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2017届高三数学一轮复习第十四篇不等式选讲第1节绝对值不等式课件理_图文

第十四篇 不等式选讲(选修4—5) 第1节 绝对值不等式

最新考纲 1.理解绝对值的几何意义,并了解下列不等 式的几何意义及取等号的条件:①|a+b|≤ |a|+|b|(a,b∈R);②|a-b|≤|a-c|+|c-b| (a,b∈R).

|c-b|(a,b∈R). 2.会利用绝对值的几何意义求 解以下类型的不等式:|ax+b|≤ c;|ax+b|≥c;|x-c|+|x-b|≥a.

知识链条完善 考点专项突破 经典考题研析

知识链条完善 把散落的知识连起来
知识梳理
1.绝对值不等式 (1)定理 如果a,b是实数,那么|a+b|≤ |a|+|b| ,当且仅当 ab≥0 时,等号成立. (2)如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|.当且仅当(a-b)(b-c)≥0 时, 等号成立. (3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式 ①|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|. ②||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|. ③|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|.

2.绝对值不等式的解法 (1)形如|ax+b|≥|cx+d|的不等式,可以利用两边平方的形式转化为二次 不等式求解.

(2)①绝对值不等式|x|>a 与|x|<a 的解集.

不等式

a>0

a=0

a<0

|x|<a

{x| -a<x<a }

?

?

|x|>a

{x| x>a或x<-a } {x|x≠0}

R

②|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 |ax+b|≤c? -c≤ax+b≤c (c>0), |ax+b|≥c? ax+b≥c或ax+b≤-c (c>0).

3.|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)不等式的解法 (1)零点分段讨论法:利用绝对值号内式子对应方程的根,将数轴分为 (-∞,a],(a,b],(b,+∞)(此处设a<b)三个部分,在每个部分上去掉绝对 值号分别列出对应的不等式求解,然后取各个不等式解集的并集. (2)几何法:利用|x-a|+|x-b|>c(c>0)的几何意义:数轴上到点x1=a和x2=b 的距离之和大于c的点的集合. (3)图象法:作出函数y1=|x-a|+|x-b|和y2=c的图象,结合图象求解.

夯基自测

1.|2x-1|>3的解集为( B )

(A)(-∞,-2)∪(1,+∞) (B)(-∞,-1)∪(2,+∞)

(C)(-2,1)

(D)(-1,2)

解析:由|2x-1|>3得2x-1<-3或2x-1>3, 解得x<-1或x>2.

2.不等式1<|x+1|<3的解集为( D )

(A)(0,2)

(B)(-2,0)∪(2,4)

(C)(-4,0)

(D)(-4,-2)∪(0,2)

解析:原不等式等价于1<x+1<3或-3<x+1<-1, 解之得0<x<2或-4<x<-2.

3.函数y=|x-4|+|x-6|的最小值为( A ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)10
解析:法一 y=|x-4|+|x-6| =|4-x|+|x-6|≥|(4-x)+(x-6)| =2. 法二 |x-4|+|x-6|表示在数轴上,x对应的点到4与6对应点的距离之和, 随着x在数轴上的移动易看出|x-4|+|x-6|≥2.

4.(2015高考重庆卷)若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数

a=

.

??3x ? 2a ?1? x ? a?,

解析:当

a≤-1

时,f(x)=

? ?

x

?

2a

?

1?

a

?

x

?

?1?,

所以 f(x)min=-a-1,

??3x ? 2a ?1? x ? ?1?,

??3x ? 2a ?1? x ? ?1?,

所以-a-1=5,所以 a=-6.当 a>-1 时,f(x)=

? ??x

?

2a

?

1?

?1

?

x

?

a

?

,

??3x ? 2a ?1? x ? a?,

所以 f(x)min=a+1,所以 a+1=5,所以 a=4.综上,a=-6 或 a=4.

答案:-6或4

5.若|x-4|+|x+5|>a对于x∈R均成立,则a的取值范围为

.

解析:因为|x-4|+|x+5|=|4-x|+|x+5|≥|4-x+x+5|=9,

所以当a<9时,不等式对x∈R均成立.

答案:(-∞,9)

考点专项突破 在讲练中理解知识
考点一 |ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法

【例1】 解下列不等式. (1)|2x-3|≤5; (2)|5-4x|>9.

解:(1)因为|2x-3|≤5,所以-5≤2x-3≤5,所以-2≤2x≤8, 所以-1≤x≤4,所以原不等式的解集为{x|-1≤x≤4}.

(2)因为|5-4x|>9,所以 5-4x>9 或 5-4x<-9,所以 4x<-4 或 4x>14,

所以 x<-1 或 x> 7 ,所以原不等式的解集为{x|x<-1 或 x> 7 }.

2

2

反思归纳 |ax+b|≤c,|ax+b|≥c型不等式的解法 (1)c>0,则|ax+b|≤c可转化为-c≤ax+b≤c;|ax+b|≥c可转化为 ax+b≥c或ax+b≤-c,然后根据a,b的取值求解即可. (2)c<0,则|ax+b|≤c,根据几何意义可得解集为;|ax+b|≥c的解集为R. (3)c=0,则|ax+b|≤c可转化为ax+b=0,然后根据a,b的取值求解即 可;|ax+b|≥c的解集为R.

【即时训练】(1)不等式|x2-2|<2的解集是( )

(A)(-1,1)

(B)(-2,2)

(C)(-1,0)∪(0,1)

(D)(-2,0)∪(0,2)

(2)在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1的解集为

.

解析:(1)原不等式等价于-2<x2-2<2,即0<x2<4. 所以-2<x<2且x≠0.故不等式的解集为(-2,0)∪(0,2). 故选D. (2)由于||x-2|-1|≤1,即-1≤|x-2|-1≤1, 即|x-2|≤2,所以-2≤x-2≤2,所以0≤x≤4. 答案:(1)D (2)[0,4]

考点二 |x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法
【例2】 解不等式|x-5|+|x+3|≥10. 解:令|x-5|=0,|x+3|=0,解得x=5,x=-3. (1)当x<-3时,不等式化为-(x-5)-(x+3)≥10, 即-2x+2≥10,解得x≤-4. (2)当-3≤x≤5时,不等式化为-(x-5)+(x+3)≥10, 即8≥10,显然不成立. (3)当x>5时,不等式可化为(x-5)+(x+3)≥10, 即2x-2≥10.解得x≥6. 综上,不等式的解集为(-∞,-4]∪[6,+∞).

反思归纳 解含两个或多个绝对值符号的不等式利用零点分段讨 论法求解时,要注意以下三个方面:一是准确去掉绝对值符号;二是求 得不等式的解后,要检验该解是否满足x的取值范围;三是将各区间上 的解集求并集.

【即时训练】 解不等式|2x+1|+|x-1|<2.

解:原不等式等价于

? ? ?

x

?

?

1 2

,



????2x ? 1? ? ? x ?1? ? 2

??? ?

1 2

?

x

?

1,

??2x ? 1? ? x ?

1?

?

2



?x ? 1, ??2x ?1

?

x

?

1

?

2.

即- 2 <x<- 1 或- 1 ≤x<0.所以,不等式的解集为(- 2 ,- 1 )∪[- 1 ,0),

3

22

32

2

即(- 2 ,0). 3

考点三 已知不等式的解集求参数

【例 3】 (1)若不等式|x+1|+|x-3|≥a+ 4 对任意的实数 x 恒成立,则实数 a

a 的取值范围是

.

解析:(1)设函数 f(x)=|x+1|+|x-3|,则 f(x)=|x+1|+|3-x| ≥|(x+1)+(3-x)|=4,即函数 f(x)的最小值为 4.不等式|x+1|+|x-3|

≥a+ 4 对任意的实数 x 恒成立,即 a+ 4 ≤4 恒成立.令 g(a)=a+ 4 ,

a

a

a

当 a>0 时,g(a)=a+ 4 ≥2 a ? 4 =4,当且仅当 a=2 时等号成立,即要使

a

a

a+ 4 ≤4 恒成立,则 a=2;当 a<0 时,g(a)=a+ 4 为负数,那么 a+ 4 ≤

a

a

a

4 必定恒成立.故 a 的取值范围是(-∞,0)∪{2}.

答案:(1)(-∞,0)∪{2}

(2)若关于实数x的不等式|x-5|+|x+3|<a无解,则实数a的取值范围是

.

?2x ? 2, x ? 5, 解析:(2)法一 因为|x-5|+|x+3|= ??8,?3 ? x ? 5,
???2x ? 2, x ? ?3, 所以|x-5|+|x+3|≥8, 当 a≤8 时不等式无解. 法二 因为|x-5|+|x+3|≥|(x-5)-(x+3)|=8, 所以当 a≤8 时,不等式无解.
答案:(2)(-∞,8]

反思归纳 (1)解含参数的绝对值不等式问题的两种方法 ①将参数分类讨论,将其转化为分段函数解决. ②借助于绝对值的几何意义,先求出相应式的最值或值域,然后再根 据题目要求,求解参数的取值范围. (2)不等式恒成立问题的常见类型及其解法 ①分离参数法: 运用“f(x)≤a ? f(x)max≤a,f(x)≥a ? f(x)min≥a”可解决恒成立中的参 数范围问题. ②更换主元法: 不少含参不等式恒成立问题,若直接从主元入手非常困难或不可能解 决时,可转换思维角度,将主元与参数互换,常可得到简捷的解法.

③数形结合法: 在研究曲线交点的恒成立问题时,若能数形结合,揭示问题所蕴含的几何背 景,发挥形象思维与抽象思维各自的优势,可直观解决问题. 提醒:不等式的解集为 R 是指不等式恒成立问题,而不等式的解集为 ? 的对 立面也是不等式恒成立问题,如 f(x)>m 的解集为 ? ,则 f(x)≤m 恒成立.

【即时训练】 (1)不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取

值范围是

.

(2)如果存在实数x使不等式|x+1|-|x-2|<k成立,则实数k的取值范围是

.

??4, x ? ?3, 解析:(1)f(x)=|x+3|-|x-1|= ??2x ? 2,?3 ? x ? 1, 故 f(x)的值域为[-4,4],不等式
??4, x ? 1,
|x+3|-|x-1|≤a2-3a 对任意实数 x 恒成立,即 a2-3a≥4,解得 a≤-1 或 a≥4.

??3, x ? ?1, (2)由|x+1|-|x-2|= ??2x ?1,?1 ? x ? 2, 可得|x+1|-|x-2|的最小值为-3.故 k>-3.
??3, x ? 2.
答案:(1)(-∞,-1]∪[4,+∞) (2)(-3,+∞)

备选例题
【例1】 (2016沈阳一模)设函数f(x)=|2x+1|-|x-4|. (1)解不等式f(x)>0; (2)若f(x)+3|x-4|>m对一切实数x均成立,求m的取值范围.
解:(1)当 x≥4 时,f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0,解得 x>-5,所以 x≥4 时,不等式成立.当- 1 ≤x<4 时,f(x)=2x+1+x-4=3x-3>0,解得 x>1,
2 所以 1<x<4 时,不等式成立.当 x<- 1 时,f(x)=-x-5>0,解得 x<-5,
2 所以,x<-5 成立.综上,原不等式的解集为{x|x>1 或 x<-5}.
(2)f(x)+3|x-4|=|2x+1|+2|x-4|≥|2x+1-(2x-8)|=9,当 x≥4 或 x≤- 1 时等 2
号成立,所以 f(x)+3|x-4|的最小值为 9,故 m<9.即 m 的取值范围为(-∞,9).

【例2】 已知函数f(x)=|2x+1|+|2x-3|. (1)求不等式f(x)≤6的解集; (2)若关于x的不等式f(x)<|a-1|的解集非空,求实数a的取值范围.

解:(1)原不等式等价于

?? x ?

?

3 2

,



??? ?

1 2

?

x

?

3 2

,



???2x ? 1? ? ?2x ? 3? ? 6 ???2x ?1? ? ?2x ? 3? ? 6

? ? ?

x

?

?

1 2

,

????2x ? 1?

?

?2x

? 3?

?

解得 6.

3 2

<x≤2

或-

1 2

≤x≤

3 2

或-1≤x<-

1 2

,即不等式

的解集为{x|-1≤x≤2}.

(2)因为|2x+1|+|2x-3|≥|(2x+1)-(2x-3)|=4, 所以|a-1|>4,所以a<-3或a>5. 即a的取值范围为(-∞,-3)∪(5,+∞).

【例3】 已知函数f(x)=|x+a|. (1)当a=-1时,求不等式f(x)≥|x+1|+1的解集; (2)若不等式f(x)+f(-x)<2存在实数解,求实数a的取值范围.

解:(1)当 a=-1 时,f(x)≥|x+1|+1 可化为|x-1|-|x+1|≥1,

化简得

?x ??2

? ?1, ?1



??1 ? x ? 1, ???2x ? 1



?x ? 1, ???2 ? 1,

解得

x≤-1,或-1<x≤-

1 2

,

即所求解集为{x|x≤- 1 }. 2
(2)令g(x)=f(x)+f(-x),
则g(x)=|x+a|+|x-a|≥2|a|,
所以2>2|a|,
即-1<a<1.所以实数a的取值范围是(-1,1).

经典考题研析 在经典中学习方法
含绝对值不等式的解法

【典例】(2015 高考新课标全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.

审题指导

关键点

所获信息

a=1 时,解不等式 f(x)>1

解不等式|x+1|-2|x-1|>1

三角形面积大于 6,求 a 的取值范围

建立关于 a 的不等式

解题突破:(1)分 x≤-1,-1<x<1 与 x≥1 三种情况讨论;

(2)先求出三角形三个顶点的坐标,再列出关于 a 的不等式求解.

解:(1)当 a=1 时,f(x)>1 化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当 x≤-1 时,不等式化为
x-4>0,无解;当-1<x<1 时,不等式化为 3x-2>0,解得 2 <x<1;当 x≥1 时,不 3
等式化为-x+2>0,解得 1≤x<2.所以 f(x)>1 的解集为{x| 2 <x<2}. 3
?x ?1? 2a, x ? ?1, (2)由题设可得 f(x)= ??3x ?1? 2a,?1 ? x ? a, 所以函数 f(x)的图象与
???x ?1? 2a, x ? a.

x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A( 2a ?1 ,0),B(2a+1,0),C(a,a+1), 3

△ABC 的面积为 2 (a+1)2.由题设得 2 (a+1)2>6,故 a>2.

3

3

所以 a 的取值范围为(2,+∞).

命题意图:本题主要考查了绝对值不等式的解法和三角形面积的求法,考 查了分类讨论和数形结合思想,考查了运算求解的能力.