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2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(山东.理)含详解 (2)

2009 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 数学(理科)
本试卷共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 祝考试顺利 注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上指定位置。 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试题卷上无效。 3. 填空题和解答题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内,答在试 题卷上无效。 4. 考试结束,请将本试题卷和答题卡一并上交。 考公式: 柱体的体积公式:V=Sh.其中 S 是柱体的底面积,h 是柱体的高。 锥体的体积公式:V= S h ,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高。
3 1

如果事件 A, B 互斥,那么 P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( B ) 如果事件 A, B 相互独立,那么 P ( A ?B ) ? P ( A ) ?P ( B ) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概 率
Pn ( k ) ? C n P (1 ? P )
k k n?k

( k ? 0, 2, , n ) 1, ?

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 (1)集合 A={0,2,a},B={1,a2}.若 A ? B={0,1,2,4,16} ,则 a 的值为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)4 (2)复数
3?i 1? i

等于

(A)1+2i (B)1-2i (C)2 +i (D)2 – i ? (3) 将函数 y= sin 2 x 的图像向左平移 个单位, 再向上平移 1 个单位,
4

所得图像的函数解析式是 (A)y= cos 2 x (C)y=1+ sin ? 2 x ?
? ?

(B)y= 2 cos x
? ?
? 4 ?

2

(D)y= 2 sin x

2

(4)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 (A) 2 ? ? 2 3 (B) 4 ? ? 2 3

(C) 2 ? ?

2 3 3

(D) 4 ? ?

2 3 3

(5)已知 ? , ? 表示两个不同的平面,m 为平面 ? 内的一条直线,则“ ? ┸ ? ”是“ m ┸ ? ” 的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (6)函数 y=
e +e e -e
x x -x -x

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

的图象大致为

(7)设 p 是 ? A B C 所在平面内的一点, B C+ B A= 2 B P ,则 (A) P A+ P B= 0 (C) P B+ P C= 0
??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

(B) P C+ P A= 0 (D) P A+ P B+ P C= 0
??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

(8)某工厂对一批产品进行了抽样检测。右图是根据抽样 检测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方
106 图,其中产品净重的范围是 ? 96, ? ,样本数据分组为 9 ? 9 6,8 ? ,9 8,0 0 ? ,1 0 0,0 2 ? ,1 0 2,0 4 ? ,1 0 4,0 6 ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1

已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36,则样本中净 重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是 (A)90 (B)75 (C)60 (D)45 (9)设双曲线 心率为 (A)
5 4

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 的一条渐近线与抛物线 y ? x ? 1 只有一个公共点,则双曲线的离
2

(B)

5

(C)

5 2

(D)

5

(10) 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ) ? ?

? lo g 2 (1 ? x ), x ? 0 ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2 ), x ? 0

,则 f ( 2 0 0 9 ) 的值为

(A)-1

(D) 2 ?x 1 (11)在区间 ? ? 1,1 ? 上随机取一个数 x , co s 的值介于 0 到 之间的概率为
2 2

(B) 0

(C) 1

(A)

1 3

(B)

2

?

(C)

1 2

(D)

2
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3

?3 x ? y ? 6 ? 0, ? (12)设 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 , 若目标函数 z ? a x ? b y ( a> 0 , b> 0) 的最大值为 ? x ? 0, y ? 0, ?

12,则 (A)

2

?

3 b

的最小值为 (B)
8 3

a 25

6

(C)

11 3

(D) 4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. (注意:在试题卷上作答无效) ......... (13)不等式 2 x ? 1
? x?2
x

< 0 的解集为

.

(14)若函数 f ( x ) ? a ? x ? a ( a> 0) , 且 a ? 1 ) 有两个零点,则实数 a 的 取值范围是 . (15)执行右边的程序框图,输出的 T=

.

(16)已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 4 ) ? ? f ( x ) , 且在区间[0,2]上是增函数.若方程 f ( x ) ? m ( m> 0) 在区间[-8,8] 上有四个不同的根 x1, x 2 , x 3 , x 4 , 则 x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。 (17) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 设函数 f ? x ? ? co s( 2 x ?
?
3
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) ? sin x 。
2

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最大值和最小正周期;

(Ⅱ) A, C 为 ? A B C 的三个内角, co s B ? 设 B, 若

1

c 1 , f ( ) ? ? , C 为锐角, 且 求 3 2 4

sin A 。

(18) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 如 图 , 在 直 四 棱 柱 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中 , 底 面 ABCD 为 等 腰 梯 形 , AB ∥ CD,AB=4,BC=CD=2, A A1 ,AB 的中点。 (Ⅰ)证明:直线 E E 1 ∥平面 F C C 1 ; (Ⅱ)求二面角 B ? F C 1 ? C 的弦值。
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(19)(本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 在某学校组织的一次蓝球定点投蓝训练中,规定每人最多投 3 次;在 A 处每投进一 球得 3 分,在 B 处每投进一球得 2 分;如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮,否则投三 次。某同学在 A 处的命中率 q 1 为 0.25,在 B 处的命中率为 q 2 .该同学选择先在 A 处投一球,以 后都在 B 处投,用 ? 表示该同学投篮训练结束后所得的总分,其分布列为

? ? ? 求 q 2 的值; ? ?? ? 求随机变量 ? 的数学期量 E ? ;
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? ??? ? 试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率
的大小。

20. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) .........
. 等 比 数 列 ? a n ? 的 前 n 项 和 为 , 已 知 对 任 意 的 n ? N , , 点 ( n S n )均 在 函 数

y ? b x? ( r b 0 ?且

b 1 , 均 为 常 数 的图象上。 ? ,b r

(Ⅰ)求 r 的值。 (Ⅱ)当 b=2 时,记 b n ? 2 (lo g 2 a n ? 1)( n ? n ) 证明:对任意的,不等式成立
b1 ? 1 b1 ? b2 ? 1 b2 ?…
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bn ? 1 bn

?

n ?1

(21) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) .........
A 两县城 A 和 B 相距 20Km,现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 ? B

上选择一点

C 建造垃圾理厂, 其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关, 对城 A 和城 B 的总影响度 为对城 A 与对城 B 的影响度之和。记 C 点到城 A 的距离 xKm,建在 C 处的垃圾处理厂对城 B 的影响度为 Y,统计调查表明;垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 B 的平方成反比, 比例系数为 4;城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比,比例系数为 K,当垃圾
A 处理厂建在弧 ? B 的中点时,对城 A 和城 B)总影响度为 0.065

(Ⅰ)将 Y 表示成 X 的函数;

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A (Ⅱ)讨论(Ⅰ)中函数的单调性,并判断弧 ? B 上是否存在一点,使建在此处的垃圾

处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小?若存在,求出该点城 A 的距离;若不存在,说明理由。

(22) (本小题满分 14 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 设椭圆 E:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a , b ? 0 ) M ( 2 . 2 ), N ( 6 ,1) ,O 为坐标原点

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒在两个交点 A,
?? ?? B 且 ? O A ? ? O B ?若存在,写出该圆的方程,关求 A B 的取值范围;若不存在,说明

理由。

2009 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 理科数学(参考答案)
一、 1-12 选择题 D C B C B A
2

B

A

D

C

A

A

1. 【解析】:∵ A ? ? 0, 2, a ? , B ? ?1, a 答案:D 2. 【解析】: 答案:C
3?i 1? i ? (3 ? i )(1 ? i ) (1 ? i )(1 ? i ) ?

?a 2 ? 16 A ? B ? ? 0,1, 2, 4,1 6 ? ∴ ? ∴ a ? 4 ,故选 D. ?, a ? 4 ?

3 ? 2i ? i 1? i
2

2

?

4 ? 2i 2

? 2 ? i ,故选 C.

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3. 【 解 析 】 : 将 函 数 y ? sin 2 x 的 图 象 向 左 平 移
y ? sin ( 2 x ?

?
4

个 单 位 , 得 到 函 数 y ? sin 2 ( x ?

?
4

) 即

?
2

) ? co s 2 x 的 图 象 , 再 向 上 平 移 1 个 单 位 , 所 得 图 象 的 函 数 解 析 式 为
2

y ? 1 ? co s 2 x ? 2 co s x ,故选 B.

答案:B 【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式 的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 4.【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为 1,高为 2,体积为 2 ? ,
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四棱锥的底面边长为 2 ,高为 3 ,所以体积为 ?
3 2 3 3

1

?

2

?

2

?

3 ?

2 3 3

所以该几何体的体积

为 2? ?

.答案:C

【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 计算出.几何体的体积. 5.【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面α 内的 一条直线, m ? ? ,则 ? ? ? ,反过来则不一定.所以“ ? ? ? ”是“ m ? ? ”的必要不充分条件.
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答案:B. 6. 【 解 析 】 : 函 数 有 意 义 , 需 使 e ? e
x ?x

? 0 , 其 定 义 域 为 ?x | x ? 0 ? , 排 除 C,D, 又 因 为

y ?

e ?e
x

?x ?x

e ?e
x

?

e e

2x 2x

?1 ?1

? 1? e

2
2x

?1

,所以当 x ? 0 时函数为减函数,故选 A.

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答案:A.

【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在 于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. 7.【解析】:因为 B C ? B A ? 2 B P ,所以点 P 为线段 AC 的中点,所以应该选 B。 答案:B。 【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则,可以借助图形解答。 8. 【解析】 :产品净重小于 100 克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300, 已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36,设样本容量为 n ,则
36 n ? 0 . 300 ,所以 n ? 120 ,净重大于或等于 98 克并且小
??? ? ??? ? ??? ?

于 104 克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本中净重大于或等于 98 克并且 小于 104 克的产品的个数是 120×0.75=90.故选 A. 答案:A
x a
2 2

9. 【解析】:双曲线

?

y b

2 2

b ? ? y ? x x ,由方程组 ? ? 1 的一条渐近线为 y ? ,消去 y,得 a a ? y ? x2 ? 1 ?

b

x ?
2

b

b 2 x ? 1 ? 0 有唯一解,所以△= ( ) ? 4 ? 0 , a a
? 2 ,e ?

所以

b a

c a

?

a ?b
2

2

?

1? (

b a

) ?
2

a

5 ,故选 D.

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答案:D. 10. 【解析】:由已知得 f ( ? 1) ? log 2 2 ? 1 , f (0 ) ? 0 , f (1) ? f (0) ? f ( ? 1) ? ? 1 ,
f (2) ? f (1) ? f (0) ? ? 1 , f (3) ? f (2) ? f (1) ? ? 1 ? ( ? 1) ? 0 , f (4) ? f (3) ? f (2) ? 0 ? ( ? 1) ? 1 , f (5) ? f (4 ) ? f (3) ? 1 , f (6) ? f (5) ? f (4) ? 0 ,

所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f(2009)= f(5)=1,故选 C. 答案:C. ?x 1 11. 【解析】:在区间[-1,1]上随机取一个数 x,即 x ? [ ? 1,1] 时,要使 co s 的值介于 0 到 之
2 2

间,需使 ?

?
2

?

?x
2

??

?
3



?
3

?

?x
2

?

?
2

∴ ?1 ? x ? ?
2

2 3



2 3

? x ? 1, 区间长度为

2 3

, 由几何

概型知 co s

?x
2

的值介于 0 到

1 2

之间的概率为

1 3 ? .故选 A. 2 3

12. 【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by= z(a>0,b>0) 过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点(4,6)时, 目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)取得最大 12, 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6, 而 答案:A
2 a ? 3 b

=(

2 a

?

3 2 a ? 3b 1 3 b a 13 25 ) ? ?( ? )? ?2? ,故选 A. b 6 6 a b 6 6

二、填空题 13.
{ x | ? 1 ? x ? 1}

14. a ? 1

15.30

16. -8

三、解答题 17. 解: (1)f(x)=cos(2x+
?
3

)+sin x.= co s 2 x co s

2

?
3

? sin 2 x sin

?
3

?

1 ? co s 2 x 2

?

1 2

?

3 2

sin 2 x

所以函数 f(x)的最大值为

1? 2

3

,最小正周期 ? .

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(2) f ( ) =
2

c

1 2

?

3 2

sin C =-

1 4

, 所以

所以 sin C ?
sin ? B 2 3
2 3

3 2

,

因为 C 为锐角, 所以
1 2 1 3

所以 C ?

?
3

,

又因为在 ? ABC 中, cosB=

1 3

,

3 ,

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sin A ? sin ( B ? C ) ? sin B co s C ? co s B sin C ?

3?

?

?

3 2

?

3 2

.

18. 解法一: (1)在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,取 A1B1 的中点 F1, 连接 A1D,C1F1,CF1,因为 AB=4, CD=2,且 AB//CD, // 所以 CD = A1F1,A1F1CD 为平行四边形,所以 CF1//A1D, 又因为 E、E 1 分别是棱 AD、AA 1 的中点,所以 EE1//A1D, 所以 CF1//EE1,又因为 E E 1 ? 平面 FCC 1 , C F1 ? 平面 FCC 1 , 所以直线 EE 1 //平面 FCC 1 . E1 E A F D A1 D1 F1 P O B C1 B1

C

(2)因为 AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱 AB 的中点,所以 BF=BC=CF,△BCF 为正三角形,取 CF 的中点 O,则 OB⊥CF,又因为直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,CC1⊥平面 ABCD,所以 CC1⊥BO,所以 OB⊥平面 CC1F,过 O 在平面 CC1F 内作 OP⊥C1F,垂足为 P,连接 BP,则∠OPB 为二面角 B-FC 1 -C 的一个平面角, 在 △ BCF 为 正 三 角 形 中 , O B ?
3 , 在 Rt △ CC1F 中 , △ OPF ∽ △ CC1F, ∵
OP C C1 ? OF C1F



OP ?

1 2 ?2
2 2

?2?

2 2

,

w.w.w.k.s.5. u.c. o. m

2

在 Rt△OPF 中, B P ?

OP ? OB
2

2

?

1 2

?3 ?

14 2

, co s ? O P B ?

OP BP

?

2 14 2

?

7 7

,所以二

面角 B-FC 1 -C 的余弦值为

7 7

. D1 A1

z C1 B1 D A x ,0 ) ,E1 (
3

解法二:(1)因为 AB=4, BC=CD=2, F 是棱 AB 的中点, 所以 BF=BC=CF,△BCF 为正三角形, 因为 ABCD 为 等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取 AF 的中点 M, 连接 DM,则 DM⊥AB,所以 DM⊥CD, 以 DM 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴建立空间直角坐标系, ,则 D(0,0,0),A( 3 ,-1,0),F( 3 ,1,0),C(0,2,0),
3 2
1 2

E1

C F ) , 所 B 以

y

E M ,-1,1

C1



0,2,2



,E



,

?

???? E E1 ? (

3 2

,?

1 2

???? ? ???? ? ??? ? ,1) , C F ? ( 3 , ? 1, 0 ) , C C 1 ? (0, 0, 2 ) F C 1 ? ( ? 3 ,1, 2 ) 设平面 CC1F 的法向量
? ??? ? ? n ?CF ? 0 ? ? ? ? ???? ? n ? C C1 ? 0 ?



? n ? ( x, y, z )







? 3x ? y ? 0 ? ? z ? 0 ? ?



? n ? (1,

3 , 0)

,



? ???? n ? E E1 ?

3 2

?1?

1 2

?

? ???? 3 ? 1 ? 0 ? 0 ,所以 n ? E E 1 ,所以直线 EE 1 //平面 FCC 1 .

w.w.w.k.s .5.u. c.o.m

?? ??? ? ?? ??? ? ? n1 ? F B ? 0 ? ( 2 ) F B ? (0, 2, 0 ) , 设 平 面 BFC1 的 法 向 量 为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , 则 ? ?? ???? 所以 ? ? n1 ? F C 1 ? 0 ?

?? ? ?? y1 ? 0 ? ? ,取 n1 ? (2, 0, 3 ) ,则 n ? n1 ? 2 ? 1 ? ? ? ? 3 x1 ? y 1 ? 2 z 1 ? 0 ?
? | n |? ?? 2 1 ? ( 3 ) ? 2 , | n1 | ? 2 ? 0 ? ( 3) ?
2 2

3?0 ? 0?

3 ?2,

7 ,

w.w.w.k.s.5. u.c. o.m

? ?? ? ?? n ? n1 2 7 ? 所以 co s ? n , n1 ? ? ? ??? ? ,由图可知二面角 B-FC 1 -C 为锐角,所以二面角 B-FC 1 -C 7 | n || n1 | 2 ? 7
7 7

的余弦值为

.

w.w.w.k.s.5. u.c. o.m

19. 解:(1)设该同学在 A 处投中为事件 A,在 B 处投中为事件 B,则事件 A,B 相互独立,且 P(A)=0.25, P ( A ) ? 0 .7 5 , P(B)= q 2 , P ( B ) ? 1 ? q 2 . 根据分布列知: ? =0 时 P ( A B B ) ? P ( A ) P ( B ) P ( B ) ? 0 .7 5(1 ? q 2 ) =0.03,所以 1 ? q 2 ? 0 .2 ,
2

q 2 =0.8. (2)当 ? =2 时, P1= P ( A B B ? A B B ) ? P ( A B B ) ? P ( A B B )

w.w.w.k. s.5.u. c.o.m

? P ( A ) P ( B ) P ( B ) ? P ( A ) P ( B ) P ( B ) =0.75 q 2 ( 1 ? q 2 )×2=1.5 q 2 ( 1 ? q 2 )=0.24

当 ? =3 时, P2 = P ( A B B ) ? P ( A ) P ( B ) P ( B ) ? 0 .2 5(1 ? q 2 ) =0.01,
2

当 ? =4 时, P3= P ( AB B ) ? P ( A ) P ( B ) P ( B ) ? 0 .7 5 q 2 =0.48,
2

当 ? =5 时, P4= P ( A B B ? A B ) ? P ( A B B ) ? P ( A B )
? P ( A ) P ( B ) P ( B ) ? P ( A ) P ( B ) ? 0 .2 5 q 2 (1 ? q 2 ) ? 0 .2 5 q 2 =0.24

所以随机变量 ? 的分布列为
?

0 0.03

2 0.24

3 0.01

4 0.48

5 0.24

p

随机变量 ? 的数学期望 E ? ? 0 ? 0.03 ? 2 ? 0.24 ? 3 ? 0.01 ? 4 ? 0.48 ? 5 ? 0.24 ? 3.63 (3)该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为 P ( B B B ? B B B ? B B )
? P ( B B B ) ? P ( B B B ) ? P ( B B ) ? 2(1 ? q 2 ) q 2 ? q 2 ? 0.896 ;
2 2

该同学选择(1)中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0.48+0.24=0.72. 由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大. 20. 解:因为对任意的 n ? N ,点 ( n , S n ) , 均在函数 y ? b ? r ( b ? 0 且 b ? 1, b , r 均为常数的图
x
?

像 上 . 所 以 得
n

Sn ?

n

b?

,r 当
n

n ?1
n ?1

时 ,
n ?1

a1 ? S 1 ? b ? r

, 当

n? 2

时, a n ? S n ? S n ?1 ? b ? r ? ( b
r ? ? 1 ,公比为 b , a n ? ( b ? 1) b

n ?1

? r) ? b ? b

? ( b ? 1) b

,又因为{ a n }为等比数列,所以

n ?1

(2)当 b=2 时, a n ? ( b ? 1) b 则
bn ? 1 bn ? 2n ? 1 2n

n ?1

? 2

n ?1

,

b n ? 2 (lo g 2 a n ? 1) ? 2 (lo g 2 2

n ?1

? 1) ? 2 n

,所以

b ?1 3 5 7 b1 ? 1 b 2 ? 1 2n ? 1 · ··· n ··· ? ? ? ? b1 b2 bn 2 4 6 2n b ?1 3 5 7 b1 ? 1 b 2 ? 1 2n ? 1 · ··· n ··· ? ? ? ? ? b1 b2 bn 2 4 6 2n n ? 1 成立.

下面用数学归纳法证明不等式
3 2

① 当 n ? 1 时,左边=

,右边= 2 ,因为

3 2

?

2 ,所以不等式成立.

② 假设当 n ? k 时不等式成立,即

b ?1 3 5 7 b1 ? 1 b 2 ? 1 2k ? 1 · ··· k ··· ? ? ? ? ? b1 b2 bk 2 4 6 2k

k ? 1 成立.则

当 n ? k ? 1 时,左边=

b ? 1 bk ?1 ? 1 3 5 7 b1 ? 1 b 2 ? 1 2k ? 1 2k ? 3 · ··· k ··· ? ? ? ?? ? ? b1 b2 bk bk ?1 2 4 6 2k 2k ? 2
2

?

k ?1?

2k ? 3 2k ? 2

?

( 2 k ? 3)

4 ( k ? 1)

?

4 ( k ? 1) ? 4 ( k ? 1) ? 1
2

4 ( k ? 1)

?

( k ? 1) ? 1 ?

1 4 ( k ? 1)

?

( k ? 1) ? 1

所以当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立. 21. 解法一:(1)如图,由题意知 AC⊥BC, B C ? 4 0 0 ? x , y ?
2 2

4 x
2

?

k 400 ? x
2

(0 ? x ? 2 0 )

C x

其中当 x ? 1 0 2 时,y=0.065,所以 k=9 所以 y 表示成 x 的函数为 y ?
4 x
2

4 x
2

?

9 400 ? x
8 x
3
2

(0 ? x ? 2 0 )
9 ? (?2 x)
4 2

A
1 8 x ? 8( 4 0 0 ? x ) x (400 ? x )
3 2 2 2

B , 令 y'? 0 得

(2) y?

?

9 400 ? x
2 2
2

, y'? ?

?

(400 ? x )
2

2

?

1 8 x ? 8(4 0 0 ? x ) ,所以 x ? 1 6 0 ,即 x ? 4 1 0 ,当 0 ? x ? 4 1 0 时, 1 8 x ? 8(4 0 0 ? x ) ,
4
2

4

2

2

4 2 2 即 y ' ? 0 所以函数为单调减函数,当 4 6 ? x ? 20 时, 1 8 x ? 8(4 0 0 ? x ) ,即 y ' ? 0 所以函

数 为 单 调 增 函 数 . 所 以 当 x ? 4 10 时 , 即 当 C 点 到 城 A 的 距 离 为 4 10 时 , 函 数
y ? 4 x
2

?

9 400 ? x
2

(0 ? x ? 2 0 ) 有最小值.

解法二: (1)同上. (2)设 m ? x , n ? 4 0 0 ? x ,
2 2

则 m ? n ? 400 , y ?

4 m

?

9

n 4 9 4 9 m?n 1 4n 9m 1 1 y ? ? ?( ? ) ? [1 3 ? ( ? )] ? (1 3 ? 1 2 ) ? m n m n 400 400 m n 400 16
? 9m n

,所以

当 且 仅 当

4n m

即?

? n ? 240 ?m ? 160

时取”=”.
9

下面证明函数 y ?

4 m

?

400 ? m
4 m1

在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数.
? 9 4 0 0 ? m1 ) ? ?( 4 m2 ? 9 400 ? m2 ?

设 0<m1<m2<160,则 y1 ? y 2 ?

)

?(

4 m1

?

4 m2

)?(

9 4 0 0 ? m1

?

9 400 ? m2

4 ( m 2 ? m1 ) m1m 2

9 ( m1 ? m 2 ) ( 4 0 0 ? m 1 )( 4 0 0 ? m 2 )

? ( m 2 ? m 1 )[

4 m1m 2

?

9 ( 4 0 0 ? m 1 )( 4 0 0 ? m 2 )

] ? ( m 2 ? m1 )

4 ( 4 0 0 ? m 1 )( 4 0 0 ? m 2 ) ? 9 m 1 m 2 m 1 m 2 ( 4 0 0 ? m 1 )( 4 0 0 ? m 2 )

,

因为 0<m1<m2<160,所以 4 ( 4 0 0 ? m 1 )( 4 0 0 ? m 2 ) >4×240×240 9 m1m2<9×160×160 所以
4(400 ? m 1 )(400 ? m 2 ) ? 9 m 1 m 2 m 1 m 2 (400 ? m 1 )(400 ? m 2 ) ?0,

所以 ( m 2 ? m 1 ) 上为减函数.

4 ( 4 0 0 ? m 1 )( 4 0 0 ? m 2 ) ? 9 m 1m 2 m 1 m 2 ( 4 0 0 ? m 1 )( 4 0 0 ? m 2 )

? 0 即 y 1 ? y 2 函数 y ?

4 m

?

9 400 ? m

在(0,160)

同 理 , 函 数 y?
y1 ? y 2 ? 4 m1 ? 9

4 m

?

9 400 ? m
?( 4 m2 ?

在 (160,400) 上 为 增 函 数 , 设
9 400 ? m2 ) ? ( m 2 ? m1 )

160<m1<m2<400, 则

4 ( 4 0 0 ? m 1 )( 4 0 0 ? m 2 ) ? 9 m 1 m 2 m 1 m 2 ( 4 0 0 ? m 1 )( 4 0 0 ? m 2 )

4 0 0 ? m1

因为 1600<m1<m2<400,所以 4 ( 4 0 0 ? m 1 )( 4 0 0 ? m 2 ) <4×240×240, 9 m1m2>9×160×160 所以
4 ( 4 0 0 ? m 1 )( 4 0 0 ? m 2 ) ? 9 m 1 m 2 m 1 m 2 ( 4 0 0 ? m 1 )( 4 0 0 ? m 2 ) ?0,

所 以 ( m 2 ? m1 )

4 ( 4 0 0 ? m 1 )( 4 0 0 ? m 2) ? 9 m m 1 m 1 m 2 ( 4 0 0 ? m 1 )( 4 0 0 ? m 2 )

2 ? 0 即 y1 ? y 2 函 数 y ?

4 m

?

9 400 ? m



(160,400)上为增函数. 所以当 m=160 即 x ? 4 1 0 时取”=”,函数 y 有最小值, 所以弧 小. 22. 解:(1)因为椭圆 E:
x a
2 2

上存在一点,当 x ? 4 1 0 时使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最

?

y b

2 2

? 1 (a,b>0)过 M(2,

2 ) ,N(

6 ,1)两点,

2 1 ? 4 ? 1 ? ?1 ? 2 2 ? a2 b2 ? a2 ?a2 ? 8 x y ? ? 8 ? ?1 所以 ? 解得 ? 所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 8 4 ?b ? 4 ? 6 ? 1 ?1 ? 1 ? 1 ? a2 b2 ?b2 4 ? ?

(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且
? y ? kx ? m ??? ? ??? ? ? 2 O A ? O B , 设 该 圆 的 切 线 方 程 为 y ? kx ? m 解 方 程 组 ? x 2 得 y ? ?1 ? 4 ? 8

x ? 2 ( kx ? m ) ? 8 ,即 (1 ? 2 k ) x ? 4 km x ? 2 m ? 8 ? 0 ,
2 2 2 2 2

则△= 16 k m ? 4(1 ? 2 k )(2 m ? 8) ? 8(8 k ? m ? 4) ? 0 ,即 8 k ? m ? 4 ? 0
2 2 2 2 2 2
2 2

4 km ? ? x1 ? x 2 ? ? 1 ? 2 k 2 ? ? 2 ? x x ? 2m ? 8 2 ? 1 2 1 ? 2k ?
y1 y 2 ? ( kx1 ? m )( kx 2 ? m ) ? k x1 x 2 ? km ( x1 ? x 2 ) ? m ?
2 2

,

k ( 2 m ? 8)
2 2

1 ? 2k
2

2

?

4k m 1 ? 2k

2

2 2

?m ?
2

m ? 8k
2

2

1 ? 2k

2

要使 O A ? O B ,需使 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 ,即
3m ? 8
2

??? ?

??? ?

2m ? 8
2

1 ? 2k

2

?

m ? 8k
2

1 ? 2k

2

? 0 ,所以 3 m ? 8 k ? 8 ? 0 ,
2 2

所以 k ?
2

8
2 6 3

? m2 ? 2 2 6 8 2 ? 0 又 8 k ? m ? 4 ? 0 ,所以 ? ,所以 m ? ,即 m ? 或 2 3 3 ?3m ? 8
2 2

m ? ?

, 因 为 直 线 y ? k x? m 为 圆 心 在 原 点 的 圆 的 一 条 切 线 , 所 以 圆 的 半 径 为

r ?

m 1? k
2

,r ?
2

m

2 2

1? k

? 1?

m

2 2

3m ? 8 8
2 6 3

?

8 3

,r ?

2 6 3

,所求的圆为 x ? y ?
2 2

8 3

,此时圆的

切 线 y ? k x? m 都 满 足 m ?

或m ??

2 6 3

,而当切线的斜率不存在时切线为

x ? ?

2 6 3

与椭圆

x

2

?

y

2

? 1 的两 个交点为 (

2 6 3

,?

2 6 3

) 或 (?

2 6 3

,?

2 6 3

) 满足

8

4

? ? ?? ? ? ?? 8 2 2 O A ? O B,综上, 存在圆心在原点的圆 x ? y ? ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 3 ??? ? ??? ? 恒有两个交点 A,B,且 O A ? O B .

4 km ? ? x1 ? x 2 ? ? 1 ? 2 k 2 ? 因为 ? , 2 ? x x ? 2m ? 8 2 ? 1 2 1 ? 2k ?

所以 ( x1 ? x 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? ( ?
2 2

4 km 1 ? 2k

) ? 4? 2
2

2m ? 8
2

1 ? 2k

2

?

8(8 k ? m ? 4 )
2 2

(1 ? 2 k )
2

2

,

| A B |?

( x1 ? x 2 ) ? ? y 1 ? y 2 ? ?
2 2

(1 ? k )( x1 ? x 2 ) ?
2 2

(1 ? k )
2

8(8 k ? m ? 4 )
2 2

(1 ? 2 k )
2

2

?

32 4k ? 5k ? 1 ? ? 4 2 3 4k ? 4k ? 1
4 2

32 3

[1 ?

k
4

2 2

4k ? 4k ? 1

],

①当 k ? 0 时 | A B |?

32 3

[1 ? 4k ?
2

1 1 k
2

] ?4
1 8

因为 4 k ?
2

1 k
2

? 4 ? 8 所以 0 ?
4k ?
2

1 1 k
2

? ?4

,

所以

32 3

?

32 3

[1 ? 4k ?
2

1 1 k
2

] ? 12 , ?4

所以

4 3

6 ? | A B |? 2 3 当且仅当 k ? ?

2 2

时取”=”.

② 当 k ? 0 时, | A B |?

4 6 3

.

③ 当 AB 的 斜 率 不 存 在 时 , 两 个 交 点 为 (

2 3

6

,?

2 3

6

)或 (?

2 6 3

,?

2 6 3

) ,所以此时

| A B |?

4 6 3

,
4 3 6 ? | A B |? 2 3 即: | A B |? [ 4 3

综上, |AB |的取值范围为

6,2 3]