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椭圆问题使用伸缩变换的条件


2014 年第 10 期

福建中学数学

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椭圆问题使用伸缩变换的条件
周郑鹃 福建省福州高级中学(350007)
? a 0? 性质 3 一直线,经过伸缩变换 T = ? ? 的作 ?0 b? 用 , 变 换 后 的 斜 率 k′ 与 变 换 前 的 斜 率 k 之 比 为 k′ b = . k a ? a 0? 性质 4 一封闭图形, 经过伸缩变换 T = ? ?的 ?0 b?

近几年, 有关椭圆问题“圆化”的文章, 不断的出 现.许多教师发现,一些椭圆的题目,通过伸缩变 换, 转换为圆, 问题从“分析”到“解答”都变得更直观、 简洁、优美.因此,许多教师、学生在遇到椭圆问 题时,都“勇于”尝试此法.然而,并非所有的题目都 可以使用伸缩变换.事实上,只有一小部分的题目 适用.那么,我们如何在“审题”之时,就知道伸缩变 换是否适用该题? 为此,我们需要从几个方面来认识“伸缩变换”: ①什么是伸缩变换; ②伸缩变换如何使得椭圆与圆相互转换; ③伸缩变换具有哪些性质; ④伸缩变换的使用条件. 1 什么是伸缩变换 1.1 定义 线性变换 f 将 R 2 空间上的向量沿 x 轴拉伸 ( 或 压缩)为原来的 a 倍,沿 y 轴拉伸(或压缩)为原来 的 b 倍,得到新的向量,则称 f 为 R 2 空间上的伸缩 ? a 0? 变换.相应的矩阵为 T = ? ?. ?0 b? 1.2 伸缩变换实现椭圆与圆的相互转换 例 1 圆 M : x 2 + y 2 = 1 与椭圆 N :
x2 y 2 + = 1 之间 a 2 b2
y b O 1 a x 图1

作用,变换后的面积 S ′ 与变换前的面积 S 之比为 S′ = ab . S 3 伸缩变换的使用条件 下面主要探讨上述伸缩变换在解决椭圆问题中 的应用.通过下面几道例题,可以说明利用伸缩变 换在解决有关椭圆问题的适用性和局限性.
x2 y 2 + = 1(a > 0 , b > 0) 的面积. a 2 b2 分析 本题只与“变换前后的面积”有关.所以,

例 2 求椭圆

的伸缩变换关系. 解 如图 1,一方面,圆 M 经伸缩 ? a 0? 变换 T = ? ? 的作用后,将变为椭 ?0 b? 圆N. 另一方面, 椭圆 N 经伸缩变换 T
?1

可以使用伸缩变换解题.椭圆经伸缩变换可变为圆, 变换后的圆面积易求,根据性质 4,即可得到变换前 椭圆的面积. ?b ? 0 解 椭圆经伸缩变换 T = ? a ? 的作用后, ? ? 0 1? ? ? ? 2 2 S b x′ y′ 将变为圆 2 + 2 = 1 ,∴ 圆 = , S椭 a b b
a a ? S圆 = ? πb 2 = πab . b b x2 例 3 如图 2,已知椭圆 C : + y 2 = 1 的左、右焦 2 F2 , O 为坐标原点. 直线 l : y = kx + m 与 点分别为 F1,

即 S椭 =

?1 ?a =? ?0 ? ?

? 0? ?的 1? ? b?

作用后,将变为椭圆 M . 2 伸缩变换的性质 性质 1 伸缩变换前后,曲线(包括直线)的位 置关系不改变. (如:平行、相切、相交) 性质 2 伸缩变换前后,同一直线上(或平行线 上)的两线段长度之比不改变.

椭圆 C 相交于 P,Q 两点,若在椭圆 C 上存在点 R, 使得四边形 OPRQ 为平行四边形,求实数 m 的取值 范围. 分析 本题的核心条件是“四边形 OPRQ 为平行 四边形”, 此条件可等价转换为“对边平行、 对角线互 相平分”,因此,只与“位置关系”、“共线的线段长度 之比”有关.所以,可以使用伸缩变换解题. 解 假设存在平行四边形 OPRQ(如图 2) ,椭圆

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?1 0 ? x2 + y 2 = 1 经伸缩变换 T = ? ?0 2 ? ? 的作用后,变为 2 ? ? 2 2 圆 C ′ : x′ + y ′ = 2 . C:

“直线 PQ 与椭圆 E 相 根据伸缩变换性质 3 可知: 切 ” 等 价 于 “ 直 线 P′Q ′ 与 圆 E ′ 相 切 ” . 即 要 证 明
∠OP ′Q ′ = 90 .
∵ 在圆 O 中, A1 A2 是直径, ∴∠A1′ P ′A2′ = 90 .

根据伸缩变换性质可知:直线 l : y = kx + m 将变 为 l ′ : y = 2kx + 2m .根据伸缩变换性质 1 可知:平 行四边形 OPRQ 在变换后仍为平行四边形 O′P ′R′Q ′ (实为菱形,如图 3) .因此,对角线垂直平分.实 数 m 需满足的条件为: dO′→l ′ = r ,即 即 | m |=
2

| 2m | 2k + 1
2

又∵ 直线 x = t 与 x 轴垂直. ∴ ΔA1′ M ′R′ ? ΔN ′M ′P′ ( 其 中 , 点 R′ 为 直 线 l ′ 与 x 轴 的 交 点) . 又∵ RtΔP′M ′N ′ 中, 点 Q′ ∴∠P′A1′ A2′ = ∠P ′N ′M ′ , 为 M ′N ′ 的中点,∴∠3 = ∠P′N ′M ′ . 又∵ 在圆 O 中 ∠P′A1′ A2′ = ∠A1′ P′O ,
∴∠A1′ P ′O = ∠Q′P′N ′ ,∴∠OP ′Q ′ = 90 , ∴ 直线 P′Q′ 与圆 E ′ 相切, 直线 PQ 与椭圆 E 相切. x2 y 2 + = 1(a > b > a 2 b2 0) 的左、 右焦点, 过 F1 斜率为 1 的直线 l 与 E 相交于

= 2,

2k + 1 1 1 1 ≥ , m ∈ (?∞ , ? ] ∪[ , + ∞) . 2 2 2 2
P R O Ql 图2 y x
R′
Q′ y′ P′

y
O′ x′

P

M Q x N

例 4 设 F1 , F2 分别是椭圆 E :

l′

A1 O A2 图4
2

图3
2

x y 例 3 如图 4,椭圆 E : + = 1 的左右端点分别 4 3 为 A1 A2 ,点 P 是椭圆 E 上异于 A1 , A2 的一点,直线 A1 P , A2 P 分别交直线 l : x = t (t 为常数)于不同两点 M , N ,点 Q 为线段 MN 的中点, 证明直线 PQ 与

A , B 两点,且 | AF2 | , | AB | , | BF2 | 成等差数列.

(Ⅰ)求 E 的离心率; (Ⅱ)设 P(0 , ? 1) 满足 |PA |=| PB | ,求 E 的方程. 分析 本题的条件“ | AF2 | , | AB | , | BF2 | 成等差 数列”,其中线段 AF2 , AB , BF2 不共线、不平行, 所以,无法使用伸缩变换将椭圆转换为圆来解题. 通过上述的例题和伸缩变换的性质可知:若题 目的条件与所求的问题只与“位置关系”、“共线(平 行)的线段长度之比”、“变换前后的斜率、面积”有 关,则可使用伸缩变换解题;否则,就不能使用.

椭圆 E 相切. 分析 本题知“点 Q 为线段 MN 的中点”,求直线 PQ 与椭圆 E 相切,因此,只与“共线的线段长度之 比”“位置关系”有关.因此,可以使用伸缩变换解题. ?1 0 ? ? ? 2 ? 的作用后, 解 椭圆 E 经伸缩变换 T = ? 0 ? ? 3? ? 变为圆 E ′ : x 2 + y 2 = 4 ,根据伸缩变换性质 4 可知: 变换后的点 Q ′ 仍为 M ′N ′ 的中点.

例谈三角函数问题中隐含条件的挖掘
时英雄 安徽省合肥市第一中学(230601)
tan β 是方程 x 2 + 3 3x + 4 = 0 的 例 1 已知 tan α , π π 两根,且 α , β ∈ (? , ) ,求 α + β 的值. 2 2 错解 ∵ tan α + tan β = ?3 3 , tan α ? tan β = 4 . ∴ tan(α + β ) = tan α + tan β ?3 3 = = 3. 1 ? tan α ? tan β 1 ? 4

三角函数问题中经常遇到一些求值求角问题, 很多学生在解题的过程中没有仔细挖掘题目中隐含 的条件, 没有避开命题设计的“陷阱”, 加上三角函数 中常用的同角的平方关系,倍角关系到最后都要面 临着角或值的取舍问题,稍不注意最后就会导致出 现错解或增解,下面例析之.


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