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芝罘区数学直线与方程综合测试必修二第3章【基础卷】

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芝罘区数学直线与方程综合测试必修二第 3 章【基础卷】
一. 选择题: 1. 直线 bx ? ay ? ab ﹝ a <0, b <0=的倾斜角的范围是( A. arctan ?? ) D. ? ? arctan

? b? ? ? a?

B. arctan ??

? a? ? ? b?

C. ? ? arctan

b a

a b


2. 设点 A?? 2, 3?、B?3, 2? ,若直线 ax ? y ? 2 ? 0 与线段AB有交点,则 a 的取值范围是( A. ? ? ?, ? ??? , ? ?? 2 3

? ?

5? ?

?4 ?

? ?

B. ?? , ? ? 3 2?

? 4 5?

C. ?? , ? D. ? ? ?, ? ??? , ? ?? 3? ?2 ? 2 3? ? ?

? 5 4?

?

4?

?5

?

3. 在直角坐标系中,△ABC 的三个顶点分别为 A?0, 3?,B?3, 3?,C ?2, 0? ,若直线 x ? a 将 △ABC 分割成面积相等的两部分,则实数 a 的值是( A. ) D. 2 ?

3

B. 1 ?

3 2

C. 1 ?

3 3

2 2


4. 已知 A?1,3?、B?5,?2? ,P为 x 轴上的点,如果 AP ? BP 的绝对值最大,则P点的坐标为( A. ?3.4,0? B. ?13,0 ? ( C. ?5,0? ) D. 3x ? y ? 5 ? 0 D. ?? 13,0?

5. 过点 A?1,2? 且与原点距离最大的直线方程是 A. x ? 2 y ? 5 ? 0 B. 2 x ? y ? 4 ? 0

C. x ? 3 y ? 7 ? 0 )

6. 直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 关于点 ?1,?1? 对称的直线方程是( A. 3x ? 2 y ? 2 ? 0 B. 2 x ? 3 y ? 7 ? 0

C. 3x ? 2 y ? 12 ? 0 D. 2 x ? 3 y ? 8 ? 0

7. 已知直线 l1 和 l 2 的夹角平分线为 y ? x ,如果 l1 的方程为 ax ? by ? c ? 0 ( ab >0), 那么 l 2 的方程为( ) B. ax ? by ? c ? 0 C. bx ? ay ? c ? 0 D. bx ? ay ? c ? 0 )

A. bx ? ay ? c ? 0

8. 已知两条直线 l1 : ax ? by ? c ? 0, l 2 : mx ? ny ? p ? 0 ,则 an ? bm 是直线 l1 ∥ l 2 的( A. 充分不必要条件 二. 填空题: 9. 设 a ? b ? k ( k 为常数),则直线 ax ? by ? 1 恒过定点___________。 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

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10. 实数 x、y 满足 3x ? 2 y ? 5 ? 0 (1≤ x ≤3),则

y 的最大值、最小值分别是_______。 x

11. 若直线 y ? x 与 y ? kx ? 1 有两个交点,则 k 的取值范围是___________。 12. 设点 P 在直线 x ? 3 y ? 0 上,且 P 到原点的距离与 P 到直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 的距离相等,则 P 点 坐标是_________。 三. 解答题: 13. 已知两点 A ? m, 2? , B ? 3,1? ,求直线 AB 的斜率与倾斜角以及倾斜角的范围。

14. 已知直线 l 过 P?2, 且和两条平行直线 l1: 3? , 3x ? 4 y ? 7 ? 0,l 2: 3x ? 4 y ? 8 ? 0 分别相交于 A、B 两点,如果 AB ? 3 2 ,求直线 l 的方程。

15. 等腰直角 ?ABC 的斜边 AB 所在的直线方程是 3x ? y ? 2 ? 0 , C ?

? 14 2 ? , ? ,求直线 AC 和直线 ? 5 5?

BC 的方程及 ?ABC 的面积。

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达标测试答案
一. 1. C 解析:由 bx ? ay ? ab 得斜率 k ? ?

b ?? ? <0,倾斜角 ? ? ? ,? ? a ?2 ?

∴ ? ? ? ? arctan 2. D

b a 5 4 , k PB ? 2 3

解析:直线方程可化为 y ? ?ax ? 2 知过定点 P?0, ? 2? , k PA ? ?

由?a≥ 3. A

4 4 ,得 a ≤ ? 3 3

由?a≤?

5 5 ,得 a ≥ 2 2

解析:显然△ABC 的面积为

9 且 0< a <2,设 x ? a 与 AC、AB 的交点分别为 E、F,则只要 2

求出 E、F 点的坐标,△AEF 的面积可用含有 a 的代数式表示。 由 S ?AEF ?

1 x y S ?ABC 便可求出 a , l AC : ? ? 1 2 2 3
∴ EF ? 3 ? ? 3 ?

?x y 3a ? ? ? ?1 ? 由 ?2 3 得 E ? a,3 ? ? ,同理求得 F ?a,3? 2 ? ? ? ?x ? a
于是 S ?AEF ? 4. B 为所求。

? ?

3a ? 3a ?? 2? 2

1 3a 1 9 ? ? a ? S ?ABC ? 2 2 2 4

解得 a ?

3 ( a ? ? 3 舍)

解析:画出坐标系,作B关于x轴对称点 B’,连结 AB’并延长与 x 轴交于 P 点,则 P 点即

PA ? PB ? PA ? PB ’ ? AB ' ,其他位置, PA ? PB' < AB’ ∵ PB ? PB ',

由两点式 AB’方程 5. A

y ? 3 x ?1 ? , 0? 。 ,从而求得 P 点的坐标为 ?13 2 ? 3 5 ?1
1 ?x ? 1? ,即 x ? 2 y ? 5 ? 0 2

解析:过点 A 与 OA 垂直的直线即为所求。

∵ k OA ? 2 ,故所求的直线方程为 y ? 2 ? ? 6. D

解析: 分析 1: 直线关于点的对称直线一定是与原直线平行, 所以排除 A、 C.在 2 x ? 3 y ? 6 ? 0

0? ,它关于 ?1, ? 1? 的对称点是 ?? 1, 上取一点 ?3, ? 2? ,此点在直线 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 上。 , ? 1? 的对称点 ?2 ? x, ? 2 ? y ? 在已知直 分析 2:设 P?x,y ? 是对称直线上的任一点,则它关于点 ?1
线上,即为直线 2?2 ? x ? ? 3?? 2 ? y ? ? 6 ? 0 ,整理后得 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 为所求。 7. A 解析:易知 l1 和 l 2 关于直线 y ? x 对称,设 P?x,y ? 是 l 2 上任一点,则它关于 y ? x 的对称

点 ? y,x ? 在 l1 上,所以有 bx ? ay ? c ? 0 即为所求。 8. B 解析:当 an ? bm 时 l1 与 l 2 有可能重合,故 an ? bm 不一定有 l1 ∥ l 2 ;
3

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当 l1 ∥ l 2 时,若 a ? 0 ,则 m ? 0 有 an ? bm , b ? 0 亦然; 若 ab ? 0 ,有 ? 9. ? , ?

a m ? ? ? an ? bm b n

故 l1 ∥ l 2 ? an ? bm

二.

?1 1? ?k k?

解析: a ? k ? b 代入 ax ? by ? 1 得 kx ? b?x ? y ? ? 1

?x ? y ? 0 ? ?1 1? ∴此直线恒过 ? 的交点,即点 ? , ? 1 x? ?k k? ? k ?
10.

2 3

-1

解析:设 k ?

y y 3x ? 2 y ? 5 ? 0 (1≤ x ≤3)上的点与原点 ,则 表示线段 AB: x x

连线的斜率。 由图易知 ?

∴ A?1 , ? 1?,B?3, 2?

2 ? y? ? y? ? ? k OB ? , ? ? ? k OA ? ?1 3 ? x ? min ? x ? max

11. -1<k<1

1? 的直线系方程,由图象易 解析: y ? x 是Ⅰ,Ⅱ象限角的角平分线,直线 y ? kx ? 1 是过定点 ?0,
知-1< k <1。 12. ?

? 3 1? ? 3 1? ? ?或? ? , ? ? 5, 5 ? ? 5 5 ?

解析: P 点到直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 的距离即两平行线间的距离

2 10

? x0 ? 3 y 0 ? 0 ? 设 P 点坐标为 ?x0,y0 ? ,则 ? 2 2 2 ? x0 ? y 0 ? 10 ?
三. 13. 解析:设直线 AB 的斜率为 k,倾斜角为α 当 m ? 3 时,k 不存在, ? ?

3 3 ? ? x0 ? x0 ? ? ? ? ? ? 5 5 或? 解得 ? ?y ? ? 1 ?y ? 1 0 0 ? 5 ? 5 ? ?

?
2

当 m ? 3 时 k ? tan ? ?

2 ?1 1 ? m?3 m?3

∵当 m>3 时,k>0,∴ ? ? arctan

1 ? ?? , ? ? ? 0, ? m?3 ? 2?

∵当 m<3 时,k<0,∴ ? ? ? ? arctan

1 ?? ? ,? ?? , ? ? m?3 ?2 ?

说明:此题涉及分类讨论的数学思想方法, 分类讨论在历年高考中, 特别是综合性题目中常常出现, 是重点考查的数学思想方法之一。
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14. 解析:显然 l 与 x 轴垂直时,不满足条件 则设 l 的方程为 y ? 3 ? k ?x ? 2? 设 l 与两条平行线的夹角为α 又∵两条平行线的斜率为 ? 由题意 l1 与 l 2 间的距离为 d ?

?7 ?8 32 ? 4 2

?3

则由 AB ? 3 2 , d ? 3 得α =45?,tanα =1

3 4

? 3? k ? ?? ? ? 4? ?1 ∴根据夹角公式,得 ? 3? 1? k ??? ? ? 4?
∴ l 的方程为 y ? 3 ?

解得 k ?

1 或k ? ?7 7

1 ?x ? 2?或y ? 3 ? ?7?x ? 2? 7

即 x ? 7 y ? 19 ? 0或7 x ? y ? 17 ? 0

15. 解析:∵ k AB ? 3 ,设与直线 AB 夹 45?角的直线斜率为 k,则

k ?3 ? tan 45? ? 1 1 ? 3k

∴k ?

1 或k ? ?2 2

∴直线 AC 、 BC 的方程为 y ?

2 1? 14 ? 2 14 ? ? ? ? x ? ?或y ? ? ?2? x ? ? 5 2? 5? 5 5? ?

即 x ? 2 y ? 2 ? 0或2 x ? y ? 6 ? 0 ,又 C 到直线 AB 的距离 d ? 10 ∴ S ?ABC ?

1 1 AB ? d ? ? 2 10 ? 10 ? 10 2 2

5


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