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空间向量的正交分解及其坐标表示学案


河北阜城中学高二数学导学案

组题人:焦伟丽

审题人:尹文花

日期:2015 年 11 月 25 日

第 3 章第 4 节 空间向量的正交分解及其坐标表示
【教学目标】
1.掌握空间向量基本定理及其推论,理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表 示,而且这种表示是唯一的; 2.在简单问题中,会选择适当的基底来表示任一空间向量.

??? ? ∴ OP ? xi ? yj ? zk .
由此可知,如果 i , j ,k 是空间三个两两垂直的向量,那么,对于空间任一向量 p ,存在一个有序实数 组{x, y, z} ,使得

p ? xi ? yj ? zk .

我们称 xi , yj , zk 为向量 p 在 i , j ,k 上的分向量. 探究: 在空间中, 如果用任意三个不共面向量 a,b,c 代替两两垂直的微向量 i , j ,k , 能得出类似的 结论吗? 2.空间向量的基本定理及基底的概念: 如果三个向量 a, b, c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在有序实数组 {x , y , z} ,使得

【重点】空间向量的基本定理及其推论. 【难点】 空间向量基本定理唯一性的理解. 【知识链接】
平面向量基本定理的内容及其理解: 如果 e1 ,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对 于这一平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数 ?1 , ? 2 , 使 a ? ?1e1 ? ?2e2 .

p ? xa ? yb ? zc .
e2
a
由此可知, 若三向量 a,b,c 不共面,那么所有空间向量组成的集合就是

{ p | p ? xa ? yb ? zc, x, y, z ? R} .
e1

{a, b, c} 叫做空间的一个基底, a, b, c 都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间
的一个基底. 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直, 那么这个基底叫做正交基底.特别地, 当一个正交基 底的三个基向量都是单位向量时,称这个基底为单位正交基底,通常用{i , j ,k} 表示. 3.空间向量的坐标的定义: 设 e1 ,e2 ,e3 为空间向量的一个单位正交基底,以公共起点 O 为原点,分别以 e1 ,e 2 ,e 3 的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz . 对于任意一个空间向量 p ,一定可以把它平移,使它的起点与原点 O 重合,得到向量 OP = p .由空 间向量基本定理,存在有序实数组{x, y, z} ,使得

【新课内容】
1.空间向量的分向量的概念: 如图.设 i , j ,k 是空间三个两两垂直的向量,且有公共起

??? ? 点 O .对于空间任意一个向量 p ? OP ,设点 Q 为点 P 在
i , j 所确定的平面上的正投影.由平面向量基本定理可知,
在 OQ , k 所确定的平面上,存在实数 z ,使得

????

??? ?

??? ? ??? ? OP ? OQ ? zk .
而在 i , j 所确定的平面上,由平面向量基本定理可知,存在有序实数对 ( x, y) ,使得

p ? xe1 ? ye2 ? ze3 .
我们把 x, y, z 称作向量 p 在单位正交基底 e1 ,e 2,e 3 下的坐标,记作 p ? ( x, y, z) .
- 1 -

??? ? OQ ? xi ? yj .
想一千次,不如行动一次;华丽的跌倒,胜过无谓的徘徊。

河北阜城中学高二数学导学案 4.典型例题:

组题人:焦伟丽
/

审题人:尹文花 5.课堂随练
D A/
/

日期:2015 年 11 月 25 日 )

例 1: 如图,在正方体 OADB ? CA/ D / B / 中, ,点 E 是 AB 与 OD 的交点,M 是 OD 与 CE 的交点,试分 别用向量 OA, OB, OC 表示 OD 和 OM
C B
/

1.在以下三个命题中,真命题的个数是(

①三个非零向量 a、b、c 不能构成空间的一个基底,则 a、b、c 共面; ②若两个非零向量 a、b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则 a、b 共线; ③若 a、b 是两个不共线的向量,而 c=λ a+μ b(λ 、μ ∈R 且 λ μ ≠0),则{a,b,c}构成空间的一个 基底.

M B E O A D

A.0

B.1

C.2

D.3

2.若{e1,e2,e3}是空间的一个基底,又 a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3, d=xa+yb+zc,则 x,y,z 分别为( 5 1 A. ,-1,- 2 2 5 1 B. ,1, 2 2 ) 5 1 C.- ,1,- 2 2 5 1 D. ,1,- 2 2 ) 变式: 如图,已知空间四边形 OABC ,其对角线 OB, AC , M , N 分别是对边 OA,BC 的中点,点

???? ??? ? ??? ? ??? ? G 在线段 MN 上,且 MG ? 2GN ,用基底向量 OA, OB, OC 表示向量 OG
O

王新敞
奎屯

新疆

3.点 M(-1,3,-4)在坐标平面 xOy、xOz、yOz 内的射影的坐标分别是( A.(-1,3,0)、(-1,0,-4)、(0,3,-4) B.(0,3,-4)、(-1,0,-4)、(0,3,-4) C.(-1,3,0)、(-1,3,-4)、(0,3,-4)

M G

C N

D.(0,0,0)、(-1,0,0)、(0,3,0) 4.已知点 A 在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中 a=i+j,b=j+k,c=k+i,则点 A 在基底{i, j,k}下的坐标是( A.(12,14,10) ) B.(10,12,14) C.(14,12,10) ) D.(4,3,2)

A

B ???? ??? ? ??? ? ??? ? 点评:若变题为已知 OG ? xOA ? yOB ? zOC ,求 x, y , z ﹒则由空间向量基本定理存在一个
例 2: 已知 a,b,c 是空间的一个正交基底, 向量 a+b, a-b, c 是另一组基底, 若向量 p 在以向量 a,b,c 为基底的坐标是 ?1,2,3 ? ,求向量 p 在以向量 a+b,a-b,c 为基底的坐标.

5.与向量 a =(1,-3,2)平行的一个向量的坐标为( A.(1,3,2) B.(-1,-3,2)

?

C.(-1,3,-2) D.(1,-3,-2) ??? ? ??? ? ???? 6.在三棱锥 OABC 中,G 是 ?ABC 的重心, 选取 OA, OB, OC 为基底, 试 ???? 用基底表示 OG = → → 7.如右图, 四面体 ABCD 中, AB=a-2c, CD=5a+6b-8c, 对角线 AC, → BD 的中点分别为 E,F,则EF= 8. 下列说法正确的是( ) A. 零向量没有方向

变式: 设 i、j、k 为空间直角坐标系 O-xyz 中 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量,且 OB =i+j-k, 则点 B 的坐标是



附加例题:在三棱锥 OABC 中,G 是 ?ABC 的重心(三条中线的交点) ,选取 OA , OB , OC 为基底,试 用基底表示 OG =

→ → →

B. 空间向量不可以平行移动 C. 如果两个向量不相同,那么它们的长度不相等 D. 同向且等长的有向线段表示同一向量 ? ????? ????? ? ???? ' ' ' ' 9. 长方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,化简 AA ' ? AB = ?AD
- 2 -



想一千次,不如行动一次;华丽的跌倒,胜过无谓的徘徊。


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