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陕西省西安市第一中学2013届高三上学期期中考试数学(文)试题


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西安市第一中学 2012-2013 学年度第一学期期中 高三年级数学(文科)试题
命题人:张莲生 审题人: 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.设集合 M ? {x | x2 ? 2x ? 0} , N ? {x | ?1 ? x ? 1}, 则 M ? N ? ( A. { x | 0 ? x ? 1} D. {x | 1 ? x ? 2} 2.若 a? R ,则“ a ? 2 ”是“ (a ? 1)(a ? 2) ? 0 ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) ) B. {x | 1 ? x ? 2} C. { x | 0 ? x ? 1} )

3.设 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和,公差 d ? ?2 ,若 S10 ? S11 ,则 a1 ? ( A. 18 B. 20 C. 22 ) D. 2 ? 2i ) D. y ? 2 x ) D. 24

4.设复数 z 满足 (1 ? i ) z ? 2 ,其中 i 为虚数单位,则 z ? ( A. 1 ? i B. 1 ? i C. 2 ? 2i

5.函数 y ? ? x3 ? 3x 2 在点(1,2)处的切线方程为( A. y ? 3 x ? 1 B. y ? ?3 x ? 5

C. y ? 3 x ? 5

6.在下列区间中,函数 f ( x) ? ex ? 4x ? 3 的零点所在的区间为(
1 A. (? ,0) 4 1 B. (0, ) 4 1 1 C. ( , ) 4 2

7.如果函数 y ? sin ?x(? ? 0) 在区间 [0, ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递 3 3 2 减, 则 ? 的值是( A.
2 3

?

1 3 D. ( , ) 2 4

? ?

) B.3 C.2 D.
3 2

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?(a ? 2) x, x ? 2, ? 8.若函数 f ( x) ? ? 1 x 是 R 上的单调递减函数,则实数 a 的取值范围 ? ( 2 ) ? 1, x ? 2 ?
为( ) B. (??,
13 ] 8

A. (?? ,2) C. (0,2)

13 D. [ ,2) 8 9. 一个棱锥的三视图如右图所示,则它的体积为( ) 3 1 1 A. B.1 C. D. 2 3 2 2 2 10. 在圆 x ? y ? 2x ? 6 y ? 0 内, 过点 E (0,1) 的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD , 则四边形 ABCD的面积为( ) A. 5 2 B. 10 2 C. 15 2 D. 20 2

二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知 a ? ( 3,1), b ? (0,?1), c ? (k , 3 ) ,若 a ? 2b 与 c 共线, 则k ? .

x ?1 ? ? 12.设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0, 则目标 ?x ? 3 y ? 4 ? 0 ?
函数 z ? 3x ? y 的最大值为_______. 13 . 某 程 序 图 如 图 所 示 , 该 程 序 运 行 后 输 出 的 结 果 是 . ? 1 14.若 ? ? (0, ) ,且 sin2 ? ? cos2? ? ,则 tan ? ? ______ __. 2 4 15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 评分)
A .(几何证明选讲选做题)如图,点 A, B, C 是圆 O 上的点, 且
B

BC ? 6, ?BAC ? 120? ,则圆 O 的面积等于


O A C

B. (不等式选讲选做题) 若存在实数 x 满足 | x ? 3 | ? | x ? m |? 5 ,则实

数 m 的取值范围为_________. C .(极坐标与参数方程选讲选做题)设曲线 C 的参数方程为

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? x ? 2 ? 3cos ? ( ? 为参数) ,直线 l 的方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则曲线 C 上到直线 l ? ? y ? ?1 ? 3sin ?

距离为

7 10 的点的个数有_________个. 10

三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤)16. (本小题 12 分)已知 a ? ( 3 cos x, cos x ? 1) , b ? (sin x, cos x ? 1) ,

1 函数 f ( x) ? a ? b ? ( x ? R) 2
(1)求函数 f (x) 的周期; (2)函数 f (x) 的图像可由函数 y ? sin x 的图像经过怎样的变换得到? 17. (本小题 12 分)如图,在四棱锥 S ? ABCD中, SA ? AB ? 2 , SB ? SD ? 2 2 , 底面 ABCD 是菱形,且 ?ABC ? 60? , E 为 CD 的中点.

(1)求四棱锥 S ? ABCD的体积; (2)侧棱 SB 上是否存在点 F ,使得 CF ∥平面 SAE?并证明你的结论.

18. (本小题 12 分)某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布 直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:
频率
茎 叶 5 6 7 8 9 5 8 6 8 2 3 3 5 6 8 9 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9

组距 0.04

0.028

0.016 0.008 50 60 70 80 90 100 分数

(1)求全班人数及分数在 ?80 , 90 之间的频数,并计算频率分布直方图中 ?

?80 , 90? 间的矩形的高;
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(2)若要从分数在 ?80 , 100? 之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,在抽 取的试卷中,求至少有一份分数在 ?90 , 100? 之间的概率. 19. (本小题 12 分)已知椭圆 E :
x2 y2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦点为 2 a b 3

( 2 2 ,0) ;斜率为 1 的直线 l 与椭圆 E 交于 A 、 B ,以 AB 为底边作等腰三角形,

顶点为 P (?3,2) . (1)求椭圆 E 的方程. (2)求 ?PAB 的面积.

20.(本小题 13 分)已知 a 为实数,函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ( x ? R) . (1)若 f ?(1) ? 5 ,求 a 的值及曲线 y ? f (x ) 在 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)求 f (x) 在区间 [ 0, 2] 上的最大值.

21.(本小题 14 分)已知等差数列 {an } 中,公差 d ? 0 ,其前 n 项和为 S n ,且满 足 a2 ? a3 ? 45, a1 ? a4 ? 14 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? 2n an ( n?N* ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ; (3)设 Fn ? ( 4n ? 5) ? 2 n ?1 ,试比较 Fn 与 Tn 的大小.

西安市第一中学 2012-2013 学年度第一学期期中高三年级 数学(文科)试题参考答案及评分标准
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1-5 CABBA 6-10 CDBDB

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 1 15. A 48 ? 12. 4 B (?2,8) 13. 5 C 2
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14. 3

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三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16. (1)由已知可得 f ( x) ? 3 cos x ? sin x ? (cosx ?1)(cosx ? 1) ?

1 2

??(2 分)

? 3 cos x ? sin x ? c o 2sx ? 1 ?
? 3 1? c o s x 1 2 sin x? 2 ? 2 2 2

1 2
??????(4 分)

?

3 1 ? s i n x ? c o s x ? s i n2 x ? ) 2 2 ( 2 2 6

??????(6 分)

所以函数 f (x) 的最小正周期为 ? .???????????(8 分)

? ? 个单位,得到函数 y ? sin(x ? ) 的 6 6 1 ? 图像,再把 y ? sin(x ? ) 的图像上所有的点的横坐标变为原来的 (纵坐标不 2 6 ? 变) ,得到函数 y ? sin( x ? ) 的图像.???????????(12 分) 2 6 1 或:把 y ? sin x 的图像上所有的点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变) ,得到 2 ? 函数 y ? sin 2 x 的图像.再把 y ? sin 2 x 的图像上所有的点向左平移 个单位,得 12 ? 到得到函数 y ? sin( x ? ) 的图像.???????????(12 分) 2 6
(2)把 y ? sin x 的图像上所有的点向左平移 17.解:(1)? SA ? AB ? AD ? 2, SB ? SD ? 2 2 , 则有 SB 2 ? SA 2 ? AB 2 , SD 2 ? SA 2 ? AD 2 ,

? SA? AB , SA? AD 又 AB ? AD ? A

?SA ? 底面 ABCD,?????????(2 分)
1 4 3 1 VS ? ABCD ? S四边形ABCD ? SA ? ? 2 ? 2 ? sin 60? ? 2 ? 3 3 3
(2) F 为侧棱 SB 的中点时, CF // 平面 SAE.
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?????(5 分) ??????(7 分)

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证法一:设 N 为 SA 的中点,连 NF , NE , FC ,则 NF 是 ?SAB的中位线,

? NF // AB且 NF ?

1 1 AB ,又 CE // 且 CE ? AB , 2 2

?CE// NF 且 CE ? NF ,? 四边形 CENF 为平行四边形, ?CF // NE ,? NE ? 平面 SAE, CF ? 平面 SAE, ? CF // 平面 SAE.
??????(12 分)

证法二:设 M 为 AB 的中点,连 MF , MC , FC ,则 MF 是 ?SAB的中位线,

? MF// SA,? SA ? 平面 SAE, MF ? 平面 SAE, ? MF // 平面 SAE.
同理,由 CM // AE ,得 CM // 平面 SAE. 又 MF ? MC ? M ,? 平面 FMC// 平面 SAE, 又? CF ? 平面 FMC,? CF // 平面 SAE. ???????????(12 分) 18.(1)由茎叶图知,分数在 ?50 , 60? 之间的频数为 2 ,频率为 0.008 ?10 ? 0.08 ,
2 ? 25 . 0.08 所以分数在 ?80 , 90? 之间的频数为 25 ? 2 ? 7 ? 10 ? 2 ? 4

全班人数为

频率分布直方图中 ?80 , 90? 间的矩形的高为

4 ? 10 ? 0.016 . ??(6 分) 25

(2)将 ?80 , 90? 之间的 4 个分数编号为 1 , 2 , 3 , 4, ?90 , 100? 之间的 2 个分数 编号为 5 , 6 ,在 ?80 , 100? 之间的试卷中任取两份的基本事件为:

?1 , 2 ? , ?1 , 3? , ?1 , 4 ? , ?1 , 5? , ?1 , 6? ? 2 , 3? , ? 2 , 4 ? , ? 2 , 5 ? , ? 2 , 6 ? , ? 3 , 4 ? , ? 3 , 5? , ? 3 , 6 ? ?????(9 分) ? 4 , 5? , ? 4 , 6 ? . 共 15 个, 其中,至少有一个在 ?90 , 100? 之间的基本事件有 9 个,
故至少有一份分数在 ?90 , 100? 之间的频率是 19.解: (1)由已知得 c ? 2 2 ,
9 ???(12 分) ? 0.6 . 15

c 6 ,解得 a ? 2 3 ? a 3
x2 y2 ? ?1 12 4

又 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ,所以椭圆 E 的方程为 设直线 l 的方程为 y ? x ? m

????(5 分)

????(6 分)

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(2)

? y ? x?m ? 由 ? x2 y2 得 ?12 ? 4 ? 1 ?

4 x 2 ? 6mx ? 3m 2 ? 12 ? 0



设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 )(x1 ? x2 ) ,线段 AB 的中点为 C( x0 , y0 ) ,则

x1 ? x2 3m m , y0 ? x0 ? m ? ?? 2 4 4 因为 AB 是等腰 ?PAB 的底边,所以 PC ? AB, m 2? 4 ? ?1 所以 k PC ? 解得 m ? 2 3m ?3? 4 x0 ?
此时,方程①为 4 x 2 ? 12 x ? 0 所以 y1 ? ?1, y2 ? 2 则 | AB |? 3 2 解得 x1 ? ?3, x2 ? 0

????(8 分)

????(9 分)

????(10 分)

这时,点 P (?3,2) 到直线 AB : x ? y ? 2 ? 0 的距离为:
d? | ?3 ? 2 ? 2 | 3 2 ? , 2 2

????(11 分)

所以 ?PAB 的面积为 S ?

1 1 3 2 9 | AB | ?d ? ? 3 2 ? ? 2 2 2 2

????(12 分)

20.解:(1)? f ( x) ? x3 ? ax2 则 f ?( x) ? 3x2 ? 2ax
? f ?(1) ? 3 ? 2a ? 5 , ?a ? ?1

又当 a ? ?1 时, f ( x) ? x3 ? x2 , f (1) ? 2 , 所以,曲线 y ? f (x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为
y ? 2 ? 5( x ? 1)

即 y ? 5 x ? 3 .????????????????(5 分)
2a , 3

13.令 f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? 0,解得 x1 ? 0 , x2 ?

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2a ? 0 ,即 a ? 0 时,在 (0,2) 上 f ?( x) ? 0 , f (x) 在 [ 0,2] 上为增函数, 3

? f ( x)max ? f (2) ? 8 ? 4a

2a ? 2 ,即 a ? 3 时,在 (0,2) 上 f ?( x) ? 0 , f (x) 在 [ 0,2] 上为减函数, 3

? f ( x)max ? f (0) ? 0
2a 2a 2a ? 2 ,即 0 ? a ? 3 时,在 (0, ) 上 f ?( x) ? 0 ,在 ( ,2) 上 f ?( x) ? 0 , 3 3 3 2a 2a 故 f (x) 在 [0, ] 上为减函数,在 [ ,2] 上为增函数, 3 3

当0 ?

故当 f (2) ? f (0) 即 8 ? 4a ? 0 即 0 ? a ? 2 时, f ( x)max ? f (2) ? 8 ? 4a 当 f (2) ? f (0) 即 8 ? 4a ? 0 即 2 ? a ? 3 时, f ( x)max ? f (0) ? 0
?8 ? 4a, a ? 2 综上所述, f ( x) ? ? ? 0, a ? 2

????????????(13 分)

?(a ? d )(a1 ? 2d ) ? 45 21.解: (1)由已知可得 ? 1 ( d ? 0) 2a1 ? 3d ? 14 ?

?a ? 1 解得 ? 1 ?d ? 4

?an ? 1? 4(n ?1) ? 4n ? 3

????????????????(4 分)

或:由 {an } 为等差数列得: a2 ? a3 ? a1 ? a4 ? 14 ,又 a2a3 ? 45, 故 a 2 、 a3 可以看作方程 x 2 ? 14 x ? 45 ? 0 的两根,由 d ? 0 得 a3 ? a2

?a3 ? 9, a2 ? 5

故 d ? a3 ? a2 ? 4, a1 ? a2 ? d ? 1 ????????????????(4 分)

?an ? 1? 4(n ?1) ? 4n ? 3
(2) ? bn ? 2 n an ? (4n ? 3) ? 2 n

?Tn ? 1? 21 ? 5 ? 2 2 ? 9 ? 23 ? ? ? (4n ? 7) ? 2 n ?1 ? (4n ? 3) ? 2 n

? ?

2Tn ?
? ? ?得:

1? 22 ? 5? 23 ? 9 ? 24 ??? (4n ? 7) ? 2n ? (4n ? 3) ? 2n?1

? Tn ? 2 ? 4(2 2 ? 23 ? ? ? 2 n ) ? (4n ? 3) ? 2 n ?1

22 ? 2n ? 2 ? 2 ? 4? ? (4n ? 3) ? 2 n ?1 1? 2

? 2 ? 4 ? 2n?1 ?16? (4n ? 3) ? 2n?1
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? ?(4n ? 7) ? 2

n?1

?14
??????????????(9 分)

? Tn ? (4n ? 7) ? 2 n ?1 ? 14

(3)? Fn ? Tn ? (4n ? 5) ? 2 n ?1 ? (4n ? 7) ? 2 n ?1 ? 14 ? 2 n ? 2 ? 14
? 当 n ? 2 时, 2 n ? 2 ? 2 4 ? 16 ? 14 ,即 2 n ?1 ? 14 ? 0

故 Fn ? Tn 故 Fn ? Tn

当 n ? 1 时, 2 n ? 2 ? 23 ? 8 ? 14 ,即 2 n ?1 ? 14 ? 0

综上可得,当 n ? 1 时, Fn ? Tn ;当 n ? 2 时, Fn ? Tn .???(13 分)

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