x,y)?(x,z) ( x, ky ) ?(ky,x) ? k(y,x) ? k ( x, y ) 2) ( x, x)称为x的长度或模,Cauchy不定式仍成立. ( x, y ) ? x y , 当(x,y)=0时,称x与y垂直,记为x ? y. 3)在酉空间中同样可定义正交基和标准正交基,关于 正交基我们有:任一组线性无关的向量,我们可以用 施密特过程正交化,并扩为一组标准正交基.

4)定义A =A (共轭转秩), 如果A H A=AA H =I,则称A为酉矩阵,
H

T

A = ? 1,两组标基的过渡矩阵为酉矩阵,共轭转秩有以下性质: ( A ? B) H ? A H ? B H , (kA) H ? k A H , ( AB) H ? B H A H , (A H ) H ? A, (A H )?1 = (A ?1 )H (逆存在)

5)T ( x, y ) ? (Tx, Ty ) ? ( x, y )保持内积不变,称T为 酉变换,酉变换在标准正交基下的矩阵为酉矩阵.

6)酉空间也有正交直和分解. 7)如果A H =A,则称A为Hermite矩阵,如果A H =-A, 则称A为反Hermite矩阵.


赞助商链接
相关文章:
更多相关标签: