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河北省衡水中学10-11学年高二数学上学期期末考试 理

2010— 2010—2011 学年度第一学期期末考试 高二年级数学(理科)试卷 高二年级数学(理科)

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分) 共 120 分钟

一、选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的 选择题(每小题5 60分 下列每小题所给选项只有一项符合题意, 序号填涂在答题卡上) 序号填涂在答题卡上) 1. ( 在 ) A.第一象限 . 是虚数单位, 2.i 是虚数单位,若 A. -15 B.第二象限 . C.第三象限 . D.第四象限 . ) 复 平 面 内 , 复 数

z = i (1 + 2i )













1 + 7i = a + bi (a, b ∈ R ) ,则乘积 ab 的值是( 的值是( 2?i
B. -3 C. 3 ) C.1 ? i .

D. 15

是虚数单位) ,则 , 3. 设 z = 1 + i ( i 是虚数单位) 则 A.1 + i .

2 2 +z = ( z

B. ?1 + i .

D. ?1 ? i . )

4. 已知复数 (x ? 2) + yi (x , y ∈ R ) 的模为 3 ,则

y 的最大值是 ( 的最大值是: x

A.

3 2

B.

3 3

C.

1 2

D. 3

名学生编号为: , ,……600,采用系统抽样方法抽取一个容量 5. 将参加夏令营的 600 名学生编号为:001,002,…… , 的样本, 名学生分住在三个营区, 为 50 的样本,且随机抽得的号码为 003.这 600 名学生分住在三个营区,从 001 到 300 . 在第Ⅰ营区, 住在第Ⅱ营区, 在第Ⅲ营区, 在第Ⅰ营区,从 301 到 495 住在第Ⅱ营区,从 496 到 600 在第Ⅲ营区,三个营区被抽中 的人数一次为( 的人数一次为( A.26, . ) 16, 8 B.25,17,8 . , , D.24,17,9 . , ,

C.25,16,9 . , ,

上连续, 6. 设函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续,用分点 a = x 0 < x1 < L < xi ?1 < xi L < x n = b ,把区 个小区间, 间 [a, b] 等分成 n 个小区间,在每个小区间 [ x i ?1 , xi ] 上任取一点 ξ i (i = 1,2, L , n ) ,作 和式 S n =

∑ f (ξ
i =1

n

i

为小区间的长度) ,那么 , )?x (其中 ?x 为小区间的长度) 那么 S n 的大小 (



-1-

A.与 f (x) 和区间 [a, b] 有关,与分点的个数 n 和 ξ i 的取法无关 与 有关, 有关, B. 与 f (x) 和区间 [a, b] 和分点的个数 n 有关,与 ξ i 的取法无关 C. 与 f (x) 和区间 [a, b] 和分点的个数 n, ξ i 的取法都有关。 的取法都有关。 D.与 f (x) 和区间 [a, b] 和 ξ i 取法有关,与分点的个数 n 无关 与 取法有关 7. 若 f ( x ) = ?

1 2 x + b ln( x + 2)在(-1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是( 上是减函数, 的取值范围是 上是减函数 2 B. (?∞, ?1) C. (?1, +∞) D. (?∞, ?1]



A. [?1, +∞)

8.



π

2 0

(2 cos 2

x ? 1)dx = ( 2
3 2



A. ? . 9. 设 f ( x ) = ?

B. 1

C.

1 2

D.

3 2

开始

2 ?x 2 , x ∈ [?1,1], ,则 ∫ f ( x )dx = ( ?1 ?2 ? x , x ∈ [1,2],


输 入

A.

3 4

B.

4 5

C.

5 6

D.

7 6

x=a

如右图: 10. 如右图:如果输入三个实数 a、b、c,要求输出这三个数
x<b



中最小的数,那么在空白的判断框中, 中最小的数,那么在空白的判断框中,应该填入下面四个


x=b

选项中的( 选项中的




A. c > x

B. x<b

C. x > c

D. b > c
x=c


在区间[-1, 上随机取一个数 , 11. 在区间 ,1]上随机取一个数 x,cos 概率为 A. ( ). B.

πx
2 2 3

的值介于 0 到

1 之间的 2

输出 x

1 3

2

π

C.

1 2

结束

D.

频率/组距 12.某工厂对一批产品进行了抽样检测 右图是根据抽样检测后的 12.某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的 0.150 某工厂对一批产品进行了抽样检测 产品净重(单位: 产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品 数据绘制的频率分布直方图, 净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98],[98,100], 净重的范围是 , ,样本数据分组为 , , , [100,102),[102,104),[104,106],已知样本中产品净重小于 , , , , 已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36,则样本中净重大于或等于 98 克并且 , 克的产品的个数是( 小于 104 克的产品的个数是 ). 96 98 100 102 104 106 克 第 12 题图
-2-

0.125 0.100 0.075

A. 90

B. 75

C. 60

D. 45

第Ⅱ卷(共90分) 90分
(本大题共 小题, 二、填空题: 本大题共4小题,每题 分,共20分) 填空题: 本大题共 小题 每题5分 ( 分 在复平面上对应点的轨迹是: 13. 满足条件 2z + 1 = z + i 的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是: .

14. 曲线 y = x3 ? 2 x 2 ? 4 x + 2 在点 (1 ? 3) 处的切线方程是 ,



15. 抛物线 y=4 x 2 上的一点 M 到焦点的距离为 1, M 的纵坐标是 , 则点



2 t=0(s)开始以速度 运动, 16. 一质点在直线上从时刻 t=0(s)开始以速度v = t ? 5t + 6( m / s ) 运动,到 t=5s

时运动的路程
小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 解答题: 17、 本题满分 10 分)某种饮料每箱装 5 听,如果其中有 2 听不合格,问质检人员从中 17、 (本题满分 ( 听不合格, 检测出不合格产品的概率有多大? 随机抽出 2 听,检测出不合格产品的概率有多大?

18. (本小题满分 18. 本小题满分 12 分)设函数 f(x)=2x ?3(a+1)x +6ax+8,其中 a∈R。 ( , 。
3 2

(1) 若 f(x)在 x=3 处取得极值,求常数 a 的值; 处取得极值, 的值; 在

(2) 若 f(x)在(?∞,0)上为增函数,求 a 的取值范围。 上为增函数, 的取值范围。 在 上为增函数
19. 本小题满分 12 分)已知点 A, B 分别是椭圆 19. (本小题满分 ( 已知点

x2 y2 + = 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆 长轴的左、右端点 点 36 20

的右焦点, 在椭圆上,且位于 轴的上方, 的右焦点,点 P 在椭圆上 且位于 x 轴的上方 PA ⊥ PF . 的坐标; (1)求点 P 的坐标 ) 上的一点, (2)设 M 椭圆长轴 AB 上的一点 M 到直线 AP 的距离等于 | MB | ,求椭圆上的点到点 ) 求椭圆上的点到点

M 的距离 d 的最小值 的最小值.

-3-

20. ( 如图, 20. 本小题满分 12 分)如图,已知 M 是函数 y = 4 ? x

2

上一点, ( 0 < x < 2 ) 图像 C 上一点,过 M 点

面积的最小值. 作曲线 C 的切线与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B,O 是坐标原点,求 ?AOB 面积的最小值 、 , 是坐标原点,

21.(本小题满分 12 分)已知直线 l 过椭圆 E: x 2 + 2 y 2 = 2 的右焦点 F ,且与 E 相交于 P, Q 两 ( 点.

uuu 1 uuu uuur r r 为原点) ,求点 的轨迹方程; (1)设 , (1)设 OR = (OP + OQ ) ( O 为原点) 求点 R 的轨迹方程; 2
(2)若直线 (2)若直线 l 的倾斜角为 600 ,求

y

1 1 的值. + 的值. | PF | | QF |
o Q F

P x

22. 本小题共 12 分) . ( 图像如图所示。 已知函数 g ( x) = (a ? 2) x ( x > ?1), 函数 f ( x ) = ln(1 + x ) + bx 的图像如图所示。 (Ⅰ)求 b 的值 的单调区间。 (Ⅱ)求函数 F ( x ) = f ( x ) ? g ( x ) 的单调区间。

-4-

2010—2011 学年度第一学期期考试理科答案 — 一:BCADC CDBDB AA 13、 5x+y13、圆 14 5x+y-2=0 15、 15、

15 16

16、9.5米 16、9.5米

17.

7 10

18. 解: (Ⅰ) f ′( x) = 6 x 2 ? 6( a + 1) x + 6a = 6( x ? a )( x ? 1). 因 f ( x)在x = 3 取得极值, 所以 f ′(3) = 6(3 ? a )(3 ? 1) = 0. 经检验知当 a = 3时, x = 3为f ( x) 为极值点. (Ⅱ)令 f ′( x) = 6( x ? a )( x ? 1) = 0得x1 = a, x2 = 1. 当 a < 1时, 若x ∈ (?∞, a) U (1,+∞), 则f ′( x) > 0, 所以f ( x)在(?∞, a) 和 (1,+∞ ) 上为增函 数,故当 0 ≤ a < 1时, f ( x)在(?∞, 0) 上为增函数. 当 a ≥ 1时, 若x ∈ (?∞,1) U (a,+∞), 则f ′( x) > 0, 所以f ( x)在(?∞,1)和(a,+∞) 上 为 增 函 数,从而 f ( x)在(?∞,0] 上也为增函数. 综上所述,当 a ∈ [0,+∞)时, f ( x)在(?∞,0) 上为增函数. ……………………12 解得 a = 3.

…………………….4

19、 (1)由已知可得点 A( ?6, 0), F (0, 4) , 设点 P ( x, y ) ,则 AP = ( x + 6, y ) , FP = ( x ? 4, y ) ,

uuu r

uuu r

由已知可得

? x2 y 2 =1 ? + ? 36 20 ?( x + 6)( x ? 4) + y 2 = 0 ?

. 则 2 x + 9 x ? 18 = 0 解 得 x =
2

3 , 或x = ?6 . 由 于 2

3 5 3 3 5 3 y > 0 ,只能 x = , 于是 y = . 所以点 P 的坐标是 ( , ) . ………………………….4 2 2 2 2
m+6
(2)直线 AP 的方程是 x ? 3 y + 6 = 0 .设点 M (m, 0) ,则 M 到直线 AP 的距离是

2

.

m+6
于是

2

=| m ? 6 | , 又 ?6 ≤ m ≤ 6 , 解得 m = 2 . 椭圆上 的点 ( x, y ) 到 点 M 的距离 d 有

5 4 9 9 d 2 = ( x ? 2) 2 + y 2 = x 2 ? 4 x + 4 + 20 ? x 2 = ( x ? ) 2 + 15 ,由于 ?6 ≤ x ≤ 6 ,所以当 x = 9 9 2 2
时, d 取得最小值 15 .
2 20、解:∵ y = 4 ? x ,

……………………………………………..12

-5-

∴ y = ?2 x 。
'

设 M m, 4 ? m

(

2

) ,则过 M 点曲线 C 的切线斜率 k = ?2m 。 (
2

∴ 切线方程为 y ? 4 ? m
2

) = ?2 m ( x ? m ) 。 (
2

…………………6 分

由 x = 0 ,得 y = 4 + m , B 0, 4 + m 由 y = 0 ,得 x =

)。

? 4 + m2 ? 4 + m2 , A? , 0 ? ,其中 0 < m < 2 。 2m ? 2m ?

设 ?AOB 的面积为 S,则

4 + m2 1 4 + m2 2 S= S = 4+m ? = 2 2m 4m
∴ S =
'

(

)

2

m4 + 8m 2 + 16 = ,0 < m < 2。 4m
4

( 4m

3

+ 16m m ? m 4 + 8m 2 + 16 4m 2
4 2

)

(

) = 3m

+ 8m 2 ? 16 。 4m 2

令 S = 0 ,得 3m + 8m ? 16 = 0 ,解得 m =
'

2 3 ∈ ( 0, 2 ) 。 3

当 m ∈ ? 0,

? ? ?

? 2 3? 2 3? ' ? 时, S < 0 , S 在区间 ? 0, ? 上为减函数; ? ? ? 3 ? 3 ? ?

当m∈?

?2 3 ? ?2 3 ? ? ,2 ? 时, S ' > 0 , S 在区间 ? ? 3 ? ? 3 ,2 ? 上为增函数。 ? ? ? ?

∴当 m =

? 2 3 ? 32 3 2 3 时 S 取得最小值,最小值为 S min = S ? 。………12 ? 3 ?= 9 ? 3 ? ?

21、解:(1)设 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ), R ( x, y )

x1 + x2 ? ?x = 2 uuu 1 uuu uuur r r 1 ? OR = (OP + OQ) ? ( x, y ) = [( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 )] ? ? 2 2 ? y = y1 + y2 ? ? 2 2 x 由 x2 + 2 y 2 = 2 ? + y 2 = 1 ,易得右焦点 F (1,0) 2
分) 当直线 l ⊥ x 轴时,直线 l 的方程是: x = 1 ,根据对称性可知 R (1,0) 当直线 l 的斜率存在时,可设直线 l 的方程为 y = k ( x ? 1) 代入 E 有 (2k 2 + 1) x 2 ? 4k 2 x + 2k 2 ? 2 = 0 ? = 8k 2 + 8 > 0 ; (5 分)

-----------(2

x1 + x2 =

4k 2 --------2k 2 + 1

-6-

x1 + x2 2k 2 = 2 ; y = k ( x ? 1) 2 2k + 1 消去参数 k 得 x 2 + 2 y 2 ? x = 0 而 R (1,0) 也适上式, R 的轨迹方程是 x 2 + 2 y 2 ? x = 0 ---故 (8 分) (2)设椭圆另一个焦点为 F ' , 在 ?PF ' F 中 ∠PFF ' = 1200 ,| F ' F |= 2, 设 | PF |= m ,则 | PF ' |= 2 2 ? m 2 由余弦定理得 (2 2 ? m) 2 = 22 + m 2 ? 2 ? 2 ? m ? cos1200 ? m = 2 2 +1
于是 R ( x, y ) :

x=

同理,在 ?QF ' F ,设 | QF |= n ,则 | QF ' |= 2 2 ? m 也由余弦定理得 (2 2 ? n) 2 = 22 + n 2 ? 2 ? 2 ? n ? cos 600 ? n =

2 2 2 ?1
---------(12 分)

于是

1 1 1 1 2 2 +1 2 2 ?1 + = + = + =2 2 | PF | | QF | m n 2 2

22、已知函数 g ( x) = (a ? 2) x ( x > ?1), 函数 f ( x ) = ln(1 + x ) + bx 的图像如图所示。 (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求函数 F ( x ) = f ( x ) ? g ( x ) 的单调区间。 解: (Ⅰ) f ' ( x) = 由图知

1 +b 1+ x

……………3 分

f ' (?0.5) = 0 ? b = ?2

……………5 分

(Ⅱ) F ( x) = f ( x) ? g ( x) = ln(1 + x) ? 2 x ? (a ? 2) x = ln(1 + x) ? ax

F ' ( x) =

1 ?a 1+ x
令 F ' ( x) =

……………6 分

1 ? a > 0 ? 因为 x + 1 > 0 ? ax < 1 ? a 1+ x 1 当 a > 0 时 ,F ' ( x) > 0 ? ?1 < x < ? 1 , a 1 故 函 数 F (x) 的 单 调 增 区 间 是 (?1 , ? 1) , 单 调 减 区 间 是 a ( 1 ? 1 ,+∞) a
……………8 分

当 a < 0 时 ,F ' ( x) > 0 ? x > ?1 , 故函数 F (x) 的单调增区间是 (?1 , + ∞) 当 a = 0 时, F ' ( x) > 0 ? x > ?1 , 故函数 F ( x) 的单调增区间是 (?1 , + ∞) 10 分 综上所述: 当 a > 0 时,函数 F ( x) 的单调增区间是 (?1 , ……………

1 1 ? 1) ,单调减区间是 ( ? 1 ,+∞) , a a
-7-

当 a ≤ 0 时, 函数 F (x) 的单调增区间是 (?1 , + ∞) 。 12 分

……………

-8-