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专题函数对称性-周期性的应用


专题:函数对称性,周期性的应用
一几个函数方程的周期(约定 a>0, 周期 T) (1) f ( x) ? f ( x ? a) ,则 T=a; (2) f ( x) ? f ( x ? a) ? b ,或 f ( x ? a) f ( x) ? b( f ( x) ? 0) , (a, b为非0常数),T=2a; (3) f ( x) ? 1 ?
1 ( f ( x) ? 0) ,则 f ( x ) 的周期 T=3a; f ( x ? a)

(4) f ( x ? a) ? f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x ) 的周期 T=6a. 二、函数的对称性 ⑴

f (? x) ? ? f ( x)? y ? f ( x)为奇函数 ; f (? x) ? f ( x) ? y ? f ( x)为偶函数
中心 对称

(定义域关于原点对称)

( a ,b ) 对称 y ? f ( x) ?关于中心 ??? ? ?? 2b ? y ? f (2a ? x)

斜 率 为1 斜率 为-1 轴 对 称

y?x y ? x?a 点 ( x0 , y0 ) ?关于 点 ( x0 , y0 ) ?关于 ?? ??( y0 , x0 ) , ?? ??( y0 ? a, x0 ? a)

y? ?x 点 ( x0 , y0 ) ??? ?(? y0 , ?x0 ) , y ? ? x?a 点 ( x0 , y0 ) ???? ?(? y0 ? a, ?x0 ? a)

(3)对称

1.函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 一条 曲线

? f (a ? x) ? f (a ? x) ? f (2a ? x) ? f ( x) .

两条 曲线 一选择题(每题 4 分)

a?b 对 称 2 ? f (a ? mx) ? f (b ? mx) ? f (a ? b ? mx) ? f (mx) . b?a 函数 y ? f (a ? x)与y ? f (b ? x) 关于直线 x ? 对称。 2
2. 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 x ?

1. 已知函数 y ? f ( x ? 1) 的图象过点(3,2) ,则函数 f ( x ) 的图象关于 x 轴的对称图形 一定过点( ) A. (2,-2)

B. (2,2)

C. (-4,2)

D. (4,-2)

2. 若函数 y ? f ( x) 在 R 上的奇函数,若当 x ? 0 时, f ( x) ? log3 (1 ? x) 则 f (?2) ? A.-1 B.1 C.0 D.不存在 )

3. 设 y ? f ( x) 为偶函数,当 x ? 0 时 f ( x) ? x( x ? 1), 当 x ? 0 时, f ( x) 的解析式为( A. x(1 ? x) B. x(1 ? x) C. - x(1 ? x) D. ? x(1 ? x)

1

4. 已知 f ( x ? 1) 为偶函数,且当 x ? (0,1) 时 f ( x) ? 2x ,则 f (log2 3) = A.0 B.3 C.

(

)

4 3 1 2

D.

2 3 3 4
( ).

5. x∈R, 恒有 f ( 1 ? x) ? ? f ( 1 ? x) 成立, 当 x ? (0, ) 时, f ( x) ? 4x ,则 f ( ) =
2 2

A. 2

B. ? 2

C.-

2 2

D. ?2

6. 若函数 y ? f ( x) ( x ? R) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) , 且 x ? (?1,1] 时 f ( x) ?| x | ,则函数

y ? f ( x) 的图象与函数 y ? lg | x | 的图象的交点个数为 (

)

A.16 B.18 C.20 D.无数个 7. 定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上单调递增,设 a=f(3), b=f( 2 ),c=f(2),则 a,b,c 大小关系是 A、a>b>c B、a>c>b C、b>c>a D、c>b>a )

8. 已知函数 f ( x ? 1) 为奇函数,函数 f ( x ? 1) 为偶函数,且 f (0) ? 2 ,则 f (4) ? ( A. ?1 B. ?2 二. 填空题(每题 4 分) C.

1

D. 2 时,

9. f(x)是定义在 (-∞, +∞) 上的函数, 对 x∈R 均有 f(x)+f(x+2)=0, 当-1 ? x≤1 f(x)=2x-1,当 1<x≤3 时,函数 f(x)的解析式为__________________________

10. 设函数 f ( x) 对一切实数 x 均有: f ( x ? 3) ? f (3 ? x) ,且方程 f ( x) ? 0 恰好有 6 个不 同的实数根,则 6 个根的和为___________________________________ 11. 设 a , b 分别是方程 log2 x ? x ? 3 和 2 ? x ? 3 的根,则 log2 a
x

? 2b ? ___________

12. 定义在 (??,0) ? (0, ??) 的奇函数 f(x)满足 f ( x ? 2) f ( x) ? 1 ,且当 0<x ? 1 时, f(x)=x,则 f (
15 ) =____ 2
x

? 1? 13. 已知函数 f ( x) ? ? ? 的图像与函数 g ( x ) 的图像关于直线 y ? x 对称, ? 2?
(1)h( x ) 的图像关于原点对称; (2)h( x ) h( x) ? g?1?| x|? ,则关于 h( x ) 有下列命题: 为偶函数; (3) h( x ) 的最小值为 0; (4) h( x ) 在(0,1)上为减函数。 其中正确命题的序号为:____________________。

2

14. 若函数 f(x)的图象与 g(x)=2x-1 的图象关于直线 y=x+1 对称,则函数 f(x)的解析式为 f(x)=_______________ 三解答题 15. (10 分)若函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的图象关于(1,1)点对称,求 a,b 的值

16. (12 分) f ( x) 为定义在 R 上的偶函数,且 f (2 ? x) ? f (2 ? x) 对 x ? R 恒成立 (1) (2) (3) 求证 y ? f ( x) 为周期函数 若当 x ?[0, 2]时 f ( x) ? x ? x ,求 f ( x) 在[2,6]上的解析式
2

写出函数的单调区间及值域(不用证明)

3

17. (10 分)设 f ( x) 是定义在[-1,1]上的偶函数, f ( x), g ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称,且当

x ? [2,3] 时, g ( x) ? 2( x ?1) ? 4( x ? 2)3

求 f ( x) 的表达式

18. (12 分)若函数 y ? f ( x) 是周期为 2 的偶函数,当 x ?[2,3]时 , f ( x) ? x ? 1 ,在

y ? f ( x) 的图象上有两点 A,B,它们的纵坐标相等,横坐标都在[1,3]上,定点 C 的坐标
为 (0, a), a ? (2,3), 求 ?ABC 面积的最大值

4


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