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专题--数列求和的基本方法和技巧(师)


高中数学新课标讲义——数列专题

专题讲座——数列求和的基本方法和技巧
★数列在高考中的要求:
1.等差数列与等比数列是两种最基本、最重要及应用最广泛的数列,其他数列问题的解决往往借助 它们完成,或经过变形转化为等差或等比数列,或利用等差、等比数列的研究方法。所以等差数列与等比 数列的基础知识是数列中最基本、最重要也最易把握的知识。 2.数列的通项是数列最重要、最常见的表达形式,它是数列的核心。应弄清通项公式的意义——项 数 n 的函数;理解通项公式的作用——可以用通项公式求数列的任意一项的值及对数列进行一般性的研 究。 3.数列的递推式是数列的另一种表达形式,可以是一阶线性递推、二阶线性递推、二次函数形式递 推、勾函数形式递推、与奇偶联系的递推等,是高考的热点。要注重叠加、叠乘、迭代等解题技巧的训练。

4. 数列求和的问题往往和其他知识综合在一起, 综合性教强。 数列求和就显得特别重要, 数列求和就需要根据数列的特点选择最适合的方法, 那么必须掌握几种常用的数列求和方法。
5.自从文科不考数学归纳法以来,数学归纳法几乎成了一个理科必考的内容。而且常常和放缩法、 函数单调性、构造法等联系在一起,能力要求较高。 6.纵观近几年的高考,每年都有求极限的题目。常以选择题、填空题的形式命题,有时也作为某一 大题的某一问出现,难度不大。 7.数列的应用极其广泛,因此尽管现在的应用题多为概率统计,但不排除考数列应用题的可能,也 有可能是数列与概率交汇。 8.数列常与函数、不等式、解析几何、立体几何、导数、三角、向量、二项式等知识联系在一起, 以它的复杂多变、综合性强、解法灵活等特征成为高考的中档题或压轴题。

一、利用常用求和公式求和
1、 等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q 1? q ?
3、 S n ?

? k ? 2n(n ? 1)
k ?1

n

1

4、 S n ?

?k
k ?1

n

2

1 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6

5、 S n ?

?k
k ?1

n

3

1 ? [ n(n ? 1)]2 2

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1

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[例 1] 已知数列 ? an

(x≠0) s n 数列的前 n 项和,求 s n 。 , ?, an ? xn ,

解:当 x=1 时, sn ? n 当 x≠1 时, ? an

? 为等比数列,公比为 x
Sn ? x ? x 2 ? x3 ? ? ? ? ? x n
= (利用常用公式)

由等比数列求和公式得

x (1 ? x n ) 1? x

【巩固练习】1:已知数列 ? an ? 的通项公式为 an ? 3n ?14 , sn 为 ? an ? 的前 n 项和,
(1)求 s n ; 解: (2)求 an 的前 20 项和。

? ?

二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. [例 2] 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 ………( x ? 0 ) 解: 当 x=1 时, Sn ? 1 ? 3 ?1 ? 5 ?12 ? 7 ?13 ???? ? (2n ?1) ?1n?1 ? 1 ? 3 ? 5 ? ?? (2n ?1) ? n2 当 x≠1 时,

S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 ………………. ①
1x ? 3 2 ? 5 3???? ? (n2 xn? 1 n ( 2 xn ………② (设制错位) x x ? 3) ? ? 1)
2 3 4 n?1

①式两边同乘以 x 得 xSn ?

①-②得 (1 ? x)S n ? 1 ? 2x ? 2x ? 2x ? 2x ? ? ? ? ? 2x 再利用等比数列的求和公式得: (1 ? x) S n ? 1 ? 2 x ?

? (2n ? 1) x n

(错位相减)

1 ? x n ?1 ? (2n ? 1) x n 1? x



Sn ?

(2n ? 1) x n?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) (1 ? x) 2

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2

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【巩固练习】2:求数列 ,
解:由题可知,{

2 4 6 2n , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2 2

2n 1 }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ n }的通项之积 n 2 2 2 4 6 2n 设 S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n …………………………………① 2 2 2 2 2 4 2n ? 1 ) n 2 ( 1 ? 3 ? ??? ? ? n ? 1………………………………② Sn ? 2 n 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2n ①-②得 (1 ? ) S n ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 1 2n ? 2 ? n ?1 ? n ?1 2 2 n?2 S n ? 4 ? n ?1 ∴ 2

(设制错位) (错位相减)

三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) ,再把它与原 数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) .
0 1 2 n [例 3] 求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)2 n 0 1 2 n 证明: 设 S n ? Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn ………………………….. ①

把①式右边倒转过来得
n n 1 0 S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ?1 ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn m n 又由 Cn ? Cn ?m 可得 0 1 n n S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ?1 ? Cn …………..…….. ② 0 1 n n 2S n ? (2n ? 2)(Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ?1 ? Cn ) ? 2(n ? 1) ? 2n

(反序)

①+②得 ∴

(反序相加)

S n ? (n ? 1) ? 2 n

【巩固练习】3:求 sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? 的值
解:设 S ? sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 …………. ① 将①式右边反序得
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?
2 2 2 S ? sin 2 89? ? sin 2 88? ? ? ? ? ? s i n 3? ? s i n 2? ? s i n 1? …………..②

(反序)

又因为 sin x ? cos(90 ? x),sin x ? cos x ? 1
? 2 2

①+②得

(反序相加)

2S ? (sin 2 1? ? cos2 1? ) ? (sin 2 2? ? cos2 2? ) ? ? ? ? ? (sin 2 89? ? cos2 89? ) =89
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∴ S=44.5

四、分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或 常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.形如: ?an ? bn 等比数列或常见的数列. [例 4] 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

? 的形式,其中{ an }、{ bn }是等差数列、

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a 1 1 1 解:设 S n ? (1 ? 1) ? ( ? 4) ? ( 2 ? 7) ? ? ? ? ? ( n ?1 ? 3n ? 2) a a a
将其每一项拆开再重新组合得

S n ? (1 ?

1 1 1 ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3n ? 2) a a a (3n ? 1)n (3n ? 1)n 当 a=1 时, S n ? n ? = 2 2

(分组) (分组求和)

1 1? n a n ? (3n ? 1)n = a ? a ? (3n ? 1)n 当 a ? 1 时, S n ? 1 a ?1 2 2 1? a 1?

【巩固练习】4:求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和.
解:设 ak ? k (k ? 1)(2k ? 1) ? 2k 3 ? 3k 2 ? k



S n ? ? k (k ? 1)(2k ? 1) = ? (2k 3 ? 3k 2 ? k )
k ?1 k ?1

n

n

将其每一项拆开再重新组合得 Sn= 2

?
k ?1

n

k 3 ? 3? k 2 ? ? k
k ?1 k ?1

n

n

(分组)

= 2(1 ? 2 ? ? ? ? ? n ) ? 3(1 ? 2 ? ? ? ? ? n ) ? (1 ? 2 ? ? ? ? ? n)
3 3 3 2 2 2

n 2 (n ? 1) 2 n(n ? 1)(2n ? 1) n(n ? 1) ? ? 2 2 2 2 n(n ? 1) (n ? 2) = 2


(分组求和)

五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后 重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如:

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(1) an ? f (n ? 1) ? f (n)

(2)

sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? ? ? cos n cos(n ? 1) (2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(3) a n ? (5) an ? (6) a n ? (7) a n ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(4) an ?

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

n ? 2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n

1 1 1 1 ? ( ? ) ( An ? B)( An ? C ) C ? B An ? B An ? C 1 n 1 1 ? n ?1 ? n (8) = - (9) an ? (n ? 1)! n! (n ? 1)! n ? n ?1 1 1 1 , ,? ? ?, ,? ? ? 的前 n 项和. [例 5] 求数列 1? 2 2 ? 3 n ? n ?1 1 ? n ?1 ? n 解:设 a n ? n ? n ?1 1 1 1 ? ? ??? ? 则 Sn ? 1? 2 2? 3 n ? n ?1
= ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ? ? ( n ? 1 ? n ) = n ? 1 ?1

(裂项) (裂项求和)

【巩固练习】5:①在数列{an}中, an ?
的前 n 项的和. 解:

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn} n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

1 2 n n ? ? ??? ? ? n ?1 n ?1 n ?1 2 2 1 1 ∴ bn ? ? 8( ? ) n n ?1 n n ?1 ? 2 2
∵ an ? 数列{bn}的前 n 项和

(裂项)



1 1 1 1 1 1 1 S n ? 8[(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )] 2 2 3 3 4 n n ?1 1 8n ) = = 8(1 ? n ?1 n ?1 1 1 1 cos1? ? ? ??? ? ? ②求证: cos0 ? cos1? cos1? cos 2 ? cos88? cos89? sin 2 1? 1 1 1 ? ? ??? ? 解:设 S ? ? ? ? ? ? cos 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 88 cos 89 ?
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(裂项求和)

5

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sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? ? ? cos n cos(n ? 1)
?

(裂项)

∴S ?

1 1 1 ? ? ??? ? (裂项求和) ? ? ? ? cos 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 88 cos 89 ? 1 {(tan 1? ? tan 0 ? ) ? (tan 2 ? ? tan 1? ) ? (tan 3? ? tan 2 ? ) ? [tan 89 ? ? tan 88 ? ]} = ? sin 1 1 1 cos1? (tan 89 ? ? tan 0? ) = ? cot 1? = 2 ? = sin 1? sin 1? sin 1

∴ 原等式成立

③求和: sn ?

2 2 2 ? ? ?? ? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1)

六、合并法求和
针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这 些项放在一起先求和,然后再求 Sn. [例 6] 求 cos1°+ cos2°+ cos3°+··+ cos178°+ cos179°的值. · 解:设 Sn= cos1°+ cos2°+ cos3°+··+ cos178°+ cos179° · ∵ cos(180? ? n? ) ? ? cos n? (找特殊性质项)

∴Sn= (cos1°+ cos179°)+( cos2°+ cos178°)+ (cos3°+ cos177°)+·· · +(cos89°+ cos91°)+ cos90° = 0 (合并求和)

【巩固练习】6:在各项均为正数的等比数列中,若 a5 a6 ? 9, 求log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 的
值. 解:设 S n ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 由等比数列的性质 m ? n ? p ? q ? aman ? a p aq 和对数的运算性质 loga M ? loga N ? loga M ? N 得 (合并求和) (找特殊性质项)

S n ? (log3 a1 ? log3 a10 ) ? (log3 a2 ? log3 a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? log3 a6 )
= (log3 a1 ? a10 ) ? (log3 a2 ? a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? a6 ) = log3 9 ? log3 9 ? ? ? ? ? log3 9 =10

七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来

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求数列的前 n 项和,是一个重要的方法. [例 7] 求 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111? ? 之和. ? ? ?1 ?
n个1

解:由于 111? ? ? 1 ? ???
k个1

1 1 ? 999??9 ? (10k ? 1) ???? 9 ? ? 9 k个1

(找通项及特征)

∴ 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111? ? ? ? ?1 ?
n个1



1 1 1 1 1 (10 ? 1) ? (10 2 ? 1) ? (10 3 ? 1) ? ? ? ? ? (10 n ? 1) 9 9 9 9

(分组求和)



1 1 1 (10 ? 102 ? 103 ? ? ? ? ? 10n ) ? (1 ?? 1 ??? ?) 1?? ?? ?1 9 9 ? ?个1 ? n

1 10(10n ? 1) n ? = ? 9 10 ? 1 9 1 n ?1 = (10 ? 10 ? 9n) 81

【巩固练习】7:

已知数列{an}: an ?

n 8 , 求? (n ? 1)(an ? an ?1 ) 的值. (n ? 1)(n ? 3) k ?1

解:∵ (n ? 1)(a n ? a n ?1 ) ? 8(n ? 1)[

1 1 ? ] (找通项及特征) (n ? 1)(n ? 3) (n ? 2)(n ? 4) 1 1 ? ] = 8 ?[ (设制分组) (n ? 2)(n ? 4) (n ? 3)(n ? 4) 1 1 1 1 =4?( (裂项) ? ) ? 8( ? ) n?2 n?4 n?3 n?4
n n 1 1 1 1 ? ) ? 8? ( ? ) n?2 n?4 n?4 k ?1 n ? 3



? (n ? 1)(an ? an?1 ) ? 4? (
k ?1 k ?1

n

(分组、裂项求和)

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