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上海市16区县2017届高三数学上学期期末考试试题分类汇编圆锥曲线


上海市各区县 2017 届高三上学期期末考试数学试题分类汇编 圆锥曲线
一、填空、选择题 1、 (宝山区 2017 届高三上学期期末)椭圆 ?

? x ? 5cos ? ( ? 为参数)的焦距为 ? y ? 4sin ?

2、 (崇明县 2017 届高三第一次模拟)抛物线 y ? x2 上一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的 纵坐标为 .

3、 (虹口区 2017 届高三一模)点 M (20,

40) ,抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,若


对于抛物线上的任意点 P , PM ? PF 的最小值为 41 ,则 p 的值等于

4、 (黄浦区 2017 届高三上学期期终调研)在直角坐标平面内,点 A, B 的坐标分别为

(? 1, 0), (1, 0) ,则满足 tan ?PAB ? tan ?PBA ? m(m 为非零常数)的点 P 的轨迹方程是
( )

y ? 1( y ? 0) m y2 ? 1( y ? 0) C. x 2 ? m
A. x 2 ?

2

y2 ?1 m y2 ?1 D. x 2 ? m
B. x 2 ?

5、 (静安区 2017 届向三上学期期质量检测) 已知椭圆 C1 , 抛物线 C2 焦点均在 x 轴上,C1 的 中心和 C2 顶点均为原点 O ,从每条曲线上各取两个点,将其坐标记录于表中,则 C1 的左焦 点 到 C2 的 准 线 之 间 的 距 离 为 【 】

x
y

3

?2
0

4

2
2 2

A. 2 ? 1 ; B. 3 ? 1 ; C.1; D.2.

?2 3

?4

6、 (闵行区 2017 届高三上学期质量调研)已知 x, y 满足曲线方程 x ?
2

1 ? 2 ,则 x 2 ? y 2 y2

的取值范围是____________. 7、 (浦东新区 2017 届高三上学期教学质量检测)过双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点 F 作一 a2 4

条垂直于 x 轴的垂线交双曲线 C 的两条渐近线于两点 A、B , O 为坐标原点,则 ?OAB 的 面积的最小值为____________.

1

8、 (普陀区 2017 届高三上学期质量调研)设 k ? R,若

y2 x2 ? ? 1表示焦点在 k k ?2

y 轴上的双曲线,则半焦距的取值范围是

.

9、 (青浦区 2017 届高三上学期期末质量调研) 等轴双曲线 x2 ? y 2 ? a 2 与抛物线 y 2 ? 16 x 的 准线交于 A、B 两点,且 AB ? 4 3 ,则该双曲线的实轴长等于 .

10、 (松江区 2017 届高三上学期期末质量监控)设 P( x, y) 是曲线 C : 点, F 1 (?4,0), F 2 (4,0) ,则 | PF 1 | ? | PF2 | 的最大值= ▲ .

x2 y2 ? ? 1 上的 25 9

11、 (徐汇区 2017 届高三上学期学习能力诊断)已知抛物线 C 的顶点在平面直角坐标系原 点,焦点在 x 轴上,若 C 经过点 M (1,3) ,则其焦点到准线的距离为____________. 12、 (杨浦区 2017 届高三上学期期末等级考质量调研) 若双曲线的一条渐近线为 x ? 2 y ? 0 , 且双曲线与抛物线 y ? x2 的准线仅有一个公共点,则此双曲线的标准方程为_________. 13、 (奉贤区 2017 届高三上学期期末)若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆 焦点重合,则 p ? ____________. 14、 (金山区 2017 届高三上学期期末)点 (1, 0) 到双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的右 5

x2 ? y 2 ? 1的渐近线的距离是 4

二、解答题 1、 (宝山区 2017 届高三上学期期末) 已知椭圆 C 的长轴长为 2 6 , 左焦点的坐标为 (?2, 0) ; (1)求 C 的标准方程; (2)设与 x 轴不垂直的直线 l 过 C 的右焦点,并与 C 交于 A 、 B 两点,且 | AB |? 6 , 试求直线 l 的倾斜角;

2

2、 (崇明县 2017 届高三第一次模拟) 已知点 F1 、 F2 为双曲线 C : x 2 ? 右焦点,过 F2 作垂直于 x 轴的直线, 在 x 轴上方交双曲线 C 于点 M,且 ?MF1 F2 ? 30? . (1)求双曲线 C 的方程;

y2 ? 1 (b ? 0) 的左、 b2

(2)过双曲线 C 上任意一点 P 作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为 P1 、 P2 ,

??? ? ???? 求 PP 1 ? PP 2 的值.

3、 (虹口区 2017 届高三一模)椭圆 C : 为 F (1,

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 过点 M (2, 0) ,且右焦点 a 2 b2

0) ,过 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点.设点 P(4, 3) ,记 PA 、 PB 的

斜率分别为 k1 和 k2 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)如果直线 l 的斜率等于 ?1 ,求出 k1 ? k2 的值; (3)探讨 k1 ? k2 是否为定值?如果是,求出该定值;如果不是,求出 k1 ? k2 的取值范围.

4、 (黄浦区 2017 届高三上学期期终调研)已知双曲线 C 以 F1 (?2,0)、F2 (2,0) 为焦点,且过

12) . 点 P(7,
(1)求双曲线 C 与其渐近线的方程;

??? ? ??? ? (2)若斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C 相交于 A, B 两点,且 OA ? OB ( O 为坐标原点).求直
线 l 的方程.

3

5、 (静安区 2017 届向三上学期期质量检测)设双曲线 C : 两个焦点.

x2 y 2 ? ? 1 , F1 , F2 为其左右 2 3

(1) 设 O 为坐标原点, M 为双曲线 C 右支上任意一点,求 OM ? F1 M 的取值范围; (2) 若动点 P 与双曲线 C 的两个焦点 F1 , F2 的距离之和为定值,且 cos ?F 1PF2 的最小 值为 ?

1 ,求动点 P 的轨迹方程. 9

6、 (闵行区 2017 届高三上学期质量调研)如图,椭圆 x 2 ?

y2 ? 1 的左、右顶点分别为 A 、 4

B ,双曲线 ? 以 A 、 B 为顶点,焦距为 2 5 .点 P 是 ? 上在第一象限内的动点,直线 AP
与椭圆相交于另一点 Q ,线段 AQ 的中点为 M ,记直线 AP 的斜率为 k , O 为坐标原点. (1)求双曲线 ? 的方程; (2)求点 M 的纵坐标 yM 的取值范围; (3)是否存在定直线 l ,使得直线 BP 与直线 OM 关于直线 l 对称?若存在,求直线 l 的 方程;若不存在,请说明理由.

7、 (浦东新区 2017 届高三上学期教学质量检测)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、 a 2 b2

右焦点分别为 F1、F2 ,过 F2 的一条直线交椭圆于 P、Q 两点,若 ?PF 1F 2 的周长为

4 ? 4 2 ,且长轴长与短轴长之比为 2 :1.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)若 F1 P ? F2Q ? PQ ,求直线 PQ 的方程.

???? ???? ?

??? ?

4

8、 (普陀区 2017 届高三上学期质量调研)已知椭圆 ? :

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、 a2 b2

右两个焦点分别为 F1 、 F2 , P 是椭圆上位于第一象限内的点, PQ ? x 轴,垂足为 Q , 且 F1 F2 ? 6 , ?PF1 F2 ? arccos (1)求椭圆 ? 的方程; (2) 若 M 是椭圆上的动点, 求 MQ 的最大值, 并求出 MQ 取得最大值时 M 的 坐标.

5 3 ,△ PF1 F2 的面积为 3 2 . 9

9、 ( 青 浦 区 2017 届 高 三 上 学 期 期 末 质 量 调 研 ) 如 图 , F1 , F2 分 别 是 椭 圆

C:

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的 左、 右焦点 ,且 焦距为 2 2 , 动 弦 AB 平行 于 x 轴 ,且 a 2 b2

F1 A ? F1B ? 4 .
(1)求椭圆 C 的方程; (2) 若点 P 是椭圆 C 上异于点 A 、B 的任意一点, 且直线 PA 、PB 分别与 y 轴交于点 M 、
5

N ,若 MF2 、 NF2 的斜率分别为 k1 、 k2 ,求证: k1 ? k2 是定值.

x2 y 2 10、 (松江区 2017 届高三上学期期末质量监控)已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 经过点 (2,3) ,两 a b
条渐近线的夹角为 60 ? ,直线 l 交双曲线于 A 、 B 两点. (1)求双曲线 C 的方程; (2)若 l 过原点, P 为双曲线上异于 A 、 B 的一点,且直线 PA 、 PB 的斜率 k PA 、 k PB 均 存在, 求证: kPA ? kPB 为定值;

l (3)若 l 过双曲线的右焦点 F 1 ,是否存在 x 轴上的点 M (m, 0) ,使得直线 绕点 F 1 无论
怎样转动,都有 MA ? MB ? 0 成立?若存在,求出 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

???? ????

11、 (徐汇区 2017 届高三上学期学习能力诊断)如图:双曲线 ? : 点分别为 F1 , F2 ,过 F2 作直线 l 交 y 轴于点 Q .

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦 3

l (1)当直线 l 平行于 ? 的一条渐近线时,求点 F 1 到直线 的距离;
(2)当直线 l 的斜率为 1 时,在 ? 的右支上 是否存在点 P ,满足 F ? 0 ?若存在, 1 P ? FQ 1 ... 求出 P 点的坐标;若不存在,说明理由; (3)若直线 l 与 ? 交于不同两点 A、B ,且 ? 上存在一点 M ,满足 OA ? OB ? 4OM ? 0 (其中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的方程.

???? ????

??? ? ??? ?

???? ?

?

6

12、 (杨浦区 2017 届高三上学期期末等级考质量调研)如图所示,椭圆 C:

x2 ? y 2 ? 1,左 4

右焦点分别记作 F1 、 F2 ,过 F1 、 F2 分别作直线 l1 、 l2 交椭圆于 AB 、 CD ,且 l1 ? l2 . (1)当直线 l1 的斜率 k1 与直线 BC 的斜率 k2 都存在时,求证: k1 ? k2 为定值; (2)求四边形 ABCD 面积的最大值.

13、 (奉贤区 2017 届高三上学期期末) 过双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的右支上的一点 P 作一直线 l 与 4

两渐近线交于 A 、 B 两点,其中 P 是 AB 的中点. (1)求双曲线的渐近线方程; (2)当 P?x0 ,2? ,求直线 l 的方程; (3)求证: OA ? OB 是一个定值.

参考答案: 一、填空、选择题

7

x2 y 2 ? ? 1 ,所以,c= 25 ? 16 =3,所以,焦距为 2c=6。 1、解析:消去参数 ? 得: 25 16
2、

3 4

3、 42 或 22

4、C

5、B

6、 ? , ?? ?

?1 ?2

? ?

7、8

8、 【解析】若

y2 x2 ? ? 1表示焦点在 y 轴上的双曲线, k k ?2
,可得 k>2,半焦距 c= = .

可得

则半焦距的取值范围是: ( ,+∞) . 故答案为: ( ,+∞) . 9、4 10、10 11、

9 2

12、 16 y 2 ? 4 x2 ? 1

13、4

14、

5 5

二、解答题 1、

8

2 2 2、解: (1)设 F2 , M 的坐标分别为 ( 1 ? b , 0), ( 1 ? b , y0 )

因为点 M 在双曲线上,所以 1 ? b ?
2

y0 2 ? 1,所以 | MF2 |? b2 ...........2 分 2 b

Rt? MF1F2 中,因为 ?MF1F2 ? 30? ,所以 | MF1 |? 2b2 ,...........5 分
2 由双曲线定义,得: | MF 1 | ? | MF 1 |? b ? 2 ...........5 分

y2 ? 1...........6 分 所以双曲线的方程为: x ? 2
2

(2)由(1)知,双曲线的两条渐近线分别为 l1 : 2x ? y ? 0, l2 : 2x ? y ? 0 .......8 分 设 P( x1 , y1 ) , 则 P 到两条渐近线的距离分别为 | PP 1 |?

| 2 x1 ? y1 | 3

, | PP2 |?

| 2 x1 ? y1 | 3

.......10 分

设两条渐近线的夹角为 ? ,则两个向量夹角也为 ? ,其中 cos ? ? 又点 P 在双曲线 x ?
2

1 ..........12 分 3

y2 ? 1上,所以 2x12 ? y12 ? 2 2

9

??? ? ???? ??? ? ???? 2 所以 PP ..................................14 分 1 ? PP 2 ?| PP 1 | ? | PP 2 | cos? ? 9
3、解: (1)? a ? 2 ,又 c ? 1 ,? b ? a2 ? c2 ? 3 ,? 椭圆方程为 4分

x2 y 2 ? ? 1… 4 3

( 2 ) 直 线 l : y ? ? x ? 1 , 设 A( x1 ,

? y ? ?x ?1 ? 消 y 得 y1 ) 、 B( x2 , y2 ) , 由 ? x 2 y 2 ? ? 1 ? 3 ?4

7 x 2 ? 8x ? 8 ? 0 ,有 x1 ? x2 ?

8 8 , x1 ? x2 ? ? .………………7 分 7 7

k1 ? k2 ?


y1 ? 3 y2 ? 3 ? x1 ? 2 ? x2 ? 2 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 1 ? ? ? ? ? ……………… 9 x1 ? 4 x2 ? 4 x1 ? 4 x2 ? 4 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16 2

(3)当直线 AB 的斜率不存在时,不妨设 A(1,

3 3 ) , B(1, ? ) , 2 2

3 3 3? 1 2 ? ,k ? 2 ? 3 ,故 k ? k ? 2 .…………11 分 则 k1 ? 1 2 1 4 ?1 2 4 ?1 2 3?
当直线 AB 的斜率存在时,设其为 k ,则直线 AB : y ? k ( x ? 1) ,设 A( x1 ,

y1 ) ,

B( x2 ,

y2 ) .

? y ? k ( x ? 1) 8k 2 ? 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 消 y 得 (4k ? 3) x ? 8k x ? (4k ?12) ? 0 , 有 x1 ? x2 ? , 2 4 k ? 3 ? ? 1 ? ?4 3
x1 ? x2 ? 4k 2 ? 12 .………………13 分 4k 2 ? 3

k1 ? k2 ?

y1 ? 3 y2 ? 3 kx1 ? k ? 3 kx2 ? k ? 3 2kx1 x2 ? (5k ? 3)( x1 ? x2 ) ? 8(k ? 3) ? ? ? ? x1 ? 4 x2 ? 4 x1 ? 4 x2 ? 4 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16

?

2k ?

4k 2 ? 12 8k 2 ? (5 k ? 3) ? ? 8(k ? 3) 72(k 2 ? 1) 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 ? ? 2 ……………16 分 4k 2 ? 12 8k 2 36(k 2 ? 1) ? 4? 2 ? 16 4k 2 ? 3 4k ? 3
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,半焦距为 c , a 2 b2

4、解: (1)设双曲线 C 的方程为

2 2 2 2 a ?1, 则 c ? 2 , 2a ?|| PF 1 | ? | PF 2 ||?| 9 ? 12 ? 5 ? 12 |? 2 ,

……………2 分

所以 b 2 ? c 2 ? a 2 ? 3 ,
10

故双曲线 C 的方程为 x 2 ?

y2 ? 1. 3
2

……………………………4 分 ……………………………6 分

双曲线 C 的渐近线方程为 y ? ? 3x . (2)设直线 l 的方程为 y ? x ? t ,将其代入方程 x 2 ? 可得 2 x 2 ? 2tx ? t 2 ? 3 ? 0 (*)

y ? 1, 3
……………………………8 分

? ? 4t 2 ? 8(t 2 ? 3) ? 12t 2 ? 24 ? 0 , 若设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , t2 ? 3 则 x1 , x2 是方程(*)的两个根,所以 x1 ? x2 ? t , x1 x2 ? ? , 2 ??? ? ??? ? 又由 OA ? OB ,可知 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , ……………………………11 分
即 x1 x2 ? ( x1 ? t )( x2 ? t ) ? 0 , 可得 2 x1 x2 ? t ( x1 ? x2 ) ? t 2 ? 0 , 故 ?(t 2 ? 3) ? t 2 +t 2 ? 0 ,解得 t ? ? 3 , 所以直线 l 方程为 y ? x ? 3 . 5、 (1)设 M ? x, y ? , x ? …………………………14 分

2 ,左焦点 F1 (? 5,0) ,

???? ? ????? OM ? F1M ? ( x, y) ? ( x ? 5, y)
? x2 ? 5x ? y 2 ? x2 ? 5x ? 3x 2 ? 3 ……………………………4 分 2

?

5 2 5 x ? 5 x ? 3 ( x ? 2 )对称轴 x ? ? ? 2 2 5

???? ? ????? OM ? F1M ? ? ? 2 ? 10, ??

?

……………………………3 分

(2)由椭圆定义得: P 点轨迹为椭圆
2 2

x2 y 2 ? ? 1 , F1F2 ? 2 5 , PF1 ? PF2 ? 2a a 2 b2

cos ?F1 PF2 ?

PF1 ? PF2 ? 20 2 PF1 ? PF2

?

4a 2 ? 2 PF1 ? PF2 ? 20 2 PF1 ? PF2
……………………………4 分

?

4a ? 20 ?1 2 PF1 ? PF2
2

由基本不等式得 2a ? PF1 ? PF2 ? 2 当且仅当

PF1 ? PF2 ,

PF1 ? PF2 时等号成立
2

4a 2 ? 20 1 ? 1 ? ? ? a 2 ? 9 , b2 ? 4 PF1 ? PF2 ? a ? cos ?F1PF2 ? 2 2a 9 2 2 x y ? ?1 所求动点 P 的轨迹方程为 ……………………………3 分 9 4
6、[解]

11

x2 y 2 (1)设双曲线 ? 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,双曲线的焦距为 2c ;………2 分 a b
依题意可得 A ? ?1,0? , B ?1,0 ? ,

a ? 1, c ? 5 ;
?b2 ? c 2 ? a 2 ? 5 ? 1 ? 4

y2 ?1 ? 双曲线 ? 的方程为 x ? 4
2

…………………………4 分

(2) 由题意可知,直线 AP, BP, OM 的斜率皆存在,且不为零. 设点 P ? x1 , y1 ? 、 Q ? x2 , y2 ? , 直线 AP 的方程为 y ? k ? x ? 1? ( 0 ? k ? 2 )

? y ? k ? x ? 1? ? 2 2 2 2 联立方程组 ? 整理,得 ? 4 ? k ? x ? 2k x ? k ? 4 ? 0 , y2 2 ?1 ?x ? ? 4
解得, x ? ?1 或 x ?

………6 分

4 ? k2 4 ? k2 ? x ? , , 2 4 ? k2 4 ? k2
? ?, ?
………8 分

得Q?

? 4 ? k 2 8k ? ? ?k 2 4k , M , , ? 2 2 ? 2 2 ? 4?k 4?k ? ? 4?k 4?k

因为 0 ? k ? 2 , yM ?

4k 4 在 ? 0, 2 ? 上是增函数,所以 yM ? ? 0,1? ………10 分 ? 2 4 4?k k? k

(或者 yM ?

4k 4 4 ? ? ? 1 ,当且仅当 k ? 2 时取等号,所以 yM ? ? 0,1? ) 2 4 4?k 4 k? 2 k? k k
4 x k
………………12 分

(3)方法一:由题(2)知直线 OM 的方程为: y ? ?

? y ? k ? x ? 1? 4 ? k2 ? 2 x ? 同理,解方程组 ? ,可得 , 1 y 2 4 ? k2 ?1 ?x ? ? 4
得点 P 的坐标为 ?

? 4 ? k 2 8k ? , 2 2 ? ? 4?k 4?k ?

直线 BP 的斜率 k BP ?

y1 4 ? x1 ? 1 k

12

直线 BP 的方程为: y ?

4 ? x ? 1? , k 1 , 2

…………………………14 分

联立直线 BP 与直线 OM 的方程,解得 x ?

因 为 直 线 BP 与 OM 的 斜 率 互 为 相 反 数 , 所 以 直 线 BP 与 OM 关 于 直 线 x ? 称. 方法二:由 P ? x1 , y1 ? 在双曲线上可得: 所以 k AP ? kBP ? 4 同理 k AQ ? kBQ ? ?4 ,即 k AP ? kOM ? ?4 , 因此 kOM ? kBP ? 0 设直线 OM : y ? k ?x ,则直线 BP : y ? ?k ? ? x ?1? ,解得 x ? …………………………16 分

1 对 2

y1 y ? 1 ?4 1? x 1? x1
…………………………12 分 …………………………14 分

1 2 1 对 2

因 为 直 线 BP 与 OM 的 斜 率 互 为 相 反 数 , 所 以 直 线 BP 与 OM 关 于 直 线 x ? 称. 7、解: (1)由条件可知: 2a ? 2c ? 4 ? 4 2 , a : b ? ∵a ?b ?c ,
2 2 2

…………………………16 分

2 :1 ,

解得: a ? 2 2, b ? 2, c ? 2 ,……………………………4 分 所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 …………………………6 分 8 4

(2)设直线 PF2 的方程为: x ? ty ? 2, P ? x1, y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ; 因为 F 1P ? F 2Q ? FO 1 ? OP ? F 2O ? OQ ? OP ? OQ , 所以 OP ? OQ ? PQ ,所以 OP ? OQ ,所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 …………………………9 分

???? ???? ? ???? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ??? ?
??? ? ???? ??? ?

? x2 y 2 ?1 ? ? ? ? t 2 ? 2 ? y 2 ? 4ty ? 4 ? 0 , 4 ?8 ? x ? ty ? 2 ?
y1 ? y2 ? ?4t ?4 , y1 y2 ? 2 ……………………………11 分 t ?2 t ?2
2

13

x1 ? x2 ? y1 y2 ? ? t 2 ? 1? y1 y2 ? 2 ? t 4 ? 1? y1 y2
解得: t ?
2

1 2 ………………………………………13 分 ,t ? ? 2 2

所以直线 PQ 的方程为 2x ? y ? 2 2 ? 0 …………………………………14 分 8、 【解】 (1)在△ PF1 F2 中,由 ?PF 1F2 ? arccos

5 3 9

得 cos?PF1 F2 ? 因 为 △

5 3 6 sin ?PF1 F2 ? 9 9
的 面 积 为

PF1 F2

3 2



F1 F2 ? 6 , 所 以

1 F1 F2 ? PF1 ? s i?PF n 1 F2 ? 3 2 . 2
解 得 PF1 ? 3 3 ……2 分 在 △ PF1 F2 中 , 由 余 弦 定 理 得 ,

PF2

2

? PF1 ? F1 F2 ? 2 PF1 ? F1 F2 ? cos ?PF1 F2 , 所 以 PF2

2

2

2

?3 , 故

PF2 ? 3 ,
于 是 2a ? PF1 ? PF2 ? 4 3 , 故 a ? 2 3 ……4 分 , 由 于 c ? 3 , 所 以

b ? 3,
故椭圆 ? 的方程为

x2 y2 ? ?1 12 3
1 ? F1 F2 ? y0 ? 3 2 ,故 y0 ? ? 2 , 由于 2

( 2)设 P?x0 , y0 ? ,根据题意可知

y0 ? 0 ,所以 y0 ? 2 ……7 分,将 y0 ? 2 代入椭圆方程得,

x0 2 ? ? 1 ,解得 12 3

2

x0 ? ?2 ,由于 x0 ? 0 ,所以 x0 ? 2 ,故 Q 的坐标为 ?2,0? ……8 分 令 M ?x, y ? ,


x2 y2 x2 ? ? 1 ,所以 y 2 ? 3 ? 4 12 3
MQ ? ? x ? 2 ? ? y 2 ?
2 2

3 2 3? 8? 5 x ? 4x ? 7 ? ? x ? ? ? , 4 4? 3? 3
2

2

其中 ? 2 3 ? x ? 2 3 ……11 分,所以当 x ? ?2 3 时, MQ 的最大值为
14

16 ? 8 3 ,故 MQ 的最大值为 2 3 ? 1 …13 分,此时点 M 的坐标为 ? 2 3,0 .
9、解:因为焦距 2 2 ,所以 2c ? 2 2 ? c ? 2 , 由椭圆的对称性及已知得 F 1A ? F 2 B ,又因为 F 1A ? F 1B ? 4 ,所以 F 1B ? F 2B ? 4 , 因此 2a ? 4, a ? 2 , 于是 b ?

?

?

?

?

2 ,因此椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1; 4 2

(2)设 B( x0 , y0 ), P( x1, y1) ,则 A(? x0 , y0 ) 直线 PA 的方程为 y ? y1 ?

y1 ? y0 x y ?x y ( x ? x1 ) ,令 x ? 0 得 y ? 1 0 0 1 , x1 ? x0 x1 ? x0

故 M (0,

x1 y0 ? x0 y1 ); x1 ? x0 y1 ? y0 x y ?x y ( x ? x1 ) ,令 x ? 0 得 y ? 1 0 0 1 , x1 ? x0 x1 ? x0

直线 PB 的方程为 y ? y1 ?

故 N (0,

x1 y0 ? x0 y1 ); x1 ? x0

2 2 2 ? x0 y1 1 x12 y0 , k2 ? ? 所以 k1 ? ? ,因此 k1 ? k2 ? ? ; 2 2 2 x1 ? x0 ) 2( x1 ? x0 ) 2( x1 ? x0 )

x1 y0 ? x0 y1

x1 y0 ? x0 y1

因为 A, B 在椭圆 C 上,所以 y1 ? 2 ?
2

x2 x12 2 , y0 ? 2 ? 0 , 2 2

所以 k1 ? k2 ?

1 ? 2

x12 (2 ?

1 2 1 2 x0 ) ? x0 (2 ? x12 ) 2 2 ?1 2 2 x1 ? x0

?4 9 ? ?1 ? ? a 2 b2 10、解: (1)由题意得 ? ? b? 3 ? ? a 2 ?a ? 1 解得 ? 2 ?b ? 3
∴双曲线 C 的方程为 x ?
2

……………2 分

……………3 分

y2 ? 1. ……………4 分 3 (2)证明:设 A 点坐标为 A( x0 , y0 ) ,则由对称性知 B 点坐标为 B(? x0 , ? y0 ) …………5


15

设 P( x, y) ,则 kPA ? kPB ?

2 y ? y0 y ? y0 y 2 ? y0 ? ? 2 2 x ? x0 x ? x0 x ? x0

……………7 分

? 2 x ? ? ? 0 ? ? x2 ? ? ?

2 y0 ?1 3 y2 ?1 3

2 2 得 y2 ? y0 ? 3( x2 ? x0 )

……………8 分

所以 kPA ? kPB ?

(3)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 2) , 与双曲线方程联立消 y 得 (k 2 ? 3) x 2 ? 4k 2 x ? 4k 2 ? 3 ? 0 ,

2 y 2 ? y0 ?3 2 x2 ? x0

……………10 分

∴?

?k 2 ? 3 ? 0 ? ??0



k2 ? 3 且

? 4k 2 x ? x ? ? ? 1 2 k2 ?3 ? 2 ? x ? x ? 4k ? 3 ? 1 2 k2 ?3 ?

……………12 分

设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ∵ MA ? MB ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? y1 y2

??? ? ????

? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? k 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (2k 2 ? m)( x1 ? x2 ) ? m 2 ? 4k 2 (k 2 ? 1)(4k 2 ? 3) 4k 2 (2k 2 ? m) ? ? ? m 2 ? 4k 2 2 2 k ?3 k ?3 2 3 ? (4m ? 5)k ? ? m2 ……………………14 分 2 k ?3 ???? ???? 假设存在实数 m ,使得 MA ? MB ? 0 , 2 故得 3(1 ? m2 ) ? k 2 (m2 ? 4m ? 5) ? 0 对任意的 k ? 3 恒成立,
2 ? ?1 ? m ? 0 ,解得 m ? ?1. 2 m ? 4 m ? 5 ? 0 ? ? ???? ???? ? ∴当 m ? ?1 时, MP ? MQ ? 0 . 当直线 l 的斜率不存在时,由 P(2,3), Q(2, ?3) 及 M (?1, 0) 知结论也成立 ???? ???? 综上,存在 m ? ?1 ,使得 MA ? MB ? 0 . ………………………………… 16

∴?

分 11、解: (1)易得 F 1 (?2,0) , F2 (2,0) , ? 的渐近线方程为 y ? ?

3 x ,由对称性, 3

不妨设 l : y ?

3 ( x ? 2) ,即 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,------------------2 分 3

l 所以, F 1 (?2,0) 到 的距离 d ?

| ?2 ? 2 | 1? 3

? 2 .-----------------------------4 分

16

(2)当直线 l 的斜率为 1 时, l 的方程为 y ? x ? 2 ,------------------------5 分 因此, Q (0, ?2) , -----------------------------6 分 又F ? (2, ?2) , 1 (?2,0) ,故 FQ 1 设 ? 右支上的点 P 的坐标为 ( x, y), ( x ? 0) ,则 F , 1 P ? ( x ? 2, y) -----------------------8 分 由F ? 0 ,得 2( x ? 2) ? 2 y ? 0 , 1 P ? FQ 1 又
2 x2 ? y 2 ? 1 ,联立消去 y 得 2 x ? 12 x ? 15 ? 0 , 3

????

????

???? ????

由根与系数的关系知,此方程无正根, 因 此 , 在 双 曲 线 ? 的 右 支 上 不 存 在 点 P , 满 足 F ?0 . 1 P ? FQ 1 --------------------10 分 (3)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 M (

???? ????

? x1 ? x2 ? y1 ? y2 , ) , ----------------11 分 4 4

? x1 ? x2 2 ) ?y ? y 4 由 M 点在曲线上,故 ? ( 1 2 )2 ? 1(*) 3 4 (
设 l : y ? k ( x ? 2) 联 立

l



?











(1 ? 3k 2 ) x2 ? 12k 2 x ? 12k 2 ? 3 ? 0 ---------------------------12 分
由于 l 与 ? 交于不同两点,所以, k ? ?

3 . 3

所以, x1 ? x2 ? 因 此 ,

?12k 2 , 1 ? 3k 2
y1 ? y ? 2 k(x ? ?2 1k x ) ? ? k( x ? k )? 2 ? x 2 ?4k ( 1 ? 3k 2
1 2

.

)

4

------------14 分

?12k 2 2 ?4k 2 ) ? 3( ) ? 48 , 从而(*)即为 ( 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2
解得 k ? ?

2 . 2
17





线

l









x ? 2y ? 2 ? 0

.

-------------------------------------------16 分

12、证明: (1)设 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) , 根据对称性,有 C(? x1, ? y1 ) 因为 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) 都在椭圆 C 上
F1 O F2 x A y D

所以

x x 2 ? y12 ? 1, ? y2 ?1 4 4
2 x12 ? x2 2 ? y12 ? y2 ?0 4

2 1

2 2

(2 分)

B C

二式相减,

2 2 所以 k1 ? k2 ? y2 ? y1 ? y2 ? y1 ? y2 ? y1 ? ? 1 为定值(4 分) 2 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x12 4

(2) (Ⅰ)当 l1 的倾角为 0? 时, l1 与 l2 重合,舍(6 分) (Ⅱ)当 l1 的倾角不为 0? 时,由对称性得四边形 ABCD 为平行四边形

F1 (? 3, 0)
代入

设直线 l1 的方程为 x ? my ? 3

x2 2 2 ? y 2 ? 1,得 (m ? 4) y ? 2 3my ?1 ? 0 (8 分) 4

显然 ? ? 0 , y1 ? y2 ? 所以 S△OAB ?

2 3m ?1 , y1 ? y2 ? 2 2 m ?4 m ?4

1 3 2 3m 2 ?1 m2 ? 1 (10 分) ? 3? | y1 ? y2 |? ? ( 2 ) ? 4? 2 ? 2 3? 2 2 m ?4 m ?4 (m 2 ? 4) 2

设 m2 ? 1 ? t ,所以 m2 ? t ? 1 , t ? (1, ? ?) ,
2 t 1 1 (12 分) 所以 m ? 1 ? ? ≤ 2 2 2 9 (m ? 4) t ? 6t ? 9 t ? ? 6 12 t

当且仅当 t ?

9 即 m ? ? 2 时等号成立。 t

所以 ( S△OAB )max ? 2 3 ?

1 ? 1, 12

所以平行四边形面积的最大值为 (S ABCD )max ? 4 ? (S△OAB )max ? 4 , (14 分)

y2 ?0 13、解(1)令 x ? 4
2

得 y ? ?2 x

18

所以双曲线的渐近线方程为 y ? ?2 x (2)因为 P 在双曲线上,所以 x0 ?
2

3分

4 ? 1 , x0 ? ? 2 , 4
5分

又因为 P 在双曲线右支,所以 x0 ? 2 设直线 l : y ? 2 ? k ( x ? 2)

? y ? 2 ? k ( x ? 2) ? 联立方程组 ? 消 元 得 ( 4? k 2 )x2 ? 2( 2 ? y2 2 ?1 ?x ? ? 4
6分 又因为 x1 ? x2 ? 得k ? 2 2 所以直线 l : y ? 2 2 x ? 2 当 k 不存在时, x ?

2 k kx ) ? 4 ? (2 ?

k 22 )? 0

2(2 ? 2k )k ?2 2 , 4 ? k2

7分 8分 9分 10 分

2 与渐近线的交点的中点为 ( 2,0) 不合题意

所以直线 l 的方程为 y ? 2 2x ? 2 (3)设直线 l 与渐近线 y ? 2 x 与 y ? ?2 x 分别交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 所以 AB 中点 P(

x1 ? x2 y1 ? y2 x ?x , ) ,即 P( 1 2 , x1 ? x2 ) 2 2 2
2 2

12 分

x ?x ? x ? x ? ?x ? x ? P( 1 2 , x1 ? x2 ) 在双曲线上, ? 1 2 ? ? 1 2 ? 1 2 4 ? 2 ?
得 x1 x2 ? 1 又因为 OA ? OB = 解法 2: 当直线斜率不存在时, x0 ? 1 , A?1,2? , B ?1, ?2? , OA ? OB ? 5 当直线斜率存在时,设直线 l : y ? 2 ? k ( x ? 2) 11 分

13 分 14 分

5 | x1 | ? 5 | x2 |? 5| x1x2 |? 5 为定值

16 分

? y ? 2 ? k ( x ? 2) ? ? ? ? y ? 2x

? kx ? y0 2kx0 ? 2 y0 ? A? 0 , ?, k ?2 ? ? k ?2
12 分

? kx ? y0 2kx0 ? 2 y0 ? B? 0 , ? k ?2 ? ? k ?2
若 P 是 AB 的中点.

kx0 ? y0 kx0 ? y0 4x ? ? 2 x0 ,? k ? 0 k ?2 k ?2 y0

13 分

19

OA ? 1 ? 4 xA ? 5 OB ? 1 ? 4 xA ? 5
OA ? OB ? 5

kx0 ? y0 k ?2 kx0 ? y0 k ?2
2

14 分

15 分

kx0 ? y0 k2 ? 4

?? ? 5

16 分

20


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