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从力做功到向量数量积


高一数学课堂设计
备课人:周至六中 课题 杜坐斗

从力做功到向量数量积(1)
1.通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意

义、几何意义.
学习 目标 2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量

的垂直关系.
重 点 难 点 难 点 突 破
1.向量数量积的含义及其物理意义、几何意义和性质;

2.数量积性质的应用

以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距.
1.教材利用同学们熟悉的物理知识(“做功”)得到向量的数量积的

过程与 方法

含义及其物理意义、几何意义.
2.通过讲解例题,培养学生逻辑思维能力.

【探究新知】(学生阅读教材 P107—108,师生共同讨论) 思考:请同学们回忆物理学中做功的含义,问对 一般的向量 a 和 b,如何定义这种运算?
预 习 检 测
F
?

s

1.力做的功:W = |F|?|s|cos? ?是 F 与 s 的夹角 2.定义:平面向量数量积(内积)的定义,a?b = |a||b|cos?,

并规定 0 与任何向量的数量积为 0。?
C A ? = 0? A A A B

3.向量夹角的概念:范围 0?≤?≤180?

思考与交流 1.射影的概念是如何定义的,举例(或画图)说明;并指 出应注意哪些问题.
B O b O O ? A B O b ? a B1 O B1 O O a O A B O b ? O (B ) 1 OO a A

定义:|b|cos?叫做向量 b 在 a 方向上的射影。 注意:①射影也是一个数量,不是向量。 ②当?为锐角时射影为正值; 当?为钝角时射影为负值; 当?为直角时射影为 0; 当? = 0?时射影为 |b|; 当? = 180?时射影为 ?|b|. 思考与交流 2.如何定义向量数量积的几何意义?由向量数量积的几 何意义你能得到两个向量的数量积哪些的性质(学生讨论完成,教师 作必要的补充). 几何意义:数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos?的 乘积。 性质:设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量。

①e?a = a?e =|a|cos? ②a?b ? a?b = 0 ③当 a 与 b 同向时,a?b = |a||b|;当 a 与 b 反向时,a?b = ?|a||b|。 特别的 a?a = |a|2 或 | a |? a ? a ④cos?
a?b = | a || b | (|a||b|≠0)

⑤ |a?b|≤|a||b|

例 1.已知:
问 题 探 究

a ? 2, b ? 3, a与b的夹角为 1200 , 求(1)a ? b .(2) a ? b .

2

2

b 都是非零向量,且 a ? 3b与7a ? 5b 垂直, a ? 4b与7a ? 2b 垂直, 例 2.已知 a、 b 的夹角。 求 a、

当 堂 检 测

教材 P95 的练习 1、2、
1.课本习题 2.5 A 组第 3、4、5、6、7 题.

课 后 检 测

2.专家伴读相应习题


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