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第二章平面向量练习


第二章
基础题

平面向量练习

一、选择(5 分 ?7=35 分): 1、下列命题正确的个数是 ??? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ① AB ? BA ? 0 ; ② 0 ? AB ? 0 ;

( ) ??? ??? ??? ? ? ? ??? ? ③ AB ? AC ? BC ; ④ 0 ? AB ? 0

A、1 B、2 C、3 D、4 ? ? ? ? 2、若向量 a ? (1,1) , b ? (1, ?1) , c ? (?1, 2) ,则 c 等于 ( ) 1? 3? 1? 3? 3? 1? 3? 1? A、 ? a ? b B、 a ? b C、 a ? b D、 ? a ? b 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? 3、已知 a ? (1, 2) , b ? (2x, ?3) 且 a ∥ b ,则 x ? ( ) 3 3 A、-3 B、 ? C、 0 D、 4 4 ? ? ? ? ? ? 4、下列命题中: ①若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 ; ②若不平行的两个非零向量 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a , b 满足 a ? b ,则 (a ? b) ? (a ? b) ? 0 ; ③若 a 与 b 平行,则 a ? b ? a ? b ; ④ ? ? ? ? ? ? 若 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c ;其中真命题的个数是( ) A、1 B、2 C、3 D、4 ? ? ? ? ? ? 5、已知 a ? 3 , b ? 2 3 , a ? b ? ?3 ,则 a 与 b 的夹角是 ( ) A、150 ? B、120 ? C、60 ? D、30 ? ( )

6、若 a ? (3,4),b ? (2,?1),且(a ? xb) ? (a ? b) ,则实数 x= A、23 B、
23 2

C、

23 3

D、

23 4

7、在Δ ABC 中,若 AB ? 3, AC ? 4, ?BAC ? 600 ,则 BA ? AC ? A 、6 B、4 C、-6






D、-4
B.若 a?b=0,则 a∥b D.若 a⊥b,则 a?b=(a?b)
2

8、下列命题中正确的是(

A.若 a?b=0,则 a=0 或 b=0 C.若 a∥b,则 a 在 b 上的投影为|a|

9、已知平面向量 a ? (3,1) , b ? ( x, ?3) ,且 a ? b ,则 x ? ( A. ?3 B. ?1 C. 1 D. 3

?

?

?

?



10、已知 a、b 为两个单位向量,下列四个命题正确的是 A、a 与 b 相等 C、a?b=1
二、填空题

B、若 a∥b,则 a=b D、a2=b2

11、已知 a ? (5, x), a ? 13, 则x ?
1

? ??? ? ???? 1 ??? 12 、已知 MA ? (?2, 4), MB ? (2,6) ,则 AB ? 2 13、若 A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),且 A、B、C 三点共线,则 x= ? ? 14、已知向量 a ? (6, 2) 与 b ? (?3, k ) 的夹角是钝角,则 k 的取值范围是
15、把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点 所构成的图 形是__ _________。 16、已知 a ? (2,1) 与 b ? (1,2) ,要使 a ? tb 最小,则实数 t 的值为___________。 17、 已知向量 a ? (3,4),b ? (sin? , cos? ), 且 a ∥ b ,则 tan ? = .

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 18、已知 i 、 j 为互相垂直的单位向量, a ? i ? 2 j , b ? i ? ? j ,且 a 与 b 的夹角为锐角,
则实数 ? 的取值范围是 19、设 ABCDEF 为一正六边形, . ,则

20、如图所示,用两根绳子把重 10kg 的物体 W 吊在水平杆子 AB 上, ,则 A 和 B 处所受力的大小(绳子的重量 忽略不计)分别是
三、解答题



21、已知 A(1,0) ,B(4,3) ,C(2,4) ,D(0,2) ,试证明四边形 ABCD 是梯 形。

?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? 22、已知 e1 、 e2 是夹角为 60°的两个单位向量, a ? 3e1 ? 2e2 , b ? 2e1 ? 3e2 ? ? ? ? ? ? (1)求 a ? b ; (2)求 a ? b 与 a ? b 的夹角.

? ? 3x 3x x x ? ? 23、已知向量 a ? (cos ,sin ) , b ? (cos , ? sin ) , x ? [ ? , ] , 2 2 2 2 2 2 ? ? 1 ? ? ? ? (1)求证: (a ? b) ⊥ (a ? b) ; (2) a ? b ? ,求 cos x 的值。 3

2

24、已知点 B(2, ?1) ,且原点 O 分 AB 的比为 ?3 ,又 b ? (1,3) ,求 b 在 AB 上的投影。

?

?

?

?

25、已知 a ? (1,2) , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时, (1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直?

?

?

?

?

?

(2) ka ? b 与 a ? 3 b 平行?平行时它们是同向还是反向?

?

?

中等题目 1.已知 a=(1,-1),b=(λ ,1),a 与 b 的夹角为钝角,则 λ 的取值范围是( A.λ >1 B.λ <1 C.λ <-1 D.λ <-1 或-1<λ <1

)

→ → → → → → → → 2.在四边形 ABCD 中,若AB?CD=-|AB|?|CD|,且BC?AD=|AD|?|BC|,则该四边形 一定是( ) B.矩形 C.菱形 D.正方形 )

A.平行四边形

3.如果两个非零向量 a 和 b 满足等式|a|+|b|=|a+b|,则 a,b 应满足( A.a?b=0 B.a?b=|a|?|b| C.a?b=-|a|?|b| D.a∥b

→ → → 4.(08?湖南理)设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且DC=2BD,CE= → → → → → → → 2EA,AF=2FB,则AD+BE+CF与BC( A.反向平行 B.同向平行 ) C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 )

→ → → → 5.在?ABCD 中,已知AC=(-4,2),BD=(2,-6),那么|2AB+AD|=( A.5 5 B.2 5C. 2 10 D. 85

→ → → → 6.如右图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,且 E、F 分别为

AB、CD 的中点,则(

)

→ 1 A.EF= (a+b+c+d) 2 → 1 B.EF= (a-b+c-d) 2

3

→ 1 C.EF= (c+d-a-b) 2

→ 1 D.EF= (a+b-c-d) 2

→ 1→ → 1→ → → → → 7.在矩形 ABCD 中,AE= AB,BF= BC,设AB=(a,0),AD=(0,b),当EF⊥DE时,求 2 2 |a| 得 的值为( |b| )

8.已知 a=3i-4j,a+b=4i-3j, (1)求向量 a、b 的夹角的余弦值; (2)对非零向量 p,q,如果存在不为零的常数 α ,β 使 α p+β q=0,那么称向量 p,

q 是线性相关的,否则称向量 p,q 是线性无关的.向量 a,b 是线性相关还是线性无关的?
为什么?

9. (本题满分 12 分)设直线 l: +y+2=0 与线段 AB 有公共点 P, mx 其中 A(-2,3),(3,2), B 试用向量的方法求实数 m 的取值范围.

10.(本题满分 14 分)已知 a,b 是两个非零向量,夹角为 θ ,当 a+tb(t∈R)的模取最 小值时. (1)求 t 的值; (2)求 b 与 a+tb 的夹角.

11.已知 O(0,0), A(5, 4), B(7,10) ,若 OP ? OA ? ?OB(? ? R), 当 ? 为何值时; 点 P 在第一、三象限角平分线上?

??? ?

??? ?

??? ?

12.已知向量 a ? (1, 2), b ? (?3, 2) . (1)若 ka ? 2b 与 2a ? 4b 平行,求实数 k 的值; (2)若 ka ? 2b 与 2a ? 4b 垂直,求实数 k 的值.

?

?

? ?

? ?

? ?

? ?

4

答案
基础题 一、选择题

ABBBB CCDCD 二、填空题: 11.±12 ; 12. (2,1);

13. 10 ; 14.k<0 且 k≠-1; 15.圆 以共同的始点为圆心,以单位 1 为半径的圆; ? 4 ? ? 4 ? ? ? ?? 16. ? a ? tb ? (a ? tb )2 ? a 2 ? 2tab ? t 2b 2 ? 5t 2 ? 8t ? 5 ,当 t ? ? 时即可; 5 5
17.

3 4

; 18. (??, ? 2) ? (?2, 1 ) 2



19、
三、解答题

; 20、
3 DC 2

kg,5kg 22. ① a ? b ?

11 1 ;②9 00 23. ①(略);② cos x ? 2 6 ???? ??? ? AO ? ?3 ,得 AO ? ?3OB ,即 (? x, ? y) ? ?3(2, ?1), x ? 6, y ? ?3 24.解:设 A( x, y) , OB ? ??? ? ? ??? ? ??? ? b ?AB 5 得 A(6, ?3) , AB ? (?4, 2), AB ? 20 , b cos ? ? ??? ? ? 10 AB

21. AB ?

25.解: ka ? b ? k (1,2) ? (?3,2) ? ( k ? 3,2 k ? 2)

?

?

? ? a ? 3b ? (1, 2) ? 3(?3, 2) ? (10, ?4)
(1) (ka ? b ) ? (a ? 3b ) , 得 (ka ? b )? (a ? 3b ) ? 10(k ? 3) ? 4(2k ? 2) ? 2k ? 38 ? 0, k ? 19 (2) (ka ? b ) // (a ? 3b ) ,得 ?4(k ? 3) ? 10(2k ? 2), k ? ? 此时 k a ? b ? (? 中等题目 1.[答案] D [解析] 由条件知,a?b=λ -1<0,∴λ <1, 当 a 与 b 反向时,假设存在负数 k,使 b=ka,
?λ =k ? ∴? ? ?1=-k ?k=-1 ? ,∴? ? ?λ =-1

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

1 3

10 4 1 , ) ? ? (10, ?4) ,所以方向相反。 3 3 3

.∴λ <1 且 λ ≠-1.

2.[答案] A → → → → → → [解析] 由AB?CD=-|AB|?|CD|可知AB与CD的夹角为 180°,∴AB∥CD.
5

→ → → → → → 又由BC?AD=|AD|?|BC|知BC与AD的夹角为 0°, ∴BC∥AD,∴四边形 ABCD 是平行四边形. 3.[答案] B [解析] 由|a|+|b|=|a+b|知,

a 与 b 同向,故夹角为 0°,
∴a?b=|a|?|b|cos0°=|a|?|b|. 4. [答案] A [解析] →

AD+BE+CF=AB+BD+BC+CE+BF-BC=AB+ BC+BC



















1→ 3



2→ 1→ → 2 → → 1→ 2→ 1→ 1→ - AC- AB-BC= (AB-AC)+ BC= CB+ BC=- BC,故选 A. 3 3 3 3 3 3 3 5. [答案] D → → → → [解析] 设AB=a,AD=b,则 a+b=AC=(-4,2),b-a=BD=(2,-6), ∴b=(-1,-2),a=(-3,4), → → ∴2AB+AD=2a+b=(-7,6), → → 2 2 ∴|2AB+AD|= (-7) +6 = 85. 6.[答案] C 1 → → → → → 1 → → [解析] ∵EF=OF-OE= (OC+OD)- (OA+OB) 2 2 1 1 = (c+d)- (a+b), 2 2 → 1 ∴EF= (c+d-a-b). 2 7. [答案] D → → → 1→ 1→ [解析] 如图,∵EF=EB+BF= AB+ AD 2 2

? ? ? ? ? ? =? ,0?+?0, ?=? , ?. ?2 ? ? 2? ?2 2?
a b a b

→ → → → 1→ 又∵DE=DA+AE=-AD+ AB 2

6

? ? ? ? =(0,-b)+? ,0?=? ,-b?, ?2 ? ?2 ?
a
2

a

a b |a| → → ∵EF⊥DE,∴ - =0,∴ = 2. 4 2 |b|
8.[解析] (1)b=(a+b)-a=i+j, a 与 b 夹角为 θ , 设 根据两向量夹角公式: cosθ =

2

a?b 3-4 2 = =- . |a||b| 5 2 10
(2)设存在不为零的常数 α ,β 使得 α a+β b=0,
?3α +β =0 ? 那么? ?-4α +β =0 ? ?α =0 ? ?? ?β =0 ?



所以不存在非零常数 α ,β ,使得 α a+β b=0 成立.故 a 和 b 线性无关. 9. [解析] (1)P 与 A 重合时,m?(-2)+3+2=0, 5 ∴m= . 2

P 与 B 重合时,3m+2+2=0,∴m=- .
→ → (2)P 与 A、B 不重合时,设AP=λ PB,则 λ >0. → → 设 P(x,y),则AP=(x+2,y-3),PB=(3-x,2-y). -2 ?x=3λ +1 ? λ ,∴? 2λ +3 ?y= λ +1 ?

4 3

∴?

? ?x+2=λ (3-x) ? ?y-3=λ (2-y)



2m-5 把 x,y 代入 mx+y+2=0 可解得 λ = , 3m+4 2m-5 4 5 又∵λ >0,∴ >0.∴m<- 或 m> . 3m+4 3 2 4 ?5 ? 由(1)(2)知,所求实数 m 的取值范围是-∞,- ∪? ,+∞?. 3 ?2 ? 10. [解析] (1)|a+tb| =a +2ta?b+t b =|b| t +2|a||b|cosθ ?t+|a| . |a|cosθ ∴当 t=- 时,|a+tb|有最小值. |b| |a|cosθ (2)当 t=- 时, |b|
2 2 2 2 2 2 2

b?(a+tb)=a?b+t|b|2
|a|cosθ 2 =|a|?|b|cosθ - ?|b| =0. |b|
7

∴b⊥(a+tb),即 b 与 a+tb 的夹角为 90° 11.解析:令 OP ? ( x, y) ? OA ? ?OB ? (5 ? 7?,4 ? 10?)

??? ?

??? ?

??? ?

?P点在第一、三象限角平分线上. ? 4 ? 10? ? 5 ? 7? ? ? ?

1 3

?5 ? 7? ? 0 5 2 (2)本使P点在第四象限内,必须 ? ?? ?? ?? 4 ? 10? ? 0 7 5 ?
12.解:∵ a ? (1, 2), b ? (?3, 2) , ∴ ka ? 2b ? k (1,2) ? 2(?3,2) ? (k ,2k ) ? (?6,4) ? (k ? 6,2k ? 4) ,

?

?

?

?

? ? 2a ? 4b ? 2(1,2) ? 4(?3,2) ? (2,4) ? (?12,8) ? (14,?4) .
(1)∵ ka ? 2b 与 2a ? 4b 平行,∴

?
?

?
?

?
?

?
?

k ? 6 2k ? 4 ? ,则 k ? ?1 ; 14 ?4

(2)∵ ka ? 2b 与 2a ? 4b 垂直,∴ (k a ? 2b)(2a ? 4b) ? 0 ,

8


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