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三角函数的诱导公式第一课时教案-人教A版数学必修4第一章三角函数1.3


人教 A 版 数学教案 第一章 1.3 第一课时

必修 4

第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 第一课时 1.3 三角函数的诱导公式 1 教学目标
[1] 识记诱导公式。 [2] 理解和掌握公式的内涵及结构特征。 [3] 会初步运用诱导公式求三角函数的值,并进行简单三角函数式的化简和证明。 [4] 通过诱导公式的推导, 培养学生的观察力、 分析归纳能力, 领会数学的归纳转化思想方法。

2 教学重点/难点
教学重点:诱导公式的推导及应用。 教学难点:相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。

3 专家建议
通过应用三角函数的任意角定义求出三角函数值、推出不同三角函数不同角但值相等得出 诱导公式。从而培养学生分析归纳能力。

4 教学方法
类比探究 ? 归纳讲解 ? 总结 ? 练习提高。

5 教学过程
5.1 复习引入 【师】同学们,我们来复习一下上节课学习的内容,请同学们回答下三角函数定义? 【板书】 在直角坐标系中,设α 是一个任意角,α 终边上任意一点 P (除了原点)的坐标为 ( x, y ) ,它 与原点的距离为
r (r ? | x |2 ? | y |2 ? x 2 ? y 2 ? 0)

,那么

y y sin ? ? r ; (1)比值 r 叫做α 的正弦,记作 sin ? ,即 x x cos ? ? r; (2)比值 r 叫做α 的余弦,记作 cos? ,即 y y tan ? ? x; (3)比值 x 叫做α 的正切,记作 tan? ,即
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x x (4)比值 y 叫做α 的余切,记作 cot? ,即 cot? ? ; y
r r (5)比值 x 叫做α 的正割,记作 sec? ,即 sec ? ? ; x

r r csc? ? y (6)比值 y 叫做α 的余割,记作 csc? ,即

5.2 新知介绍 [1] 三角函数诱导公式(一) 【师】我们知道,三角函数值只与 ? 的终边有关,那么如果 ? 多转动一圈后,我们可以得到什 么结果呢? 【生】讨论回答 【师】总结“大小相等,三角函数不改变” 板书: sin (2π + ? )=sin ? cos(2π + ? )=cos ? tan (2π + ? )= tan ? 【师】如果 ? 多转动了 k( k ? Z )圈后,我们可以得到什么结果呢? 【生】讨论回答 【师】总结“大小相等,三角函数不改变” 板书: sin (k·2π + ? )=sin ? ( k ? Z ) cos(k·2π + ? )=cos ? ( k ? Z ) tan (k·2π + ? )= tan ? ( k ? Z ) 结构特征:①终边相同的角的同一三角函数值相等 ②把求任意角的三角函数值问题转化为求 0°~360°角的三角函数值问题。 【师】问题:试求下列三角函数的值? (1)sin1110° 【生】讨论回答 板书: (1)sin1110°=sin(3×2π °+30°)=sin30°= (2)sin1290°=sin(3×π °+210°)=sin210° (至此,大多数学生无法再运算,从已有知识导出新问题)
1 2

(2)sin1290°

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[2] 三角函数诱导公式(二) 引导学生观察演示(一) ,并思考下列问题: 210
0

300

х

演示(一) 【师】210°能否用(180°+ ? )的形式表达? 【生】0°< ? <90°=(210°=180°+30° 【师】210°角的终边与 30°的终边关系如何? 【生】互为反向延长线或关于原点对称。 【师】设 210°、30°角的终边分别交单位圆于点 p、p' ,则点 p 与 p'的位置关系如何? 【生】关于原点对称。 【师】设点 p(x,y) ,则点 p’怎样表示? 【生】p' (-x,-y) 【师】sin210°与 sin30°的值关系如何? 【生】讨论回答 【师】总结:在求 sin210°的过程中,我们把 210°表示成(180°+30°)后,利用 210° 与 30°角的终边及其与单位圆交点 p 与 p′关于原点对称,借助三角函数定义,把 180°~ 270°角的三角函数值转化为求 0°~90°角的三角函数值。 【师】对于任意角 ? ,sin ? 与 sin(180+ ? )的关系如何呢?试说出你的猜想。 【生】讨论回答 【师】总结“三角函数不改变,正弦余弦互为相反数,正切不变” 板书: sin(180°+ ? )= -sin ? cos(180°+ ? )= -cos ? tan(180°+ ? )= tan ? 结构特征:①函数名不变,符号看象限(把 ? 看作锐角时) ②把求(180°+ ? )的三角函数值转化为求 ? 的三角函数值。 【师】学以己用,完成下面三角函数值题(可查表) ①cos225° 【生】上讲台作答 ②tan(-π ) ③sin(
11 π) 10

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[3] 三角函数诱导公式(三) 【师】能不能用相同的方法求出角(π - ? )与 ? 的公式: 【生】讨论回答 板书: sin(π - ? )= sin ? cos(π - ? )=-cos ? tan(π - ? )=-tan ? [4] 三角函数诱导公式(四) 引导学生观察演示(三) ,并思考下列问题
300 300

演示(三) 【师】30°与(-30°)角的终边关系如何? 【生】关于 x 轴对称 【师】设 30°与(-30°)的终边分别交单位圆于点 p、p′,则点 p 与 p′的关系如何? 【生】横坐标不变,纵坐标互为相反数 【师】设点 p(x,y) ,则点 p′的坐标怎样表示? 【生】p′(x,-y) 【师】sin(-30°)与 sin30°的值关系如何? 【生】讨论回答 【师】总结: 在求 sin(-30°)值的过程中,我们利用(-30°)与 30°角的终边及其与单位圆交 点 p 与 p′关于原点对称的关系,借助三角函数定义求 sin(-30°)的值。 【师】对于任意角 ? sin ? 与 sin(- ? )的关系如何呢?试说出你的猜想? 【生】讨论回答 【师】总结“三角函数不改变,正弦正切互为相反数,余弦不变” 板书: sin(- ? )=-sin ? cos(- ? )= cos ? tan(- ? )=-tan ? 结构特征:①函数名不变,符号看象限(把 ? 看作锐角) ②把求(- ? )的三角函数值转化为求 ? 的三角函数值。

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人教 A 版 数学教案 第一章 1.3 第一课时

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【师】学以己用,完成下面三角函数值题(可查表) ? ① sin(- ) ②tan(-210°) ③cos(-240°12′) 3 【生】上讲台作答 [5] 小结 【师】刚才我们讲了三角函数诱导公式,我们可以哪些知识点? 三角函数诱导公式,当角变化为 ? 和 2k?(k ? Z) 时,三角函数不改变。 三角函数值只是相差正负号。 三角函数是否互为相反数,只看角的象限。

[6] 课堂小结 诱导公式一: sin (k·2π + ? )=sin ? ( k ? Z ) cos(k·2π + ? )=cos ? ( k ? Z ) tan (k·2π + ? )= tan ? ( k ? Z ) 诱导公式二: sin(180°+ ? )= -sin ? cos(180°+ ? )= -cos ? tan(180°+ ? )= 诱导公式三: sin(π - ? )= sin ? cos(π - ? )=-cos ? tan(π - ? )=-tan ? 诱导公式四: sin(- ? )=-sin ? cos(- ? )= cos ? tan(- ? )=-tan ? tan ?

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5.3 复习总结和作业布置 [1] 课堂练习 1、下列四个命题中可能成立的一个是( ) A、 sin ? ?
1 1 且 cos ? ? 2 2

B、 sin ? ? 0且 cos ? ? ?1 D、 ? 是第二象限时, tan ? ? ? )
sia? cos ?

C、 tan ? ? 1且 cos ? ? ?1 2、若 sin ? ? A、 ?
4 3

4 ,且 ? 是第二象限角,则 tan ? 的值为( 5

B、

3 4

C、 ?

3 4

D、 ? )

4 3

3、化简 1 ? 2 sin 4 cos4 的结果是( A、 sin 4 ? cos 4 A、 1 ? 3 B、 sin 4 ? cos 4 B、 1 ? 3 4、 tan300? ? sin 450? 的值为()

C、 cos 4 ? sin 4

D、 ? sin 4 ? cos 4

C、 ? 1 ? 3

D、 ? 1 ? 3

5、求下列三角函数的值 (1) sin240?; (2) cos
5? ; 4

(3) cos(-252?);

(4) sin(-

7? ) 6

6、求下列三角函数的值 (1)sin(-119?45′); (2)cos
5? ; 3

(3)cos(-150?);

(4)sin

7? 4

王新敞
奎屯

新疆

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【参考答案】 1、答案:B 2、答案:A 3、 答案: C 4、答案:B 解析:因为 sin ? ? 0且 cos ? ? ?1 当 ? ? ? 时成立。 解析:因为 ? 是第二象限角,所以 cos ? ? ? 3 ,所以 tan ? = ?
5
4 3

解析: 因为 1 ? 2 sin 4 cos4 = cos42 ? sin 42 ? 2sin 4cos4 ?| cos4 ? sin 4 |? cos4 ? sin 4 解析: tan 300? ? sin 450? ? tan(3600 ? 600 ) ? sin(3600 ? 900 )

? ? tan 600 ? sin 900 ? ? 3 ? 1 ? 1 ? 3 ,故选 B
5、解析: (1)sin240?=sin(180?+60?)=-sin60?= ? (2) cos
5? ? 2 ?? ? =cos ? ? ? ? = ? cos = ? ; 4 4 2 4? ?
王新敞
奎屯 新疆

3 2

(3) cos(-252?)=cos252?= cos(180?+72?)=-cos72?=-0 3090; 6、解析: (1)sin(-119?45′)=-sin119?45′=-sin(180?-60?15′)= -sin60?15′=-0 8682
王新敞
奎屯 新疆

(2)cos

5? ? ? 1 =cos( 2? ? )=cos = 3 3 3 2

(3)cos(-150?)=cos150?=cos(180?-30?) =-cos30?= ? (4)sin
7? ? ? 2 =sin( 2? ? )=-sin = ? 4 4 4 2

3 ; 2

王新敞
奎屯

新疆

[2] 作业布置 1、复习本节课所讲内容 2、预习下一节课内容(向量加法运算及其几何意义)

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6 板书设计
第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 第一课时

一、复习初中相关内容 1、三角函数定义 2、三角函数值 3、三角函数比值关系 二、三角函数诱导公式(一) 1、引入 2? 公式 2、总结 2k? 诱导公式(一) 3、例题讲解 三、三角函数诱导公式(二) 1、引入公式思考 2、总结内容 3、得出诱导公式(二) 4、例题讲解

四、三角函数诱导公式(三) 归纳诱导公式(三)

五、三角函数诱导公式(四) 1、引入公式思考 2、总结内容 3、得出诱导公式(二) 4、例题讲解

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