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名校2014届高三12月月考数学试题分类汇编6:三角函数


江苏省名校 2014 届高三 12 月月考数学试题分类汇编 三角函数
一、填空题 1、 (江苏省扬州中学 2014 届高三上学期 12 月月考)已知 f ( x ) ? ?

?cos?x, x ? 0 ,则 ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0

4 f ( ) 的值为 3 3 答案: 2



2、 (江苏省南京市第一中学 2014 届高三 12 月月考)函数 f ( x) ? A s in ( x ? ? ( A ? 0, ? ? 0) 的最大值为 3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为

?
6

) ?1

? ? ,则 f ( ) = 3 2

答案:3 3、 (江苏省东海县第二中学 2014 届高三第三次学情调研)若 ?ABC 的内角 A、B ,满足

sin B ? 2 cos(A ? B ),则 tan B 的最大值为 sin A
答案:



.

3 3

4、 (江苏省东海县第二中 学 2014 届高三 第三次学情调研) 已知 sin( ? ?

?
6

)? ?

?

?
2

4 , 5

? ? ? 0 ,则 cos? ?
3 3?4 10



.

答案:

5、 (江苏省灌云高级中学 2014 届高三第三次学情调研)函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的最小值 是 答案: ? 2 6、 (江苏省阜宁中学 2014 届高三第三次调研)函数 y ? sin x ? sin x ? ? 的最小正周期为 。

?

3

?

▲ . 答案: 2? 7、 (江苏省灌云高级中学 2014 届高三第三次学情调研)已 知函数 y ? f ( x) s in x 的一部分图象如右图所示,则函数

f (x) 可以是________

1

答案: ? 2 cos x

8、 (江苏省粱丰高级中学 2014 届高三 12 月第三次月考)函数 f ( x) ? cos( x ? )cos x 的最小 2 正周期为 ▲ . 答案:

?

?

9、 (江苏省如东县掘港高级中学 2014 届高三第三次调研考试)已知 ? , ? 都是锐角,

sin ? ?

2 1 , cos(? ? ? ) ? , 则 cos ? ? ____ 2 2 2? 6 4

__.

答案:

10 、 江 苏 省 睢 宁 县 菁 华 高 级 中 学 2014 届 高 三 12 月 学 情 调 研 ) 在 ?ABC ( 中, b ? 2, B ?

?
3

, sin 2 A ? sin( A ? C ) ? sin B ,则 ?ABC 的面积为



.

答案: 11、 (江苏省无锡市洛社高级中学等三校 2014 届高三 12 月联考)设 a、b、c 分别是△ABC 中∠A、 B、 C 所对边的边长, ∠ ∠ 则直线 x ? sin A ? ay ? c ? 0 与 bx ? y ? sin B ? sin C ? 0 的 位置关系是 答案:垂直 .

12、 (江苏省兴化市安丰高级中学 2014 届高三 12 月月考)已知 ? ? (? 则 tan(? ?

?
2

,0) , cos? ?

3 , 5

?
4

)? ?

1 . 7

答案: ?

1 7

π 13、 (江苏省张家港市后塍高中 2014 届高三 12 月月考)已知 f(x)=3sin(2x- ),若存在 α∈ 6 (0,π ),使 f(α+x)= f(α-x)对一切实数 x 恒成立,则 α= ▲ 答案:

? 5?
, 3 6
?
4 ?? ,

14、江苏省粱丰高级中学 2014 届高三 12 月第三次月考) ? ? (0, ? ) , s (is ? ) ( 若 且2 n o 3 c ? 则 sin 2? 的值为 ▲ .

2

答案:1 或 ?

17 18
?

0, 15、 (江苏省如东县掘港高级中学 2014 届高三第三次调研考试)设定义在区间( 2 )上的

函数 y=6cos x 的图象与 y=5tan x 的图象交于点 P,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 P1,直线 PP1 与函数 y=sin x 的图象交于点 P2,则线段 P1P2 的长为________. 答案:

2 3

16 、 江 苏 省 无 锡 市 洛 社 高 级 中 学 等 三 校 2014 届 高 三 12 月 联 考 ) 已 知 函 数 (

1 π π f ( x) ? sin(2 x ? ) ,其中 x ? [? , a] .若 f ( x) 的值域是 [ ? ,1] ,则 a 的取值范围是 2 6 6
______. 答案: 17 、 江 苏 省 粱 丰 高 级 中 学 2014 届 高 三 12 月 第 三 次 月 考 ) 在 ?ABC 中 , 若 (

a ? 2 , ?B ? 6 0? b ? ,则 c ? 3. , 7
答案:3 二、解答题 1、 (江苏省诚贤中学 2014 届高三 12 月月考) 在△ ABC ,已知 (sin A ? sin B ? sinC )(sinB ? sinC ? sin A) ? 3 sin B sinC . (1) 求角 A 值; (2) 求 3 sin B ? cos C 的最大值. ⑴因为 (sin A ? sin B ? sin C)(sin B ? sin C ? sin A) ? 3sin B sin C , 由正弦定理,得 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ,…………………………………………2 分 所以 b2 ? c2 ? a2 ? bc ,所以 cos A ? 因为 A? (0, ?) ,所以 A ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ,………………………………4 分 2bc 2

? .…………………………………………………………6 分 3 ? 2? 2? ⑵ 由 A ? ,得 B ? C ? ,所以 3sin B ? cos C ? 3sin B ? cos( ? B) 3 3 3 1 3 ? ? 3 sin B ? (? cos B ? sin B) ? sin( B + ) ,……………………………………10 分 2 2 6 2? ? ? ?? 因为 0 ? B ? ,所以 ? B + ? ,……………………………………………12 分 3 6 6 6 ? ? ? 当 B + ? ,即 B ? 时, 3 sin B ? cos C 的最大值为 1 . ……………………14 分 6 2 3 2、 (江苏省东海县第二中学 2014 届高三第三次学情调研)
已知在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边为 a, b, c 且 b ? a ? c ? ac , b ? 1;
2 2 2

3

(1)若 tan A ? tan C ?

3 (1 ? tan Atan C) ,求 c 的值。 3

(2)若 a ? 2c ,求 ?ABC 的面积。 解: (1)由 b ? a ? c ? ac 及余弦定理得 cos B ?
2 2 2

1 ? ,因为 0 ? B ? ? ,所以 B ? 2 3

因为 tan A ? tan C ? 因为 ?

3 3 (1 ? tan A tan C ) ,所以 tan( A ? C ) ? , 3 3

2? 2? ? 2? ,所以 A ? C ? ,又 A ? C ? , ? A?C ? 3 3 6 3
6 5? ? c b 由 得c ? ,C ? ? 3 12 4 sin C sin B
2 2 2

所以 A ?

……………………7 分

(2)由 b ? a ? c ? ac 知 B ? 角形为直角三角形,则 A ?

?
3

,又 a ? 2c ,得 b ?

3c 因此得 a 2 ? b2 ? c 2 ,故三

?
2

,c ?

1 3 1 ,所以 S ? bc ? ……………………14 分 2 6 3

3、 (江苏省灌云高级中学 2014 届高三第三次学情调研) 已知函数 f ( x) ? cos x, g ( x) ? 1 ?
2

(1)若点 A (? , y) ( ? ? [0,

?
4

1 sin 2 x . 2

] )为函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象的公共点,试求实数 ? 的值;

(2)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x), x ? [0,

?
4

] 的值域.

解: (1)∵点 A (? , y) ( 0 ? ? ? ? )为函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象的公共点

∴ cos ? ? 1 ?
2

1 sin 2? 2

?

1 1 1 ? cos 2? ? 1 ? sin 2? 2 2 2

? cos 2? ? sin 2? ? 1 -----------------------------------------------------------------4 分

? cos2 2? ? sin 2 2? ? 2sin 2? cos 2? ? 1 ? sin 4? ? 0
∴ 4? ? k? , k ? Z ? ? ? ∴? ? 0 ,

? ---------------------------------------------------7 分 4

k? ,k ?Z 4

∵ ? ? [0,

?
4

]

(2) ∵ h( x) ? f ( x) ? g ( x) ∴ h( x) ? cos x ? 1 ?
2

1 1 1 1 sin 2 x ? ? cos 2 x ? 1 ? sin 2 x 2 2 2 2
4

2 2 2 3 1 1 3 ( cos 2 x ? sin 2 x) ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? ? 2 2 2 2 2 2 2 ?
∵ x ? [0,

2 ? 3 sin(2 x ? ) ? --------------------------------------10 分 2 4 2

?
4

]



?
4

? 2x ?

?
4

?

3? 4
2 ? 3 3? 2 sin(2 x ? ) ? ? . 2 4 2 2



2 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 4

∴2 ?

即函数 h( x ) 的值域为 [2,

3? 2 ] .----------------------------------14 分 2
a?c sin B . ? b ? c sin A ? sin C

4、 (江苏省粱丰高级中学 2014 届高三 12 月第三次月考) 在△ ABC 中,已知角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c 且 (I)求 A ;
2

(II)求函数 y ? 2 sin B ? cos( ? 2 B) 的值域.

?

a?c sin B a?c b ,得 ? ? b ? c sin A ? sin C b?c a?c 2 2 2 ? a ? b ? c ? bc ,………………………………………………3 分 1 由余弦定理得 cos A ? …………………………………………4 分 2
解(1)由

3

? 0 ? A ? ? ,? A ?

?

3

………………………………………………6 分

(2)因为 y ? (1 ? cos 2 B) ? ( cos 2 B ?

1 2

3 sin 2 B) 2

3 1 ? sin 2 B ? cos 2 B ? 1 ? sin(2 B ? ) ………………………11 分 2 2 6 ? ? 1 ? ? 2? ? ? 7? 而 A ? ,所以 0 ? B ? ,则 ? ? 2 B ? ? ,所以 sin(2 B ? ) ? ? ? ,1? 6 ? 2 ? 3 3 6 6 6 ?1 ? 故所求函数的值域为 y ? ? , 2 ? ……………………………………14 分 ?2 ? ? 1?
5、 (江苏省如东县掘港高级中学 2014 届高三第三次调研考试) 已知函数 f ( x ) ? sin?x sin( x ? ?

?

6 11? 9? 求 f ( x ) 在区间 [ , ] 上的值域; 12 8

)?

3 ? (? ? 0) ,且其图象的相邻对称轴间的距离为 .(I) 4 4

(II)在锐角 ?ABC 中,若 f ( A ?

?
8

)?

1 , a ? 1, b ? c ? 2, 求 ?ABC 的面积. 2

5

解: (I) f ( x ) ? sin?x(

3 1 3 sin?x ? cos ?x ) ? 2 2 4

?

3 1 3 3 1 3 sin2 ?x ? sin?x cos ?x ? ? (1 ? cos 2 x ) ? sin 2?x ? 2 2 4 4 4 4 1 3 1 ? sin 2?x ? cos 2?x ? sin(2?x ? ) 4 4 2 3
…………3 分

?

由条件知, T ?

?
2

,又 T ?

2? , 2?

?? ? 2 ? f ( x) ?

1 ? 11? 9? sin(4 x ? ) . ? x ? [ , ], 2 3 12 8

? 4x ?

?
3

?[

10? 25? ? 1 , ] , sin(4 x ? ) ? [?1, ] , 3 6 3 2
1 1 2 4
…………7 分

? f ( x ) 的值域是 [? , ] .
(II)由 f ( A ?

?
8

)?

? 1 ,得 A ? , 2 3
2 2 2

…………9 分

由 a ? 1, b ? c ? 2 及余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A ,得

bc ? 1 ,

…………12 分

? ?ABC 的面积 S ?

1 3 bc sin A ? . 2 4

…………14 分

6、 (江苏省张家港市后塍高中 2014 届高三 12 月月考) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 且 f ( A) ? 2cos

A A A A sin(? ? ) ? sin 2 ? cos 2 . 2 2 2 2

⑴ 求函数 f ( A) 的最大值; ⑵ 若 f ( A) ? 0, B ?

?? , a ? 2 6 ,求 c 的值. 12

解: (1) f ( A) ? 2cos 分

A A A A ? sin ? sin 2 ? cos 2 ? sin A ? cos A ? 2 sin( A ? ) .……3 2 2 2 2 4 ? ? ?? .………………4 分 ? A? ? 4 4 4
6

因为 0 ? A ? ? ,所以 ?

? ? 3? 时, f ( A) 取得最大值,且最大值为 2 .………7 分 ? ,即 A ? 4 2 4 ? ? (2)由题意知 f ( A) ? 2 sin( A ? ) ? 0 ,所以 sin( A ? ) ? 0 . 4 4 ? ? ?? ? ? 又知 ? ? A ? ? ,所以 A ? ? 0 ,则 A ? .………………10 分 4 4 4 4 4 ?? 7? ? 因为 B ? ,所以 A ? C ? ,则 C ? .………………12 分 12 12 3 ? 2 6 ? sin a c a sin C 3 ? 6 .………………14 分 由 得, c ? ? ? ? sin A sin C sin A sin 4
则所以当 A ? 7、 (江苏省兴化市安丰高级中学 2014 届高三 12 月月考) 在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 (b 2 ? c 2 ? a 2 ) tan A ? (1)求角 A; (2)若 a=2,求△ABC 面积 S 的最大值. 解: (1)由已知得

3bc.

b 2 ? c 2 ? a 2 sin A 3 3 ? ? ? sin A 2bc cos A 2 2 1 3 bc sin A ? bc 2 4

又在锐角△ABC 中,所以 A=60° (2)因为 a=2,A=60°所以 b 2 ? c 2 ? bc ? 4, S ? 而 b 2 ? c 2 ? 2bc ? bc ? 4 ? 2bc ? bc ? 4 又S ?

1 3 3 bc sin A ? bc ? ?4 ? 3 2 4 4 所以△ABC 面积 S 的最大值等于 3

7


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