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高中数学苏教版必修四课件:3.1.3 两角和与差的正切_图文

第3章 §3.1 两角和与差的三角函数 3.1.3 两角和与差的正切 学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、 余弦公式推导出两角和与差的正切公式. 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明. 3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 两角和与差的正切公式 思考1 怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式? 答案 sin?α+β? sin αcos β+cos αsin β tan(α+β)= = , cos?α+β? cos αcos β-sin αsin β 分子分母同除以cos αcos β,便可得到. 答案 思考2 由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式? 答案 用-β替换tan(α+β)中的β即可得到. 答案 梳理 名称 两角和 的正切 两角差 的正切 T(α-β) T(α+β) 简记符号 公式 使用条件 tan α+tan β α,β,α+β 均不等于 tan(α+β)= π 1-tan αtan β kπ+ (k∈Z) 2 tan α-tan β α,β,α-β 均不等于 tan(α-β)= π 1+tan αtanβ kπ+ (k∈Z) 2 知识点二 两角和与差的正切公式的变形 1.T(α+β)的变形 tan α+tan β= tan(α+β)(1-tan αtan β) . tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)= tan(α+β) . tan α+tan β 1- tan?α+β? . tan αtan β= 2.T(α-β)的变形 tan α-tan β= tan(α-β)(1+tan αtan β) . tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β)= tan(α-β) . tan α-tan β -1 tan αtan β= tan?α-β? . 题型探究 类型一 正切公式的正用 1 例1 (1)已知tan α=-2,tan(α+β)= ,则tan β的值为 3 . 7 解析 1 tan?α+β?-tan α 7-?-2? tan β=tan[(α+β)-α]= = = 3. 1 1+tan?α+β?tan α 1+7×?-2? 解析 答案 π 1 1 (2)已知 α,β 均为锐角,tan α=2,tan β=3,则 α+β= 4 . 解析 1 1 因为 tan α=2,tan β=3, 1 1 tan α+tan β 2+3 所以 tan(α+β)= = = 1. 1 1 1-tan αtan β 1-2×3 因为α,β均为锐角, 所以α+β∈(0,π), π 所以 α+β=4. 解析 答案 反思与感悟 (1)注意用已知角来表示未知角. (2)利用公式T(α+β)求角的步骤: ①计算待求角的正切值. ②缩小待求角的范围,特别注意隐含的信息. ③根据角的范围及三角函数值确定角. 跟踪训练 1 已知 θ 是第四象限角,且 ? π? 4 ? ? cos?θ+4?=5, ? ? ? π? 3 ? ? sin?θ+4?=5,则 ? ? ? π? ? tan?θ-4? ?= ? ? 4 -3 . 解析 由题意,得 ? π? 3 ? ? ∴tan?θ+4?=4. ? ? ? ? π? π π? ? ? ? ? ∴tan?θ-4?=tan?θ+4-2?=- ? ? ? ? 4 ? ?=-3. π ? θ + tan? ? 4? ? ? 1 解析 答案 类型二 正切公式的逆用 例2 解析 1+tan 15° (1) = 1-tan 15° 3 ; tan 45° +tan 15° 原式= =tan(45° +15° )=tan 60° = 3. 1-tan 45° tan 15° 1- 3tan 75° (2) = -1 . 3+tan 75° 3 -tan 75° 3 -tan 75° tan 30° 解析 原式= = =tan(30° -75° )=-tan 45° =-1. 3 1+tan 30° tan 75° 1+ 3 tan 75° 解析 答案 反思与感悟 注意正切公式的结构特征,遇到两角正切的和与差,构造成与公式一致 1 的形式,当式子出现 ,1, 3 这些特殊角的三角函数值时,往往是“由 2 值变角”的提示. 跟踪训练2 求下列各式的值: cos 75° -sin 75° (1) ; cos 75° +sin 75° 解 1-tan 75° tan 45° -tan 75° 原式= = 1+tan 75° 1+tan 45° tan 75° 3 =tan(45° -75° )=tan(-30° )=-tan 30° =- 3 . 1-tan 27° tan 33° (2) . tan 27° +tan 33° 解 1 1 3 原式= =tan 60° =3. tan?27° +33° ? 解答 类型三 正切公式的变形使用 例3 (1)化简:tan 23°+tan 37°+ 3 tan 23°tan 37°; 解 方法一 tan 23°+tan 37°+ 3 tan 23°tan 37° =tan(23°+37°)(1-tan 23°tan 37°)+ 3 tan 23°tan 37° =tan 60° (1-tan 23° tan 37° )+ 3tan 23° tan 37° = 3. tan 23° +tan 37° 方法二 ∵tan(23° +37° )= , 1-tan 23° tan 37° tan 23° +tan 37° ∴ 3= , 1-tan 23° tan 37° ∴ 3- 3tan 23° tan 37° =tan 23° +tan 37° , ∴tan 23° +tan 3

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