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湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2016届高三2月联考理科数学试题


荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟

2016 届高三 2 月联考

数 学(理科)试 题
本试卷共 4 页,总分 150 分,考试用时 120 分钟。 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 复数 z ? 1 ? 2i ( i 为虚数单位) , z 为 z 的共轭复数,则下列结论正确的是( )

z ?i z 2 2. 已知集合 A ? x ? R x ? 2x ? 3 ? 0 , B ? ? x ? R ?1 ? x ? m? ,若 x ? A 是 x ? B 的
A. z 的实部为 ?1 B. z 的虚部为 ? 2i C. z ? z ? 5 D.

?

?

充分不必要条件,则实数 m 的取值范围为( ) A. ? 3, +? ? B. ? ?1,3? C. ?3, ? ?? 3. 下列函数中,既是偶函数又在区间 ? 0, ?? ? 上单调递减的是( )

D.

? ?1,3?

?? ? 2 D. y ? ? x ? 1 ? x? ?2 ? 5? ? ? 5? ? ? 4. 定义运算 a ? b 为执行如图所示的程序框图输出的 S 值,则 ? sin ? ? ? cos ? 12 ? ? 12 ? ?
A. y ? x
3

B. y ? ln x

C. y ? sin ?

开始

输入a, b

的值为( ) A.



a?b


S ? ab

2? 3 4

B.

3 4

C.

1 4

D.

2? 3 4

S ? b2
输出S

5. 以下茎叶图记录了甲,乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分) 甲组 乙组

结束

x
7 A. 2,5 下结论正确的是( A. a2 ? a3 B. 5,5

9 2 4

0 1 2

9 5 4 C. 5,8

第 4 题图
y

8 )

已知甲组数据的中位数为15 ,乙组数据的平均数为 16.8 ,则 x, y 的值分别为( D. 8,8

6. 设实数列 ?an ? 和 ?bn ? 分别是等差数列与等比数列,且 a1 ? b1 ? 16 , a5 ? b5 ? 1,则以 C. a3 ? b3 D. b2 ? b3 ??? ? ???? 7.在 ?ABC 中,点 D 在线段 BC 上,且 BD ? 2DC ,点 O 在线段 CD 上(与点 C , D 不重 ???? ??? ? ??? ? 合).若 AO ? xAB ? ?1 ? x ? AC ,则 x 的取值范围是( ) A. ? 0,1? B. ? ) B. a3 ? b3

?2 ? ,1? ?3 ?

C. ? 0, ?

? ?

1? 3?

D. ? , ?

?1 2? ?3 3?

8. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理 论依据是:设实数 x 的不足近似值和过剩近似值分别为

b d * 和 ( a, b, c, d ? N ) ,则 a c

b?d 是 x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道 ? ? 3.14159 ??? ,若令 a?c 31 49 16 ??? ,则第一次用“调日法”后得 是 ? 的更为精确的过剩近似值,即 10 15 5 31 16 ??? , 若每次都取最简分数, 那么第四次用“调日法”后可得 ? 的近似分数为 ( ) 10 5 22 63 78 109 A. B. C. D. 7 20 25 35 ?? ? ?? ? 9. 已知 f ? x ? ? a sin x ? b cos x, 若 f ? ? x ? ? f ? ? x ? , 则直线 ax ? by ? c ? 0 的倾斜 ?4 ? ?4 ?
角为( )

? 2? 3? C. D. 3 3 4 2 2 10. 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 P 为双曲线 x ? 2 y ? 1 的右支上的一个动点, 若点 P 到
A. B. 直线 2x ? 2 y ? 2 ? 0 的距离大于 c 恒成立,则实数 c 的最大值为( A. 2 B. ) D.

? 4

3 2

C.

6 3

2 6 3

11. 某四面体的三视图如右图所示,正视图、俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形,侧视 图是边长为 2 的正方形,则此四面体的外接球的体积是( ) A. 12? C. 48? B. 4 3? D. 32 3?

12. 已知函数 f ? x ? 的图像在点 x0 , f ? x0 ? 处的切线方程 l : y ? g ? x ? , 若 函数 f ? x ? 满足 ?x ? I (其中 I 为函数 f ? x ? 的定义域) , 当 x ? x0 时,

?

?

? f ? x ? ? g ? x ?? ? x ? x ? ? 0 恒 成 立 , 则 称 x
0

f ? x ? ? ln x ? ax2 ? x 在 ? 0,e? 上存在一个“转折点”,则 a 的取值范围为(
? 1 ? , ?? ? 2 ? 2e ?
B. ? ?1,

0

为 函 数 f ? x ? 的 “ 转 折 点 ”. 已 知 函 数 )

A. ?

? ?

1 ? ? 2e2 ?

C. ? ? 2 ,1? ? 2e ?

?

1

?

D. ? ??, ?

? ?

1 ? ? 2e2 ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

?? 1 ? x ?? ? , x ? 4 13. 已知函数 f ? x ? ? ?? 2 ? ,则 f ? 3? 的值为 ?f x?2 ,x ? 4 ? ? ?
n

.

14. 已知抛物线 y 2 ? 4 x 上一点 P 到焦点 F 的距离为 5, 则 ?PFO 的面积为 15. 若 ? x ?

.

? ?

2? 2 ? 的展开式所有的系数之和为 81,则直线 y ? nx 与曲线 y ? x 所围成的封闭 x?
.

区域面积为

16. 已知三角形 ABC 中, BC 边上的高与 BC 边长相等,则 值是______ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

AC AB BC 2 的最大 ? ? AB AC AB ? AC

* 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 an ? 2 ? 3S n n ? N .

?

?

(I)求数列 {an } 的通项公式;(II)设 bn ? log2 an ,求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 Tn . 18.(本小题满分 12 分)如右下图,在四棱锥 P ? ABCD 中,直线 PA ? 平面ABCD ,

AD / / BC, AB ? AD , BC ? 2 AB ? 2 AD ? 4 BE =4. (I)求证:直线 DE ? 平面 PAC .
(II)若直线 PE 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 求二面角 A ? PC ? D 的平面角的余弦值.

5 , 5

19.(本小题满分 12 分)心理学家发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验 证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学 (男 30 女 20) , 给所有 同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答 .选题情况如下表: (单位:人)

(I)能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关? (II)经过多次测试后,女生甲每次解答一道几何题所用的时间在 5—7 分钟,女生乙 每次解答一道几何题所用的时间在 6—8 分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先 解答完的概率. (III)现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究, 记甲、 乙两女生被抽到的人数为 X , 求 X 的分布列及数学期望 E ? X ? . 附表及公式

2 ? x ? 1? ? y 2 ? 9, 动圆 P 与圆 M 20. (本小题满分 12 分) 已知圆 M : ? x ? 1? ? y ? 1, 圆 N: 2 2

外切并与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C . (I)求 C 的方程.

(II)若直线 y ? k ? x ?1? 与曲线 C 交于 R, S 两点,问是否在 x 轴上存在一点 T ,使得 当 k 变动时总有 ?OTS ? ?OTR ? 若存在,请说明理由.

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? =x ln x, g ? x ? ?

(I)记 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,证明 F ? x ? 在 ?1, 2 ? 区间内有且仅有唯一实根; ( II ) 记 F ? x ? 在 ?1, 2 ? 内 的 实 根 为 x0 , m ? x ? ? min f ? x ? , g ? x ? 并给出对应的证明.

x ex

?

?,若

m ? x ? ? n ? n ? R? 在 ?1, +? ? 有两不等实根 x1, x2 ? x1 ? x2 ? ,判断 x1 ? x2 与 2 x0 的大小,

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲. 如图, 正方形 ABCD 边长为 2, 以 D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径的半圆 O 交于点 F ,连结 CF 并延长交 AB 于点 E . (I)求证: AE ? EB ; (II)求 EF ? FC 的值.
A D

E

F

B

O

C

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线 C1 的极坐标方程 为 ? ? 2 ,正三角形 ABC 的顶点都在 C1 上,且 A , B , C 依逆时针次序排列,点 A 的坐 标为 (2, 0) . (I)求点 B , C 的直角坐标; 2 2 2 2 (II)设 P 是圆 C2 : x ? ( y ? 3) ? 1 上的任意一点,求 | PB | ? | PC | 的取值范围.

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? 2 | . (I)当 a ? ?4 时,求不等式 f ( x) ? 6 的解集;

(II)若 f ( x) ?| x ? 3 | 的解集包含 ? 0,1? ,求实数 a 的取值范围.

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2016 届高三 2 月联考

数 学(理科)试 题(参考答案)
一、 C 二、 选择题 A D 填空题 C C B C A D C B D

1 , 32
三、解答题

2,

32 , 3

2 2

17.解 (Ⅰ) 当 n ? 2 时, 由 an ? 2 ? 3Sn ①, 得 an?1 ? 2 ? 3Sn?1 ②, ①-②即得 4an ? an?1 ………2 分,而当 n ? 1 时, a1 ? 2 ? 3a1 ,故 a1 ? 的等比数列,其通项公式为 an ? ? ? ?

1 1 1 ………3 分,因而数列 ?an ? 是首项为 公比为 2 2 4
n ?1

1 ?1? 2 ?4?

?1? ?? ? ?2?

2 n ?1

, n ? N * .……6 分

?1? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? ? ? ?2?

2 n ?1

,故 bn ? 1 ? 2n .………8 分,数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和

Tn ? a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? ? ? an ? bn ? ? a1 ? ? ? an ? ? ? b1 ? ? ? bn ?
n 1? ?1? ? ?1 ? ? ? ? n 2? ? ?4? ? ? ? ?1 ? 1 ? 2n ? n 2 2 2 ? 1 ? ? ? ? ? n ? ? ? ,n? N* 1 2 3 3?4? 1? 4

.………12 分

18.法一(Ⅰ)取 形

中点

,连接 //

,则 ∵直角△ 直角△ 平面 平面

,∴四边 和直角△ ,易知 ∴ .得证. ,∵ ∴ 与平面 ……5 分 , 所成的角,

是平行四边形,∴ 中, ∴ ……4 分,而

∴ 直 角△ ………2 分 又 ∵ ∴ ,知 于 ,连接

(Ⅱ)由△ 设 交



,则

是直线

sin ?EPG ?


EG 3 5 ,∴ ? EP 5
,由 ,知

,而 AE ? 5 故 PA ? 平面 ,∴

PE 2 ? AE 2 ? 2 .……7 分.
,∴ 是二面角



的 平 面 角 .……9 ∴ 即二面角 法二: (Ⅰ)∵

分 ∵△ ∴



, ∴ ,∴

, 而 ,

的平面角的余弦值为 平面 ∴

……12 分(其他方法酌情给分) 又∵ , , ,故可建 , , .……4 分,∴ ……6 分 ,

立建立如图所示坐标系 ……1 分 . 由已知 , ∴ , (Ⅱ)由(Ⅰ) ,平面 ,∴ 平面 ( )∴ ,

的一个法向量是

设直 线 ∵ 设平面 由 分 ∴

与平面 ∴

所 成的角为 , 即

,∴

, ………8 分

的一个法向量为 , ∴ ,令

, ,则

, ………10



………11 分

显然二面角

的平面角是锐角,

∴二面角

的平面角的余弦值为

15 5

………12 分 (其他方法可酌情给分)
2

50 ? ? 22 ?12 ? 8 ? 8 ? 50 ? ? 5.556 ? 5.024 19.解:(Ⅰ)由表中数据得 K 的观测值 K ? 30 ? 20 ? 30 ? 20 9 所以根据统计有 97.5% 的把握认为视觉和空间能力与性别有关.)………3 分 (Ⅱ)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为 x、y 分钟,则基本事件满足的区
2

2

域为 ?

?5 ? x ? 7 (如图所示) ?6 ? y ? 8

设事件 A 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为 x ? y ………5 分

1 ? 1? 1 1 2 ? ? 由几何概型 P ( A) ? 2? 2 8

即乙比甲先解答完的概率

1 .……7 分 8

(Ⅲ)由题可知在选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人,抽取方法有 C8 2 ? 28 种,其中 甲、乙两人没有一个人被抽到有 C6 2 ? 15 种;恰有一人被抽到有 C21 ? C61 =12 种;两人都 被抽到有 C2 2 ? 1 种

? X 可能取值为 0,1, 2 , P( X ? 0) ?
P( X ? 1) ? 12 3 ? , 28 7 1 P( X ? 2) ? 28

15 , 28

………8 分 ………9 分 ………10 分

X 的分布列为: X
P

12 28 15 12 1 1 ? E ( X ) ? 0 ? +1 ? +2 ? ? 28 28 28 2

0 15 28

1

2 1 28

………11 分

.………12 分

20.(1)得圆 M 的圆心为 M ? ?1,0? , 半径 r1 ? 1; 圆 N 的圆心 N ?1,0? , 半径 r2 ? 3. 设圆 P 的 圆 心 为 P ? x, y ? , 半 径 为 R. 因 为 圆 P 与 圆 M 外 切 并 与 圆 N 内 切 , 所 以

PM ? PN ? R ? r1 ? r2 ? R ? r1 ? r2 ? 4.

………3 分

由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M , N 为左右焦点,长半轴长为 2,短半轴为 3 的椭

圆(左顶点除外) ,其方程为

x2 y 2 ? ? 1? x ? ?2 ? . 4 3

………5 分

(2)假设存在 T ? t ,0 ? 满足 ?OTS ? ?OTR .设 R ? x1 , y1 ? , S ? x2 , y2 ? 联 立 ?

? y ? k ? x ? 1? ? 2 2 ? ?3 x ? 4 y ? 12 ? 0

2 2 2 2 得 3+4k x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 , 由 韦 达 定 理 有

?

?

? 8k 2 x ? x ? ? ? 1 2 3 ? 4k 2 ①, 其中 ? ? 0 恒成立, ………7 分由 ?OTS ? ?OTR (显然 TS , TR 的 ? 2 ? x x ? 4k ? 12 1 2 ? 3 ? 4k 2 ?
斜率存在),故 kTS ? kTR ? 0 即

y1 y ? 2 ? 0 ②,由 R, S 两点在直线 y ? k ? x ?1? 上, x1 ? t x2 ? t

故 y1 ? k ? x1 ?1? , y2 ? k ? x2 ?1? 代入②得

2 x1 x2 ? ? t ? 1?? x1 ? x2 ? ? 2t ? k ? x1 ? 1?? x2 ? t ? ? k ? x2 ? 1?? x1 ? t ? k ? ? ? 0 即有 = ? x ? t x ? t x ? t x ? t ? 1 ?? 2 ? ? 1 ?? 2 ?

2x1x2 ? ?t ?1?? x1 ? x2 ? ? 2t =0 ③
将①代入③即有:

………9 分

8k 2 ? 24 ? ? t ? 1? 8k 2 ? 2t ? 3 ? 4k 2 ? 3+4k
2

?

6t ? 24 ? 0 ④,要使得④与 k 的取 3 ? 4k 2

值无关,当且仅当“ t ? 4 “时成立,综上所述存在 T ? 4,0? ,使得当 k 变化时,总有

?OTS ? ? OTR .
21.(1)解:证明: F ? x ? ? x ln x ?

………12 分(其他方法酌情给分)

x x ?1 ,定义域为 x ? ? 0, ??? , F ? ? x ? ? 1 ? ln x + x , x e e
………2 分

而 x ? ?1, 2? ,故 F ? ? x ? ? 0 ,即 F ? x ? 在 ?1, 2 ? 上单调递增, 又 F ?1? ? ? , F ? 2 ? ? 2 ln 2 ?

1 e

2 ? 0, 而 F ? x ? 在 ?1, 2 ? 上连续, 故根据根的存在性定理有: e2
……4 分

F ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 有且仅有唯一实根.
(2)当 0 ? x ? 1 时, f ? x ? ? x ln x ? 0 ,而 g ? x ? ? ( 1 ) 知 , F ? ? x ? ? 1 ? ln x +

x ? 0 ,故此时有 f ? x ? ? g ? x ? ,由 ex

x ?1 , 当 x ? 1 时 , F ? ? x ? ? 0 , 且 存 在 x0 ? ?1, 2 ? 使得 ex

F ? x0 ? ? f? x ? x ? ?0 ,故1 ? x ? x0 时, f ? x? ? g ? x? ;当 x ? x0 时, f ? x? ? g ? x? . 0? ? g 0
0 x ? ?x l n x , ? ? 因 而 m ? x? ? ? x , x ? x0 ? ? ex
0

x

, ……6 分 显 然 当 1 ? x ? x0 时 , m ? x ? ? x ln x ,

m? ? x ? ? 1 ? ln x ? 0 因而 m ? x ? 单增;当 x ? x0 时, m ? x ? =

x 1? x , m? ? x ? ? x ? 0 ,因而 x e e

m ? x ? 递减; m ? x ? =n 在 ?1, ?? ? 有两不等实根 x1 , x2 ,则 x1 ? ?1, x0 ? , x2 ? ?1, ??? .……7 分
显然当 x2 ? +? 时, x1 ? x2 ? 2 x0 ,下面用分析法给出证明 . 要证: x1 ? x2 ? 2 x0 即证

x2 ? 2 x0 ? x1 ? x0 , 而 m ? x ? 在 ? x0 , ??? 上 递 减 , 故 可 证 m ? x2 ? ? m? 2 x 0? x 1? , 又 由

m ? x1 ? ? m ? x2 ? ,即证 m ? x1 ? ? m ? 2x0 ? x1 ? ,即 x1 ln x1 ?
记 h ? x ? ? x ln x ?

2 x0 ? x1 , e 2 x0 ? x1

.……9 分

2 x0 ? x ,1 ? x ? x0 ,其中 h ? x0 ? ? 0 . e2 x0 ? x 1 ? x ? 2 x0 2x ? x 1 h? ? x ? ? 1 ? ln x ? =1+ ln x ? 2 x0 ? x ? 20x0 ? x , 2 x0 ? x e e e

t 1? t ,? ? ? t ? ? t , 当 t ? ? 0,1? 时 , ? ? ? t ? ? 0 ; t ? ?1 , +?? 时 , ? ? ? t ? ? 0 故 t e e 2x ? x 1 1 1 ? ? t ?max ? ,而 ? ? t ? ? 0 故 0 ? ? ? t ? ? ,而 2 x0 ? x ? 0 ,从而 ? ? ? 20x0 ? x ? 0 ,因 e e e e 1 ? x ? 2 x0 2x ? x 1 1 =1+ ln x ? 2 x0 ? x ? 20x0 ? x ? 1 ? ? 0 ,即 h ? x ? 单增 . 从而 此 h? ? x ? ? 1 ? ln x ? 2 x0 ? x e e e e 2x ? x 1 ? x ? x0 时, h ? x ? ? h ? x0 ? ? 0 即 x1 ln x1 ? 20x0 ? x1 1 ,故 x1 ? x2 ? 2 x0 得证...…12 分 e
记 ? ?t ? ? (其他方法酌情给分) 22.解: (Ⅰ)由以 D 为圆心 DA 为半径作圆,而 ABCD 为正方形,∴EA 为圆 D 的切线 依据切割线定理得 EA2 ? EF ? EC ……2 分,另外圆 O 以 BC 为直径,∴EB 是圆 O 的切线, 同样依据切割线定理得 EB 2 ? EF ? EC 故 AE ? EB . 分 (Ⅱ)连结 BF ,∵BC 为圆 O 直径,∴ BF ? EC 由 S ?BCE ? ……5

1 1 BC ? BE ? CE ? BF 得 2 2

BF ?

4 1? 2 2 5 2 …8 分又在 Rt?BCE 中, 由射影定理得 EF ? FC ? BF ? . ……10 分 ? 5 5 5

23 . 解 : ( 1 ) B 点 的 坐 标 为 (2cos120?, 2sin120?) , 即 B(? 1, 3 ) ; C 点的坐标为

(2cos 240?, 2sin 240?) ,即 C(?1 , ? 3) .
(2)由圆的参数方程,可设点 P(cos ? , ? 3 ? sin ? )(0 ? ? ? 2? ) , 于是 | PB |2 ? | PC |2 ? (cos ? ?1)2 ? (sin ? ? 2 3)2 ? (cos ? ?1)2 ? sin 2 ?

……5 分

? ? 16 ? 4cos ? ? 4 3 sin ? ? 16 ? 8cos(? ? ) , 3
∴ | PB |2 ? | PC |2 的范围是 ?8, 24? . 24.解: (1)当 a ? ?4 时, f ( x) ? 6 ,即 | x ? 4 | ? | x ? 2 |? 6 , 即?

……8 分 ……10 分

? x ? 2, ?2 ? x ? 4, ? x ? 4, 或? 或? ?4 ? x ? 2 ? x ? 6 ?4 ? x ? x ? 2 ? 6 ? x ? 4 ? x ? 2 ? 6,
……5 分

解得 x ? 0 或 x ? 6 . 所以解集为 (??,0] ? [6, ??) .

(2) 原命题等价于 f ( x) ?| x ? 3 | 在 0,1 上恒成立, 即 | x ? a | ?2 ? x ? 3 ? x 在 1, 2 上恒成 立,……8 分即 ?1 ? x ? a ? 1 ? x 在 1, 2 上恒成立,即 ?1 ? a ? 0 .

? ?

? ?

? ?

……10 分


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