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高一数学期终复习讲义一(苏教版解三角形)


高一数学期终复习讲义一(苏教版解三角形) 1.正弦定理 a b c (1)三角形的各边和它所对角的正弦的比相等,即 = = ,称之为正弦定理 sin A sin B sin C (2)利用正弦定理,可以解决以下两类解斜三角形的问题:①已知两角与任一边,求其他 两边和一角;②已知两边与其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和 角). (3) 已知 a,b 和 A,用正弦定理求 B 时的解的情况:
? a ? b s in A ? ? a ? b s in A ①若 A 为锐角, ? ? b s in A ? a ? b ?a ? b ?
C b A a < b sin A a A b C a A b

无解 一解 两解 一解
C a a A a≥b b C a B

B a = b sin A

B2 B1 b sin A < a < b

无解 ②若 A 为直角或钝角, ? C b a

一解
?a ? b ?a ? b 无解 一解

两解

一解

C b a A B

a≤b 无解 (4)利用平面几何及三角函数的知识可以证明正弦定理,从而得到

A

a>b 一解

a b c = = =2R(其中 R 表示△ABC 外接圆的半径) ; sin A sin B sin C (5)利用面积法也可以证明正弦定理,同时得到计算三角形面积的公式: abc 1 1 1 S△ABC = ab sin C= bc sin A= ac sin B=2R2sinAsinBsinC= ; 2 2 2 4R (6)在三角形中,A>B ? sin A > sin B ,是准确判断并取舍解的情况的有力武器. 已知 a, b 和 A, 用正弦定理求 B 时,只要比较 sinA 与 sinB: 如果 sinA≥sinB,则 B 有唯一解; 如果 sinA<sinB<1,则 B 有两解; 如果 sinB=1,则 B 有唯一解; 如果 sinB>1,则 B 无解. 2.余弦定理 (1)三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍,称之为余弦定理:a2 = b2 + c2 ? 2bc cos A,b2 = c2 + a2 ? 2ca cos B,c2 = a2 + b2 ? 2ab cos C. (2)利用余弦定理,我们可以解决以下两类解斜三角形的问题:

①已知三边,求三个角;②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角. (3)已知三边求角时:cos A = b2 + c2 ? a2 c2 + a2 ? b2 a2 + b2 ? c2 ;cos B = ;cos C = . 2bc 2ca 2ab

(4)利用余弦定理可以证明:平行四边形的各边的平方和等于对角线的平方和,利用这一 性质可以根据三角形的三边求三角形的中线; 3.基础训练 1.一个三角形的两内角分别为 45°和 60°,如果 45°角所对边的长是 6,那么 60°角所 对边的长为 . 2.在△ABC 中,若∠A=60°,a=2 6 ,b=4,则满足条件的△ABC 有 3.若△ABC 的三边为 a,b,c,它的面积为 4.在△ABC 中,sinA=2sinBcosC,且
1 4 a ? b ? c b ? c ? a ? 3b c
a ? b ? c ? sin A ? sin B ? sin C

. . . .

(a2+b2-c2),那么内角 C 等于 ,则△ABC 的形状为

5.在△ABC 中,若 A=60 ? ,b=1, S△ABC = 3 ,则

6.已知锐角三角形的三边长分别为 2,3,x,求 x 的取值范围. 4.例题讲解 例 1 在△ABC 中,根据下列条件解三角形. (1)
c ?
0

6, A ? 45 , a ? 2 ;( 2 )
0

c ?

3, A ? 45 , a ? 2 ;( 3 )
0

c ? 3, A ? 45 , a ? 2 .

例 2 在△ ABC 中,已知 a ?

3 ,b ?

2 ,B=45?, 求 c、A、C.

例 3 在△ ABC 中,已知 acosA+bcosB=ccosC,a=2bcosC,试判断△ ABC 的形状.

例 4 已知关于 x 的方程 x2 - (bcosA)x+acosB=0 的两根之和等于两根之积,试判断△ABC 的形状.

例 5 在 ? A B C 中 ,求证: A>B ? sin A > sin B ,如果 A≤B 呢?试说明该结论在下列 问题中所起的作用. (1) 在 ? A B C 中 , s in B ? (2) 在 ? A B C 中 , s in B ?
3 5 4 5

, cos A ? ,cosA=
12 13

5 13

,求 co s C ;

,求 co s C .

例 6 若△ ABC 满足 a(bcosB-ccosC)=(b2-c2)cosA,试判断它的形状.

5.巩固练习 1.在 ? A B C 中 ,已知 lg a ? lg c ? lg sin B ? ? lg 是 .
3 14 3 ,则 c=
2

2 ,且 B 为锐角,则此三角形的形状

2.在△ ABC 中,已知 a=7,b=8,sinC= 3.△ ABC 中, sin
2

.
C ,则 A=

A ? sin

2

B ? sin B sin C ? sin

. . ( )

4.边长为 5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和为

5.在△ABC 中,若∠A=60°,a=2 6 ,b=4,则满足条件的△ABC

A.不存在 B.有一个 C.有两个 D.有两个以上 6.在△ABC 中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是 ( A.b = 10,A = 45° = 70° ,B B.a = 60,c = 48,B = 100° C.a = 7,b = 5,A = 80° D.a =14,b = 16,A = 45° 7.半径为 1 的圆的内接三角形的面积是
1 4



,则 abc=_________.

8. 在△ABC 中, 已知 A∶B=1∶3, C 的平分线将三角形面积分成 5∶2 的两部分, sinA 角 则 =_________. 9.在 ΔABC 中,已知 a=7,b=10,c=6,求 A、B 和 C.

10.在任一△ABC 中,求证: a (sin B ? sin C ) ? b (sin C ? sin A ) ? c (sin A ? sin B ) ? 0 .

11.在△ABC 中,已知 a=8,b=7,B=60°,求边 c 及 S△ABC.

12. 已知△ ABC 中,BC=a,AB=BC=b,在边 AB、AC 上分别取点 D、E,使 S△ ABC=2S△ ADE, 求 DE 的最小值.

7 13. 在△ABC 中, 已知角 A、 C 所对的边分别是 a、 c, c= , tanA+tanB= 3 tanA· B、 b、 边 且 tanB 2 - 3 ,又△ABC 的面积为 S△ABC= 3 3 ,求 a+b 的值 2


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