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5-1 定积分的概念、几何意义、性质


第五章 定积分及其应用
5-1 5-2 5-3 5-4 分法 5-5 5-6
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定积分的概念、几何意义、性质 变限积分函数 牛顿—莱布尼兹公式 定积分的换元积分法和分部积
广义积分与瑕积分 定积分的几何应用
目 录

5.1

定积分的概念、几何意义、性质
一、 引入实例 二、 定积分的概念 三、 定积分的几何意义

四、 定积分的几何意义

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一、引入实例
1. 曲边梯形的面积
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y y

o

a
(四个小矩形)

b

x o

a

(九个小矩形)

b

x

显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯 形面积.
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一、引入实例
1. 曲边梯形的面积
解决步骤: (1)分割 用分点
a
x1 x 2
x i ?1

xi

b

a ? x 0 ? x 1 ? x 2 ? ? ? x i ?1 ? x i ? ? ? x n ?1 ? x n ? b

把区间[a,b]分成n个小区间
[ x 0 , x1 ],[ x1 , x 2 ], ? ,[ x i ? 1 , x i ], ? ,[ x n ?1 , x n ]

第i个小区间的长度记为 ? x i ( i ? 1, 2, ? , n ) ,即
? x i ? x i ? x i ? 1 ( i ? 1, 2, ? , n )
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一、引入实例
1. 曲边梯形的面积
(2)近似代替 在第i个小区间上任取一点 ? i ( x i ? 1 ? ? i ? x i ),
f 用以 ? x i 为宽, (? i ) 为高的小

矩形的面积 f (? i ) ? x i 近似代替 相应小曲边梯形的面积 ? A i ,即
? Ai ? f (? i ) ? x i ( i ? 1, 2, ? , n )
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a
x1 x 2
x i ?1 ? i x i
b

一、引入实例
1. 曲边梯形的面积
(3)求和
?n ?

? ?A ? ?
i i ?1 i ?1

n

n

f (? i ) ? x i

(4)取极限

令?

? m ax { ? x1 , ? x1 , ? , ? x n } ,则
??0

A ? lim

?
i ?1

n

f (? i ) ? x i
a
x1 x 2

x i ?1 ? i x i

b

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一、引入实例
2.变速直线运动的路程

设某物体作变速直线运动,已知速度 且 如何计算物体从时刻 所经过的路程? 到时刻

?

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一、引入实例
2.变速直线运动的路程
解决步骤: (1)分割 用分点
a ? t 0 ? t1 ? t 2 ? ? ? t i ? 1 ? t i ? ? ? t n ? 1 ? t n ? b

把时间区间[a,b]分成n个小区间
[ t 0 , t1 ], [ t1 , t 2 ], ? , [ t i ?1 , t i ], ? , [ t n ?1 , t n ]

第i个小区间的长度记为
? t i ? t i ? t i ? 1 ( i ? 1, 2, ? , n )
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一、引入实例
2.变速直线运动的路程
(2)近似代替
? s i ? v (? i ) ? t i ( i ? 1, 2, ? , n )

(3)求和
?n ?

? ? s ? ? v (?
i i ?1 i ?1

n

n

i

) ? ti

(4)取极限
n


i i ?1

? ? max ?? t i ?
1? i ? n

,则

S ? lim

??0

? v (?

) ? ? ti

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二、定积分的概念
1、定积分的定义 设函数
y ? f (x)

在区间 [ a , b ]上有定义,在 [ a , b ]

中插入 n ? 1 个分点,
a ? x 0 ? x 1 ? x 2 ? ? ? x i ?1 ? x i ? ? ? x n ?1 ? x n ? b

把区间分成 n 个小区间
[ x 0 , x1 ],[ x1 , x 2 ], ? ,[ x i ? 1 , x i ], ? ,[ x n ?1 , x n ]

每个小区间的长度依次为
? x i ? x i ? x i ? 1 ( i ? 1, 2, ? , n )
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在每个小区间 [ x i ? 1 , x i ]上任取一点 ? i ( x i ?1 ? ? i ? x i ) , 作函数值 f (? i ) 与小区间长度 ? x i的乘积 f (? i ) ? x i ,并作

和式(称为积分和式) ?
i ?1

n

f (? i ) ? x i

记 ? n? m ax { ? x1 , ? x 2 , ? , ? x n } ,如果当 ?
lim
??0

? 0

时,和式的极限 ,即

?

f (? i ) ? x i

存在,则称这个极限值为函数 f ( x ) 在 [ a , b ]
b

上的定积分(简称积分),记作?

i ?1

f ( x)dx
a

?

b a

f ( x ) d x ? lim

??0

?
i ?1

n

f (? i ) ? x i

可积

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积分上限

[a , b] 称为积分区间

?a
积分下限

b

f ( x) d x ? lim ? f (? i ) ? xi
? ?0
i ?1

n

被 积 函 数

被 积 表 达 式

积 分 变 量

积 分 和

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例:用定义计算

?

1 0

x dx

2

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2、定积分的说明
? 定积分 ? a
b

f ( x)dx

的值与区间

[ a , b ] 的分法以及点

? i 的取法无关;

? 定积分只与被积函数和积分区间有关,而与积分 变量用什么字母表示无关,即有

?

b a b

f ( x)dx ?

?

b a

f (t ) d t ?
a

?

b

f (u ) d u
a

? 规定 ? a

f ( x)dx ? ? ?

f ( x)dx
b

?

a a

f ( x)dx ? 0

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3、定积分的存在定理
定理 1:设 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续,则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积。 定理 2:设 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上有界,且只有有限个间断点, 则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积。 例:下列积分中是定积分的是(
1


1

A、 ?

2 0

dx (1 ? x )
2 2

B、 ?

e

dx x ln x

1

C、 ?

dx x

?1 3

D、 ?

??

e
0

?x

dx

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三、定积分的几何意义
(1) 定积分的值等于曲边梯形面积;
A

(2) 定积分的值等于曲边梯形面积 的负值;
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A

三、定积分的几何意义
(3)
f (x)
b

有时为正,有时为负时.

? a f ( x) d x ? A1 ? A2 ? A3 ? A4 ? A5
定积分的值等于各部分面积的代数和.
y
A 1 A3 A2 A4 A5

a

b x

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例:利用定积分的几何意义计算
(1)

?
?

1 ?2

1 ? dx

(2)

? ?

1 0

1 ? x dx
2

2 1

(3)

(1 ? 2 x ) d x

1 ?1

(4)

x dx

3

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例 : 由 y ? e 、 x ? 1、 轴 以 及 y 轴 所 围 图 形 的 面 积 求 x
x

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例: 由抛物线 y ? x ?1与 x 轴所围图形的面积 求
2

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例:求曲线 y=sinx 和 x 轴在区间[ 0,? ]上所围

成面积。
y

0

?

x

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四、定积分的性质
性质1

? ? ?
a b a

a a

f (x) dx ? 0
a

性质2 性质3
性质4 性质5

f (x) dx ? ? ?

f (x) dx
b

b

[ f ( x ) ? g ( x )] d x ?
b a

?

b a

f (x) dx ?

?

b

g (x) dx
a

?

k f (x) dx ? k ?

b

f ( x) dx
a

( k 为常数)

?

a a

1dx ? b ? a

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性质6 (1)若 f


(x)

f (x)

在 [ ? a , a ] 上连续,则:

y

y ? f (x)

在 [ ? a , a ] 上为偶函数,则

?
(2)若 f
(x)

a ?a

f ( x )d x ? 2 ?

a

A

A
0 y

f ( x )d x
0

?a

a

x

在 [ ? a , a ] 上为奇函数,则

?a

A A
0

?
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a ?a

f ( x )d x ? 0

a

x

利用这个结果,奇、偶函数在对称区间上的积 分计算可以得到简化,甚至不经计算即可得到结果.
d x. 例:计算定积分 ? ? 1 1 ? co s x
1

x sin x

2

例:计算定积分 ? ? a x [ f ( x ) ? f ( ? x )] d x . 例:计算定积分 ? ? 2
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2

a

( x ? 2)

4 ? x dx .
2

性质7 ( 积分区间可加性)

?

b a

f (x) dx ?

?

c a

f (x) dx ?

?

b

f (x) dx
c

A1

A2

A1

A2

不论 a , b , c 位置如何,上式均成立.
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?x ? 2 例 : 已 知 f (x) ? ? ?5 x ? 4
2

x ? 2 x ? 2

,求

?

5

f ( x)dx
0

例 : 计 算 积 分 ? 1 ? x dx
0

2

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性质8 在区间 [ a , b ] 上
f (x) ? g (x)

y ? g (x)
b

?

b a

f ( x)dx ? ? g ( x )dx
a

y ? f (x)

推论1 在区间 [ a , b ] 上
f (x) ? 0

?

b a

f ( x)dx ? 0

推论2 在区间 [ a , b ] 上

?

b a

f ( x)dx ?

?

b

f ( x) dx
a

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例:不计算定积分的值,比较下列定积分大小.
?

?

1.比较定积分 ? 04 s in
1

xdx

与 ? 04 c o s x d x 的大小.
1 4 0

2.比较定积分 ? 4 xd x与 ?
0

x d x 的大小.

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性质8 如果 m 和 M 分别是 f ( x )
在区间 [ a , b ] 上最小值和最大值,则
m (b ? a ) ?

?

b a

f ( x ) d x ? M (b ? a )

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性质9 ( 积分中值定理 ) 如果函数 f ( x ) 在闭区间 [ a , b ] 上连续,则在区间 上
[a, b]

存在一点 ? , 使得
f (? )

?

b a

f ( x ) d x ? f ( ? )( b ? a ), ( a ? ? ? b )

?

通常我们称
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f (? ) ?

? b?a

1

b

f ( x)dx
a

为函数f ( x ) 在

[ a , b ] 上的平均值。

例 : 求 函 数 f (x) ? x 在 闭 区 间 上 的 平 均 值
2

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