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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师大版必修二【配套备课资源】平面上两点间的距离


2.1.5
一、基础过关

平面上两点间的距离

1. 已知点 A(-3,4)和 B(0,b),且 AB=5,则 b=________. 2. 以 A(1,5),B(5,1),C(-9,-9)为顶点的三角形为__________三角形. 3. 设点 A 在 x 轴上,点 B 在 y 轴上,AB 的中点是 P(2,-1),则 AB=________. 4. 已知点 A(1,2),B(3,1),则到 A,B 两点距离相等的点的坐标满足的条件是__________. 5.已知 A(-3,8), B(2,2), x 轴上有一点 M, 在 使得 MA+MB 最短, 则点 M 的坐标是________. 6. 设 A,B 是 x 轴上两点,点 P 的横坐标为 2,且 PA=PB,若直线 PA 的方程为 x-y+1 =0,则直线 PB 的方程为____________. 7. 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和. 8. 已知△ABC 的顶点 A(3,-1),AB 边上的中线所在直线的方程为 6x+10y-59=0,∠B 的平分线所在直线的方程为 x-4y+10=0,求 BC 边所在直线的方程. 二、能力提升 9.已知点 A(x,5)关于点 C(1, y)的对称点是 B(-2, -3), 则点 P(x, y)到原点的距离是_______. 10.点 M 到 x 轴和到点 N(-4,2)的距离都等于 10,则点 M 的坐标为______________. 11.等腰△ABC 的顶点是 A(3,0),底边长 BC=4,BC 边的中点是 D(5,4),则此三角形的腰 长为________. 12. △ABC 中, 是 BC 边上任意一点(D 与 B, 不重合), AB2=AD2+BD· D C 且 DC.求证: △ABC 为等腰三角形. 三、探究与拓展 13.已知直线 l 过点 P(3,1)且被两平行直线 l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0 截得的线段长 为 5,求直线 l 的方程.

答案
1.0 或 8 2.等腰 3.2 5 4.4x-2y=5 5.(1,0) 6.x+y-5=0 7.证明 如图所示,以顶点 A 为坐标原点,AB 边所在的直线为 x 轴,建立直角坐标系,有 A(0,0).设 B (a,0),D (b,c), 由平行四边形的性质得点 C 的坐标为(a+b,c), 因为 AB2=a2,CD2=a2,AD2=b2+c2, BC2=b2+c2,AC2=(a+b)2+c2, BD2=(b-a)2+c2. 所以 AB2+CD2+AD2+BC2=2(a2+b2+c2),AC2+BD2=2(a2+b2+c2). 所以 AB2+CD2+AD2+BC2=AC2+BD2.因此, 平行四边形四条边的平方和等于两条对角 线的平方和. 8.解 设 A 关于∠B 的平分线的对称点为 A′(x0,y0),

?x +3-4×y -1+10=0, 2 ? 2 则? y +1 1 ?x -3×4=-1. ?
0 0 0 0

?x0=1, ? 解得? ? ?y0=7.

即 A′(1,7).设 B 的坐标为(4a-10,a), 所以 AB 的中点? 4a-7 a-1 4a-7 a-1? ? 2 , 2 ?在直线 6x+10y-59=0 上,所以 6× 2 +10× 2 -

59=0,所以 a=5, 即 B(10,5).由直线的两点式方程可得直线 BC 的方程为 2x+9y-65=0. 9. 17 10.(2,10)或(-10,10) 11.2 6 12.证明 作 AO⊥BC,垂足为 O,以 BC 所在直线为 x 轴,以 OA 所 在直线为 y 轴,建立直角坐标系(如右图所示). 设 A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0). 因为 AB2=AD2+BD· DC,所以,由距离公式可得 b2+a2=d2+a2+(d-b)(c-d),

即-(d-b)(b+d)=(d-b)(c-d). 又 d-b≠0,故-b-d=c-d,即-b=c. 所以 AB=AC,即△ABC 为等腰三角形. 13.解 方法一 若直线 l 的斜率不存在, 则直线 l 的方程为 x=3,此时与直线 l1,l2 的交点分别是 A(3,-4),B(3,-9), 截得的线段 AB 的长为 AB=|-4+9|=5,符合题意. 若直线 l 的斜率存在, 则设直线 l 的方程为 y=k(x-3)+1, 分别与直线 l1,l2 的方程联立,
?y=k?x-3?+1 ? 由? , ? ?x+y+1=0

解得 A?

?3k-2,1-4k?. ? ? k+1 k+1 ?

?y=k?x-3?+1 ? 由? , ? ?x+y+6=0

解得 B?

?3k-7,1-9k?, ? ? k+1 k+1 ?

由两点间的距离公式,得

?3k-2-3k-7?2+?1-4k-1-9k?2=25, ? k+1 k+1 ? ? k+1 k+1 ? ? ? ? ?
解得 k=0,即所求直线方程为 y=1. 综上可知,直线 l 的方程为 x=3 或 y=1. 方法二 设直线 l 与直线 l1,l2 分别相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 则 x1+y1+1=0,x2+y2+6=0, 两式相减,得(x1-x2)+(y1-y2)=5 又(x1-x2) +(y1-y2) =25 联立①②可得
?x1-x2=5 ?x1-x2=0 ? ? ? 或? , ? ? ?y1-y2=0 ?y1-y2=5
2 2

① ②

由上可知,直线 l 的倾斜角分别为 0° 90° 和 , 故所求的直线方程为 x=3 或 y=1.


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