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【数学】2010年高考数学试题精编:3.4 数列综合应用


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第三章 四

数列

数列综合应用

【考点阐述】 数列综合应用 【考试要求】 (4)运用等差数列、等比数列及求和知识解决数列综合问题。 【考题分类】 (一)选择题(共 2 题)

1 am }中,各项都是正数,且 a1 , 2 a3 , 2a2 成等差数列,则 1.(湖北卷文 7)已知等比数列{

a9 + a10 = a7 + a8
A. 1 + 2 【答案】C B. 1 ? 2 C. 3 + 2 2 D3? 2 2

2. (江西卷理 5) 等比数列 则

{an } 中,a1 = 2 ,a8 =4, f ( x ) = x( x ? a1 )( x ? a2 )?( x ? a8 ) , 函数

f ' ( 0) =
6

( )
9 B. 2 12 C. 2 15 D. 2

A. 2

【答案】C 【解析】考查多项式函数的导数公式,重点考查学生创新意识,综合与灵活地应用所学的数 学知识、思想和方法。考虑到求导中,含有 x 项均取 0,则 有关;得:

f ' ( 0)

只与函数

f ( x)

的一次项

a1 ? a2 ? a3 ? a8 = ( a1a8 ) 4 = 212 。

(二)填空题(共 1 题)

{a } a = 33, an +1 ? an = 2n, 1. (辽宁卷理 16) 已知数列 n 满足 1 则

an n 的最小值为_________ _.

-1-

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(三)解答题(共 14 题) 1.(安徽卷文 21)设

C1 , C2 ,? , Cn ,? 是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在 x 轴的正半
3 x 3 相切,对每一个正整数 n ,圆 Cn 都与圆 Cn
的半径,已知

轴上,且都与直线

y= rn

Cn +1

相互外切,以

表示

{rn }

为递增数列.

(Ⅰ)证明:

{rn }

为等比数列;

n { } r =1 r (Ⅱ)设 1 ,求数列 n 的前 n 项和.
【命题意图】本题考查等比列的基本知识,利用错位相减法求和等基本方法,考察抽象概括 能力以及推理论证能力. 【解题指导】(1)求直线倾斜角的正弦,设

Cn

的圆心为

(λn , 0)

,得

λn = 2rn ,同理得

λn +1 = 2rn +1 , {r } r 结合两圆相切得圆心距与半径间的关系, 得两圆半径之间的关系, n 中 n +1 即
n r {r } {r } r 与 n 的关系,证明 n 为等比数列; (2)利用 (1) 的结论求 n 的通项公式,代入数列 n ,
然后用错位相减法求和.

-2-

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【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题,通常利用几何知识,并结合图形,得出关 于数列相邻项

an



an +1

之间的关系,然后根据这个递推关系,结合所求内容变形,得出通

项公式或其他所求结论.对于数列求和问题,若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成 的数列时,通常是利用前 n 项和

S n 乘以公比,然后错位相减解决.
n+1
* (n ∈ N ).

?1? 1 ? ? a a S S S 2.(福建卷文 17)数列{ n } 中 = 3 ,前 n 项和 n 满足 n +1 - n = ? 3 ?
( I ) 求数列{

an }的通项公式 an 以及前 n 项和 S n ;

(II)若 S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列,求实数 t 的值。

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3.(湖北卷文 19)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 a(单位:m2),其中有部分 旧住房需要拆除。当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 10%建设新住房,同事也拆 除面积为 b(单位:m2)的旧住房。 (Ⅰ)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式: (Ⅱ)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30%,则每年拆除的 旧住房面积 b 是多少?(计算时取 1.15=1.6)

4.(湖南卷文 20)给出下面的数表序列:

-4-

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其中表 n(n=1,2,3 ? )有 n 行,第 1 行的 n 个数是 1,3,5, ? 2n-1,从第 2 行起,每行 中的每个数都等于它肩上的两数之和。 (I)写出表 4,验证表 4 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推 广到表 n(n≥3)(不要求证明); (II)每个数列中最后一行都只有一个数,它们构成数列 1,4,12 ? ,记此数列为

{bn }



b3 b b + 4 +? n + 2 b b b2b3 bn bn +1 和: 1 2

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5.(江苏卷 19)设各项均为正数的数列

{a n } 的前 n 项和为 S n ,已知 2a 2

= a1 + a 3 ,数列

{ S }是公差为 d 的等差数列。
n

(1)求数列

{a n } 的通项公式(用 n, d 表示);

S + S n > cS k (2)设 c 为实数, 对满足 m + n = 3k且m ≠ n 的任意正整数 m, n, k , 不等式 m
9 都成立。求证: c 的最大值为 2 。
[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识,考查探索、分 析及论证的能力。满分 16 分。 (1)由题意知: d > 0 ,

S n = S1 + ( n ? 1) d = a1 + ( n ? 1) d


2a2 = a1 + a3 ? 3a2 = S3 ? 3( S 2 ? S1 ) = S3
化简,得:

3[( a1 + d ) 2 ? a1 ]2 = ( a1 + 2d ) 2 ,

a1 ? 2 a1 ? d + d 2 = 0, a1 = d , a1 = d 2


S n = d + ( n ? 1) d = nd , S n = n 2 d 2
当 n ≥ 2 时, 故所求

an = S n ? S n ?1 = n 2 d 2 ? (n ? 1) 2 d 2 = (2n ? 1) d 2 ,适合 n = 1 情形。

an = (2n ? 1) d 2

(2)(方法一)

S m + S n > cS k ? m d + n d > c ? k d ? m + n > c ? k ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

c<

m2 + n2 k 2 恒成立。

-6-

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又 m + n = 3k且m ≠ n ,

2(m 2 + n 2 ) > (m + n) 2 = 9k 2 ?

m2 + n2 9 > k2 2,



c≤

9 9 2 ,即 c 的最大值为 2 。 a1 = d


(方法二)由

S n = a1 + ( n ? 1) d

S = n2 d 2 。 ,得 d > 0 , n

于是,对满足题设的 m, n, k , m ≠ n ,有

Sm + S n = (m 2 + n 2 )d 2 > cmax ≥

(m + n)2 2 9 2 2 9 d = d k = Sk 2 2 2 。

所以 c 的最大值

9 2。 9 3 3 m = k + 1, n = k ? 1 2 。设 k 为偶数,令 2 2 ,则 m, n, k 符合条件,

另一方面,任取实数

a>

3 3 1 S m + S n = ( m 2 + n 2 ) d 2 = d 2 [( k + 1) 2 + ( k ? 1) 2 ] = d 2 (9k 2 + 4) 2 2 2 且 。 k> 2 2a ? 9 时, Sm + Sn < 1 2 d ? 2ak 2 = aS k 2 。

于是,只要 9 k + 4 < 2ak ,即当
2 2

所以满足条件的

c≤

9 9 cmax ≤ 2 ,从而 2。

9 因此 c 的最大值为 2 。
6.(江西卷理 22)证明以下命题:
2 2 2 对任一正整 a,都存在整数 b,c(b<c),使得 a ,b ,c 成等差数列。

存在无穷多个互不相似的三角形△ n ,其边长

an,bn,cn

为正整数且

an 2,bn 2,cn 2 成等差

数列。 【解析】作为压轴题,考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。
2 2 2 (1)考虑到结构要证 a + c = 2b ,;类似勾股数进行拼凑。

2 2 2 证明:考虑到结构特征,取特值 1 , 5 , 7 满足等差数列,只需取 b=5a,c=7a,对一切正整

数 a 均能成立。 结合第一问的特征,将等差数列分解,通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形,

-7-

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再证明互不相似,且无穷。 证明:当 分解得:
2 2 2 2 an,bn2,cn 成等差数列,则 bn2 ? an = cn ? bn2 ,

(bn + an )(bn ? an ) = (cn + bn )(cn ? bn )
2

选取关于 n 的一个多项式, 4n( n ? 1) 做两种途径的分解

4n(n 2 ? 1) = (2n ? 2)(2n 2 + 2n) = (2n 2 ? 2n)(2n + 2) 4n(n 2 ? 1)
? an = n 2 ? 2 n ? 1 ? 2 ? bn = n + 1 (n ≥ 4) ? c = n 2 + 2n ? 1 ? n

对比目标式,构造 ,由第一问结论得,等差数列成立, 考察三角形边长关系,可构成三角形的三边。 下证互不相似。

m 2 ? 2m ? 1 m 2 + 1 m 2 + 2m ? 1 = 2 = 2 n + 1 n 2 + 2n ? 1 , 则三边对应成比例 n ? 2n ? 1 任取正整数 m, 若△m, n 相似: n, △
m ?1 m + 1 = ?m=n 由比例的性质得: n ? 1 n + 1 ,与约定不同的值矛盾,故互不相似。
7.(江西卷文 22)正实数数列 (1) 证明数列

{an }

中,

a1 = 1, a2 = 5

,且

2 {an } 成等差数列.

{an }

中有无穷多项为无理数;

(2)当 n 为何值时,

an

为整数,并求出使

an < 200

的所有整数项的和.

证明:(1)由已知有: 方法一:取 n ? 1 = 24 用反证法证明这些 假设 故

2 an = 1 + 24( n ? 1) ,从而 an = 1 + 24(n ? 1) ,

2 k ?1

,则

an = 1 + 24 2 k ( k ∈ N * )

an

都是无理数.

an = 1 + 24 2 k 为有理数,则 an 必为正整数,且 an > 24k ,

an ? 24k ≥ 1 . an ? 24k > 1 ,与 ( an ? 24k )( an + 24k ) = 1 矛盾, an = 1 + 24 2 k ( k ∈ N * )都是无理数,即数列 {an } 中有无穷多项为无理数;
2 an +1 = 1 + 24n, ( n ∈ N ) ,当 n 的末位数字是 3, 4,8,9 时,1 + 24n 的末位数字

所以

方法二:因为

是3和7 , 它不是整数的平方, 也不是既约分数的平方, 故此时 因这种 n 有无穷多,故这种无理项

an+1 = 1 + 24n 不是有理数,

an +1

也有无穷多.
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(2) 要使

an 为整数,由 (an ? 1)( an + 1) = 24( n ? 1) 可知:

an ? 1, an + 1 同为偶数,且其中一个必为 3 的倍数,所以有 an ? 1 = 6m 或 an + 1 = 6m


an = 6 m + 1

时,有

2 an = 36m 2 + 12m + 1 = 1 + 12m(3m + 1) ( m ∈ N )

又 m (3m + 1) 必为偶数,所以

an = 6 m + 1

( m ∈ N )满足

2 an = 1 + 24( n ? 1)



n=

m(3m + 1) +1 a 2 ( m ∈ N )时, n 为整数;

同理

2 an = 6m ? 1( m ∈ N * ) 有 an = 36m 2 ? 12m + 1 = 1 + 12m(3m ? 1) ( m ∈ N * )

a 2 = 1 + 24( n ? 1) ,即 也满足 n
显然

n=

m(3m ? 1) +1 * a 2 ( m ∈ N )时, n 为整数;

an = 6m ? 1( m ∈ N * ) 和 an = 6m + 1 ( m ∈ N )是数列中的不同项;

所以当 由 由 设

n=

m(3m + 1) m(3m ? 1) +1 n= +1 * a 2 2 ( m ∈ N )和 ( m ∈ N )时, n 为整数;
( m ∈ N )有 0 ≤ m ≤ 33 , ( m ∈ N )有 1 ≤ m ≤ 33 .
*

an = 6m + 1 < 200 an = 6m ? 1 < 200 an
中满足

an < 200

的所有整数项的和为 S ,则

S = (5 + 11 + ? + 197) + (1 + 7 + ? + 199)
8.(全国Ⅰ新卷理 17)设数列 求数列 令

=

5 + 197 1 + 199 × 33 + × 34 = 6733 2 2

{an } 满足 a1 = 2, an +1 ? an = 3i22 n ?1

{an } 的通项公式;
,求数列的前 n 项和

bn = nan

Sn

解: (Ⅰ)由已知,当 n≥1 时,

an +1 = [( an +1 ? an ) + ( an ? an ?1 ) + ? + ( a2 ? a1 )] + a1 = 3(22 n ?1 + 22 n ?3 + ? + 2) + 2 = 22( n+1)?1 。


a1 = 2,
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所以数列{ (Ⅱ)由

an }的通项公式为 an = 2 2 n ?1 。

bn = nan = n ? 22 n ?1 知


S n = 1 ? 2 + 2 ? 23 + 3 ? 25 + ? + n ? 22 n ?1
从而

22 ? S n = 1 ? 23 + 2 ? 25 + 3 ? 27 + ? + n ? 22 n +1
①-②得



(1 ? 2 2 ) ? S n = 2 + 23 + 25 + ? + 22 n ?1 ? n ? 22 n +1





1 S n = [(3n ? 1)22 n +1 + 2] 9

9. (上海卷理 20)已知数列 (1)证明: (2)求数列

{an } 的前 n 项和为 S n ,且 Sn = n ? 5a n ?85 , n ∈ N *

{an ? 1} 是等比数列; {Sn } 的通项公式,并求出 n 为何值时, S n 取得最小值,并说明理由。

解 析 : (1) 当 n=1 时 , a1=?14 ; 当 n≥2 时 , an=Sn?Sn?1=?5an+5an?1+1 , 所 以 5 an ? 1 = (an ?1 ? 1) 6 , 又 a1?1=?15≠0,所以数列{an?1}是等比数列;
?5? an ? 1 = ?15 ? ? ? ?6? (2) 由(1)知: ?5? ? ? 解不等式 Sn<Sn+1,得 ? 6 ?
n?1 n ?1 n ?1 n?1

?5? an = 1 ? 15 ? ? ? ?6? ,得

? 5? Sn = 75? ? ? + n ? 90 ? 6? ,从而 (n∈N*);

<

2 2 n > log 5 + 1 ≈ 14.9 5, 6 25 ,当 n≥15 时,数列{Sn}单调递增;

同理可得,当 n≤15 时,数列{Sn}单调递减;故当 n=15 时,Sn 取得最小值. 10. (上海卷文 21)已知数列 (1)证明: (2)求数列

{an } 的前 n 项和为 S n ,且 Sn = n ? 5a n ?85 , n ∈ N *

{an ? 1} 是等比数列; {Sn } 的通项公式,并求出使得 Sn +1 > Sn 成立的最小正整数 n .

解 析 : (1) 当 n=1 时 , a1=?14 ; 当 n≥2 时 , an=Sn?Sn?1=?5an+5an?1+1 , 所 以 5 an ? 1 = (an ?1 ? 1) 6 , 又 a1?1=?15≠0,所以数列{an?1}是等比数列;
?5? an ? 1 = ?15 ? ? ? ?6? (2) 由(1)知:
n ?1 n ?1 n ?1

?5? an = 1 ? 15 ? ? ? ?6? , 得
- 10 -

?5? Sn = 75 ? ? ? ?6? , 从而

+ n ? 90

(n∈N*);

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?5? ? ? 由 Sn+1>Sn,得 ? 6 ?

n?1

<

2 2 n > log 5 + 1 ≈ 14.9 5, 6 25 ,最小正整数 n=15.

11. (四川卷理 21)已知数列{an}满足 a1=0, a2=2,且对任意 m、n∈N*都有 a2m-1+a2n -1=2am+n-1+2(m-n)2 (Ⅰ)求 a3,a5; (Ⅱ)设 bn=a2n+1-a2n-1(n∈N*),证明:{bn}是等差数列; (Ⅲ)设 cn=(an+1-an)qn-1(q≠0,n∈N*),求数列{cn}的前 n 项和 Sn.

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12. (天津卷理 22)在数列 等差数列,其公差为 (Ⅰ)若

{an } 中,a1 = 0 ,且对任意 k ∈ N * k ∈ N ,a2 k ?1 , a2 k , a2 k +1 成

dk 。

d k =2k,证明 a2 k ?1 , a2 k , a2 k + 2 成等比数列( k ∈ N * ); a2 k ?1 , a2 k , a2 k + 2 成等比数列,其公比为 qk .

(Ⅱ)若对任意 k ∈ N * ,

? 1 ? ? ? q ? 1? q (i)设 1 ≠ 1.证明 ? k 是等差数列;
3 k2 < 2n ? nΣ ≤ 2(n ≥ 2) a2 = 2 ,证明 2 k ?2 a k (ii)若
【命题意图】 本小题主要考查等差数列的定义及通项公式, n 项和公式、 前 等比数列的定义、 数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨 论的思想方法。

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a ?a = 4k , k ∈ N * 2k + 1 2 k ? 1 【解析】(Ⅰ)证明:由题设,可得 。
所以 2 k + 1

a

) + (a ) + ... + ( a3 ? a1 ) ? a1 = ( a ?a ?a 2k + 1 2k ? 1 2 k ? 1 2k ? 3

= 4 k + 4( k ? 1) + ... + 4 × 1 =2k(k+1)

a = 2k (k + 1), 从而a = a ? 2k = 2k 2 , a = 2(k + 1) 2 . 2k + 1 2k 2k + 1 2k + 2 由 =0,得 a a a a 2k + 1 = k + 1 , 2k + 2 = k + 1 , 所以 2k + 2 = 2k + 1 a k a k a a 2k + 1 2k + 1 2k 。 于是 2k
a1

d k = 2k时,对任意k ∈ N * , a , a ,a 2k 2k + 1 2k + 2 成等比数列。 所以
(Ⅱ)证法一:(i)证明:由 2k ? 1

a

, a2 k , a a ,a ,a 2k + 1 成等差数列,及 2k 2k + 1 2k + 2 成

a a 2a = a +a , 2 = 2 k ? 1 + 2 k + 1 = 1 + qk 2k 2k ? 1 2k + 1 a a q 2k 2k k ?1 等比数列,得


q1 ≠1 时,可知 qk ≠1,k ∈ N *
1 = q k ?1 2 ? 1 1 ?1 q k ?1 = 1 1 + 1, 即 1 ? = 1(k ≥ 2) ?1 ?1 q q q k ?1 k ?1 k ?1

从而

? ? 1 ? ? ? ? ? qk ? 1 ? ? ? 是等差数列,公差为 1。 所以
q1 = 1 4 = 2, q ? 1 2 1 =1.由(Ⅰ)有

(Ⅱ)证明:

a1 = 0



a2 = 2

,可得

a3 = 4

,从而

1 q k ?1

= 1 + k ? 1 = k , 得qk = k + 1 , k ∈ N * k

2 a a a ( ) 2k + 2 = 2k + 1 = k + 1 , 从而 2k + 2 = k + 1 ,k ∈ N * a a k a k2 2k + 1 2k 2k 所以

因此,

a2 k =

a a k2 ( k ? 1) 2 22 . 2k ? 2 .... 4 .a = . ... 2 .2 = 2k 2 .a = a . k + 1 = 2k ( k + 1), k ∈ N * 2 2 k +1 2 2k k a a a 2 ( k ? 1) ( k ? 2) 1 2k ? 2 2k ? 4 2
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a 2k

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以下分两种情况进行讨论: 当 n 为偶数时,设 n=2m( m ∈ N )
*

2n ? ∑
若 m=1,则 若 m≥2,则

k2 =2 k = 2 ak .
n

m m k2 (2k )2 m ?1 (2k + 1)2 4k 2 =∑ +∑ =∑ 2 ∑ a k =1 a a2 k +1 k =2 k k =1 k =1 2 k 2k + n
m ?1 m ?1 ? 4k 2 + 4k ? 4 k 2 + 4k + 1 1 ? 1?1 1 ?? = 2m + ∑ ? + = 2m + ∑ ? 2 + ? ? ∑ 2k (k + 1) ? ? 2k (k + 1) ? 2 ? k k + 1 ?? k =1 k =1 ? 2 k ( k + 1) k =1 ? ? m ?1

1 1 3 1 = 2m + 2(m ? 1) + (1 ? ) = 2n ? ? 2 2 n. m 2n ? ∑
所以
n k2 3 1 3 k2 = + , 从而 < 2n ? ∑ < 2, n = 4, 6,8... 2 n 2 k = 2 ak k = 2 ak n
*

(2)当 n 为奇数时,设 n=2m+1( m ∈ N )

k 2 2 m k 2 (2m + 1) 3 1 (2m + 1) 2 =∑ + = 4m ? ? + ∑ a k =2 a a 2 2m 2m(m + 1) k =2 k k 2 m +1
n 2

= 4m +

1 1 3 1 ? = 2n ? ? 2 2(m + 1) 2 n +1
n k2 3 1 3 k2 = + , < 2n ? ∑ < 2, n = 3,5, 7 2 n + 1 从而 2 k = 2 ak k = 2 ak ··· n

2n ? ∑
所以

n 3 k2 < 2n ? ∑ ≤ 2 ? 2 k = 2 ak 综合(1)(2)可知,对任意 n ≥ 2 , n ∈ N ,有

证法二:(i)证明:由题设,可得

d k = a2 k +1 ? a2 k = qk a2 k ? a2 k = a2 k (qk ? 1),

d k +1 = a2 k + 2 ? a2 k +1 = qk 2 a2 k ? qk a2 k = a2 k qk ( qk ? 1), 所以 d k +1 = qk d k

qk +1 =

a2 k +3 a2 k + 2 + d k +1 d d q ?1 = = 1 + 2k +1 = 1 + k = 1 + k a2 k + 2 a2 k + 2 qk a2 k qk a2 k qk 1 ?

q 1 1 = k ? =1 q ≠1 q ≠ 1, k ∈ N * q ? 1 qk ? 1 qk ? 1 qk ? 1 由 1 可知 k 。可得 k +1 ,

- 14 -

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? 1 ? ? ? ? qk ? 1? 是等差数列,公差为 1。 所以
(ii)证明:因为

a1 = 0, a2 = 2,
q1 =
,从而

所以

d1 = a2 ? a1 = 2



所以

a3 = a2 + d1 = 4

? 1 ? a3 1 =2 =1 ? ? a2 q ? 1 。于是,由(i)可知所以 ? qk ? 1? 是 , 1

1 k +1 q = qk ? 1 = 1 + ( k ? 1) = k ,故 k k 。 公差为 1 的等差数列。由等差数列的通项公式可得
d k +1 k +1 = qk = d k 。 从而 k dk d d d k k ?1 2 = k . k ?1 ........ 2 = . ...... = k d =2 1 d d k ?1 d k ? 2 d1 k ? 1 k ? 2 所以 1 ,由 1 ,可得 d k = 2k


于是,由(i)可知 以下同证法一。

a2 k +1 = 2k ( k + 1) , a2 k = 2k 2 , k ∈ N *

13. (天津卷文 22)在数列 其公差为 2k. (Ⅰ)证明

{a n } 中, a1 =0,且对任意 k∈ N* , a 2k ?1 , a 2k , a 2k+1 成等差数列,

a4 , a5 , a6

成等比数列;

(Ⅱ)求数列

{an } 的通项公式;
22 32 n2 3 + + iii+ < 2n ? Tn ≤ (n ≥ 2) 2 a2 a3 an ,证明 2 .

Tn =
(Ⅲ)记

【命题意图】本小题主要考查等差数列的定义及前 n 项和公式、等比数列的定义、数列求和 等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想 方法。 【解析】(I)证明:由题设可知,

a2 = a1 + 2 = 2



a3 = a2 + 2 = 4



a4 = a3 + 4 = 8



a5 = a4 + 4 = 12 a6 = a5 + 6 = 18

, 。

a6 a5 3 = = a5 a4 2 ,所以 a4 , a5 , a6 成等比数列。 从而

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(II)解:由题设可得 所以

a2 k +1 ? a2 k ?1 = 4k , k ∈ N *

a2 k +1 ? a1 = ( a2 k +1 ? a2 k ?1 ) + ( a2 k ?1 ? a2 k ?3 ) + ... ( a3 ? a1 ) = 4k + 4 ( k ? 1) + ... + 4 ×1 = 2k ( k + 1) , k ∈ N *
.



a1 = 0

,得

a2 k +1 = 2k ( k + 1)

,从而

a2 k = a2 k +1 ? 2k = 2k 2 .

? n2 ? 1 ? 2 , n为奇数 ? an = ? 2 n n 2 ( ?1) ? 1 ? n , n为偶数 an = + {a } ?2 ? 2 4 所以数列 n 的通项公式为 或写为 ,n∈ N *。
(III)证明:由(II)可知 以下分两种情况进行讨论: 当 n 为偶数时,设 n=2m
n

a2 k +1 = 2k ( k + 1)



a2 k = 2 k 2 ,

( m ∈ N *)

k2 2n ? ∑ = 2 k = 2 ak , 若 m = 1 ,则
若 m ≥ 2 ,则
m ( 2k ) + m?1 ( 2k + 1) = m 4k 2 + m?1 4k 2 + 4k + 1 k2 =∑ ∑ a k =1 a ∑ a ∑ 2k 2 ∑ 2k ( k + 1) k =2 k k =1 k =1 k =1 2k 2 k +1 n 2 2 m ?1 ? m ?1 ? 4k 2 + 4 k 1 ? 1?1 1 ?? = 2m + ∑ ? + = 2m + ∑ ? 2 + ? ? ? ? 2k ( k + 1) ? 2 ? k k ? 1 ?? k =1 ? 2 k ( k + 1) k =1 ? ?

1? 1? 3 1 = 2m + 2 ( m ? 1) + ?1 ? ? = 2n ? ? 2? m? 2 n. 2n ? ∑
所以
n k2 3 1 3 k2 = + < 2n ? ∑ < 2, n = 4, 6,8,.... 2 n ,从而 2 k = 2 ak k = 2 ak n

当 n 为奇数时,设
n

n = 2m + 1( m ∈ N *)
2


2

( 2m + 1) k 2 2 m k 2 ( 2m + 1) 3 1 = 4m ? ? + ∑a =∑a + a 2 2m 2m ( m + 1) k =2 k k =2 k 2 m +1
1 1 3 1 = 4m + ? = 2n ? ? 2 2 ( m ? 1) 2 n +1
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n k2 3 1 3 k2 2n ? ∑ = + < 2n ? ∑ < 2, n = 3, 5, 7,.... 2 n + 1 ,从而 2 k = 2 ak k = 2 ak 所以 n

3 < 2n ? Tn ≤ 2. n ≥ 2, n ∈ N *, 有 2 综合(1)和(2)可知,对任意

14. (上海春卷 23)已知首项为 x1 的数列

{x n }

xn +1 =
满足

axn xn + 1 ( a 为常数)。

* x = xn (1)若对于任意的 x1 ≠ ?1 ,有 n +2 对于任意的 n ∈ N 都成立,求 a 的值;

{x } (2)当 a = 1 时,若 x1 > 0 ,数列 n 是递增数列还是递减数列?请说明理由;
(3)当 a 确定后,数列 “

{x n }

{x } 由其首项 x1 确定,当 a = 2 时,通过对数列 n 的探究,写出

{x n }

是有穷数列”的一个真命题(不必证明)。

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