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一次函数知识点总结与常见题型


一次函数知识点总结与常见题型 基本概念 1、 变量:在一个变化过程中可以取不同数值的量。 2、 常量:在一个变化过程中只能取同一数值的量。 例题:在匀速运动公式 s ? vt 中, v 表示速度, t 表示时间, s 表示在时间 t 内所走的路程,则 变量是________,常量是_______。 在圆的周长公式 C=2π r 中, 变量是________, 常量是_________. 2、函数:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量 x 和 y,并且对于 x 的每一个确定的值,

注:正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零)

① k 不为零

② x 指数为 1 ③ b=0

(1)y=kx(k 是常数,k≠0)的图像是过(0,0) 、 (1,k)的一条直线。 (2)增减性:当 k>0,图像经过一、三象限,y 随 x 的增大而增大;当 k<0,图像经过二、四象 限 y 随 x 增大而减小。 (一次函数和正比例函数具有相同的增减性) 例题:1、正比例函数 2、若

y ? (3m ? 5) x ,当 m

时,y 随 x 的增大而增大. ( )

y 都有唯一确定的值与其对应, 那么我们就把 x 称为自变量, 把 y 称为因变量, y 是 x 的函数。
* 判断 Y 是否为 X 的函数,只要看 X 取值确定的时候,Y 是否有唯一确定的值与之对应 1 (3)y= x (B)3 个 (4)y=

y ? x ? 2 ? 3b 是正比例函数,则 b 的值是
B.

例题:下列函数(1)y=π x (2)y=2x-1 函数的有( ) (A)4 个

1 2

A.0

-3x

(5)y=x -1 中,是一次 (D)1 个

2

2 3

C. ?

2 3
C. k

D. ?

3 2
( )

3.函数 y=(k-1)x,y 随 x 增大而减小,则 k 的范围是

(C)2 个

A. k

?0

B. k

?1

?1

D. k

?1

3、确定函数自变量的取值范围的方法: (1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数;

4、东方超市鲜鸡蛋每个 0.4 元,那么所付款 y 元与买鲜鸡蛋个数 x(个)之间的函数关系式是

y ? 2 x ? 1,
y? 2 , x

_______________. 5、平行四边形相邻的两边长为 x、y,周长是 30,则 y 与 x 的函数关系式是__________. 9、一次函数及性质 一般地, 形如 y=kx+b(k,b 是常数, k≠0), 那么 y 叫做 x 的一次函数.当 b=0 时, y=kx+b 即 y=kx, 所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 注:一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零)
2

(2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零;

(3)关系式含有二次根式时,被开方数大于等于零;

y ? 2x ? 1 ,
y ? x0 , y ? x ?1 ,

① k 不为零 ②x 指数为 1

③ b 取任意实数 ;解

(4)关系式中含有指数为零或负指数的式子时,底数不等于零;

y ? ? m ? 1? x m ? 3 是 y 关于 x 的一次函数,则 m 的值为 例题 1、若函数
析式为 2、要使 y=(m-2)x .

(5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。 4、函数的图像 一般来说,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标, 那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象. 5、函数解析式:用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。 6、描点法画函数图形的一般步骤 第一步:列表;第二步:描点;第三步:连线 7、函数的表示方法 列表法、解析式法、图象法 8、正比例函数及性质 一般地,形如 y=kx(k 是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中 k 叫做比例系数.

n-1

+n 是关于 x 的一次函数,n,m 应满足

,

.

(1)一次函数 y=kx+b(k、b 是常数,k ? 0)的图像是过(0,b)和(- 注:直线与 x 轴的交点,令 y=0; 直线与 y 轴的交点,令 x=0;

b k

,0)的一条直线。

(2) 当 k>0,图像主要经过一、三象限,y 随 x 的增大而增大;当 k<0,图像主要经过二、四象 限 y 随 x 增大而减小。当 b>0,图像交 y 轴于 x 轴的上方;当 b<0,图像交 y 轴于 x 轴的下方; 1、题型:由 k,b 判断图像,由图像判断 k,b

4、如图 6,两直线

y1 ? kx ? b 和 y2 ? bx ? k 在同一坐标系内图象的位置可能是(



b>0

b<0

b=0

k>0
K>0 图象从左到右 ,y 随 x 的增大而

6、已知一次函数 y=-kx+5,如果点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)都在函数的图像上,且当 x1<x2 时, 有 y1<y2 成立,那么系数 k 的取值范围是________. 7、已知点(-4,y1) , (2,y2)都在直线 y=- K<0 图象从左到右 ,y 随 x 的增大而 10、两直线的位置关系 当 k 相等时两直线平行,当 b 相等时两直线相交于 y 轴上一点. ,n ) . 例题:1. b = 时,直线 1 x+2 上,则 y1 、y2 大小关系是 2

k<0

思考:若 m<0, n>0, 则一次函数 y=mx+n 的图象不经过 例题:1、若关于 x 的函数

y ? (n ? 1) xm?1 是一次函数,则 m=

y ? 2 x ? b 与直线 y ? 3x ? 4 的交点在 x 轴上.

2、函数 y=ax+b 与 y=bx+a 的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是(

(5)例 5. 已知直线 y 则直线的解析式为

? kx ? b 与直线 y ? ?2 x 平行,且与 y ? 2 x ? 1 相交于 y 轴上一点,


11、图像的平移: (上加下减) 1、 已知一次函数 y= (m-2) x+m-3 的图像经过第一, 第三, 第四象限, 则 m 的取值范围是________. 2、已知 为 3、直线 将直线 y=3x 向下平移 5 个单位,得到直线 得到直线 . ;将直线 y=-x-5 向上平移 5 个单位,

m 是 整 数 , 且 一 次 函 数 y ? (m ? 4) x ? m ? 2 的 图 象 不 过 第 二 象 限 , 则 m
.

y ? kx ? b 经过一、二、四象限,则直线 y ? bx ? k 的图象只能是图 4 中的(



12、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤: (1)设出函数关系式 y=kx+b(k≠0); (2)找两点

(3)列方程(4)解方程,写出函数的解析式. 13、一次函数与一元一次不等式的关系(y=kx+b) y>0 y<0 y=0 x<0 例题: . 15、一次函数的图像与两坐标轴所围成三角形的面积 一次函数 y=kx+b 的图象与两条坐标轴的交点:与 y 轴的交点(0,b) ,与 x 轴的交点( ? 0). 直线

kx+b>0 kx+b<0 kx+b=0

x 轴上方的函数图像所对应的 x 的取值范围 x 轴下方的函数图像所对应的 x 的取值范围 与 x 轴的交点的横坐标

b , k

1 b b2 ? ? b ? (b≠0)与两坐标轴围成的三角形面积为 S= 2 k 2k
) .

例题:1、若直线 y=3x+6 与坐标轴围成的三角形的面积为 S,则 S 等于( 14、一次函数与二元一次方程组

A.6

B.12

C.3

D.24

? y ? k1 x ? b1 直线 y ? k1 x ? b1 与 y ? k2 x ? b2 的交点坐标就是方程组 ? 的解。反之,方程组 ? y ? k2 x ? b2 ? y ? k1 x ? b1 的解是直线 y ? k1 x ? b1 与 y ? k2 x ? b2 的交点的横纵坐标。 ? ? y ? k2 x ? b2
例题:1、若直线 y=3x-1 与 y=x-k 的交点在第四象限,则 k 的取值范围是 2、若直线

2、若一次函数 y=2x+b 的图像与坐标轴围成的三角形的面积是 9,则 b=_______. 3、已知一次函数

y ? 2 x ? a 与 y ? ? x ? b 的图像都经过 A(?2, 0) ,且与 y 轴分别交于点 B,


c ,则 ?ABC 的面积为(
A .4
常见题型 . (1) 定义型 例 1. 已知函数

B.5

C.6

D.7
二☆考查图像性质 三、☆交点问题 四☆面积问题

一☆考察一次函数定义

y ? ? x ? a 和直线 y ? x ? b 的交点坐标为 (m,8) ,则 a ? b ?

五、☆一次函数解析式的求法

4、如图所示,已知正比例函数

y??

们的图像都经过点 P(a,1) ,且一次函数图像与 y 轴交于 Q 点。 (1)求 a、b 的值; (2)求△PQO 的面积。

1 和一次函数 y ? x ? b ,它 x 2
(2) 例 2. 已知一次函数 y

y ? (m ? 3) x m ?8 ? 3 是一次函数,求其解析式。

2

? kx ? 3 的图像过点(2,-1) ,求这个函数的解析式。

(3) 两点型 (4)图像型

例 3.已知某个一次函数的图像与 x 轴、 y 轴的交点坐标分别是(-2,0) 、 (0,4) , 例 4. 已知某个一次函数的图像如图所示,则该函数的解析式为__________。

则这个函数的解析式为_____________。

(6)平移型 为 (7) 实际应用型

例 6. 把 直 线 。

y ? 2x ? 1 向 下 平 移

2 个单位得到的图像解析式

例 7. 某油箱中存油 20 升,油从管道中匀速流出,流速为 0.2 升/分钟,则 。

油箱中剩油量 Q(升)与流出时间 t(分钟)的函数关系式为 (8)面积型 式为 (10)开放型 (11)比例型 式 五、☆一次函数应用 例 8. 已知直线

y ? kx ? 4 与两坐标轴所围成的三角形面积等于 4,则直线解析


例 10.一次函数的图像经过(-1,2)且函数 y 的值随 x 的增大而增大,请你写出 . 例 11..已知 y 与 x+2 成正比例,且 x=1 时 y=-6.求 y 与 x 之间的函数关系

一个符合上述条件的函数关系式

1、某房地产开发公司计划建 A、B 两种户型的住房共 80 套,该公司所筹资金不少于 2090 万元,但不超过 2096 万元,且所筹资金全部用于建房,两种户型的建房成本和售价如下表:

A 成本(万元/套) 售价(万元/套)
注:利润=售价-成本 (1)该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案? (2)该公司如何建房获得利润最大?

B 28 34

25 30

(3) 根据市场调查, 每套 B 型住房的售价不会改变, 每套 A 型住房的售价将会提高 a 万元 (a>0) , 且所建的两种住房可全部售出,该公司又将如何建房获得利润最大?


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