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2015-2016学年高中数学 1.4直角三角形的射影定理练习 新人教A版选修4-1


1 .4

直角三角形的射影定理

1.所谓射影,就是正射影.其中,从一点向一条直线所引垂线的垂足,叫做这点在这条直 线上的____________. 一条线段的两个端点在一条直线上的正射影间的线段, 叫做这条线段 在直线上的__________. 2.射影定理:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的__________;两直角 边分别是它们在斜边上射影与斜边的__________. 3.如图,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,AD=3,BD=2,则 BD∶BC=____________.

?一层练习 1.下列命题正确的是( )

A.所有的直角三角形都相似 B.所有的等腰三角形都相似 C.所有的等腰直角三角形都相似 D.所有的有一个角为 30°的等腰三角形都相似 1.C 1 2.如图,在矩形 ABCD 中,DE⊥AC,∠ADE= ∠CDE,则∠EDB=( 3 )

A.22.5° B.30°
1

C.45° D.60°

2.C 3.如图所示,四边形 ABCD 是矩形,∠BEF=90°,①②③④这四个三角形能相似的是 ________.

3.①③ 4. 在△ABC 中, AC⊥BC, CD⊥AB 于点 D, AD=27, BD=3, 则 AC=________, BC=________,

CD=________.
4.9 10 3 10 9

?二层练习 1 5.如图所示,在△ABC 中,CD⊥AB,BD=AB- AC,则∠BAC 等于( 2 )

A.60° C.45° 5.A

B.30° D.75°

6.已知在 Rt△ABC 中,CD 是斜边上的高,若 AD=p,BD=q,则 tan A 的值是( A.p∶q B. pq∶q

)

C. pq∶p D. p∶ q 6.C 7.在△ABC 中,CD⊥AB 于点 D,下列不能判定△ABC 为直角三角形的是( A.AC=2,AB=2 2,CD= 2 )

2

B.AC=3,AD=2,BD=3 12 C.AC=3,BC=4,CD= 5 D.AC= 21,BD=4,CD=2 3 7.B 8.在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,AD∶BD=2∶3,则△ACD 与△CBD 的相似 比为____. 8. 6∶3 9.如图所示,在矩形 ABCD 中,AB=a,BC=b,点 M 是 BC 的中点,DE⊥AM,点 E 是垂 足.求证:DE= 2ab 4a + b
2 2

.

9.证明:在 Rt△AMB 和 Rt△ADE 中, ∠AMB=∠DAE, ∠ABM=∠AED=90°, ∴△ABM∽△DEA. ∴

AB AM = . DE AD

∵AB=a,BC=b, ∴DE=

AB·AD a·b 2ab = . 2= 2 2 AM b 4a +b 2 a+
4

?三层练习 10.如图,在矩形 ABCD 中,AB= 3,BC=3,BE⊥AC,垂足为 E,则 ED=____.

3

10.

21 2

11.如图,已知 Rt△ABC 的两条直角边 AC,BC 的长分别为 3 cm,4 cm,以 AC 为直径 的圆与 AB 交于点 D,则 BD=______.

11. 解析: 依题意有 AB=5(cm), 连 CD, 则 CD⊥AB 则 BC =BD·AB, BD= 16 答案: cm 5

2

BC2 16 = (cm). AB 5

12.如图,在⊙O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为 E,EF⊥BC,垂足为 F,若 AB=6,

CF·CB=5,则 AE=________.
12.解析:依题意有 CE =CF·CB=5,CE= 5, 连接 OC,则 EO= OC -CE =2,
2 2 2

AE=AO-EO=1.
答案:1

13.如图所示,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,CD 是 AB 上的高.已知 BD=4,AB=29,试 求出图中其他未知线段的长. 13.解析:因为 BD=4,AB=29,由直角三角形的射影定理有 BC =BD·AB=4×29,即
4
2

BC=2 29. AD=AB-BD=29-4=25. AC2=AD·AB=25×29,AC=5 29. CD2=BD·AD=4×25,CD=10.
综上,AD=25,BC=2 29,AC=5 29,CD=10.

14.如图,在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,DE 是在 Rt△BCD 斜边 BC 上的高,若

BE=6,CE=2,求 AD 的长.

14.解析:∵CD⊥AB,∴△BCD 为 Rt△,即∠CDB=90°, ∵DE⊥BC.由射影定理可知:

DE2=CE·BE=12,∴DE=2 3, CD2=CE·BC=16,∴CD=4,
∵BD =BE·BC=48,∴BD=4 3, 在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB, 由射影定理可得:CD =AD·BD,
2 2

CD2 16 4 3 ∴AD= = = . BD 4 3 3

15.如图所示,已知 BD、CE 是△ABC 的两条高,过点 D 的直线交 BC 和 BA 的延长线于 点 G、H,交 CE 于点 F,且∠H=∠BCF.求证:GD =GF·GH.
2

15.证明:∵∠H=∠BCE,CE⊥BH,

5

∴△BCE∽△BHG. ∴∠BEC=∠BGH=90°,∴HG⊥BC. ∵BD⊥AC,在 Rt△BCD 中,由射影定理得,

GD2=BG·CG.①
∵∠H=∠BCF, ∴∠FGC=∠BGH=90°, ∴△FCG∽△BHG, ∴

FG CG = , BG GH

∴BG·CG=GH·FG.② 由①②,得 GD =GH·FG.
2

运用射影定理时,要注意其成立的条件,要结合图形去记忆定理,当所给条件中具备定 理的条件时,可直接运用定理,有时也可通过作垂线使之满足定理的条件,再运用定理,在 处理一些综合问题时,常常与三角形的相似相联系,要注意它们的综合运用.

【习题 1.4】 1. 解析:如图所示,

∵△ABC 是直角三角形,CD 是 AB 边上的高,∴CD =AD·BD, ∴60 =25×BD,∴BD=144, ∴AB=AD+BD=25+144=169. 根据射影定理知 AC =AD·AB, ∴AC- 25×169=65.又∵BC =AB -AC ,∴BC= 169 -65 =156. 2. 证明:如图所示,∵CD⊥AB,∴△ACD 是直角三角形,又∵∠BAC=60°,
2 2 2 2 2 2 2

2

6

1 ∴∠ACD=30°,∴AD= AC. 2 1 又∵BD=AB-AD,∴BD=AB- AC. 2 3.解析:作法:①作一直线 l,在 l 上依次截取线段 AD=b,DB=a. ②过点 D 作 AB 的垂线 l′. ③以 AB 的中点 O 为圆心,OB 的长为半径作弧,与 l′交于点 C,则 CD 即为所求.图略. 1 证明:连接 AC,BC,OC.∵OC=OB= AB, 2 ∴△ABC 为直角三角形.∵CD⊥AB, ∴CD =AD·BD=ab,∴线段 CD 为线段 a 和 b 的比例中项.
2

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