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2017-2018学年江苏省如东高级中学高二上学期期中考试数学试题(解析版)

2017-2018 学年江苏省如东高级中学高二上学期期中考试数 学试题 一、填空题 1.命题:“ ?x ? R , ax ? 2 ? 0 ”的否定为__________. 【答案】 ?x ? R , 【解析】 由题意得,根据全称命题与特称命题的关系可知, 命题“ ?x ? R, ax ? 2 ? 0 ”的否定为“ ?x ? R, ax ? 2 ? 0 ” 2.不等式 1 ? 1 的解集是__________. x 【答案】 ? 0, 1 ? 1 x ?1 ? ? 0 ,所以不等式的解集为 ? 0,1? . x x 【解析】 由题意得,不等式可化为 1 ? 3 . 已 知 数 列 ?an ? 的 前 __________. 【答案】 n 项 和 为 Sn , 且 2S3 ? 3a3 ? 10 , 则 数 列 ?an ? 的 首 项 为 10 3 【解析】 设等差数列的首项为 a1 ,公差为 d , 由 2S3 ? 3a3 ? 10 , 得 2 ? a1 ?a1 ?d ?a 1? d 2 ? 2 ?? a 31 ? 1 0 ? 3a?1? d ,所以 a1 ? 10 . 3 4.关于 x 的不等式 x ? m ? 1 成立的充分不必要条件是 1 ? x ? 4 ,则实数 m 的取值范 围是__________. 【答案】 ? 【解析】 由题意得,不等式 x ? m ? 1 的解集为 m ? 1 ? x ? m ? 1 , 要使得不等式 x ? m ? 1 成的充分不必要条件是 1 ? x ? 4 , 则{ m ?1 ? 1 m ?1 ? 4 ,解得 { m?2 m?3 ,所以不存在这样的实数 m ,所以实数 m 的取值范围为 ?. 5.若正项等比数列 ?an ? 满足 a2015 ? a2017 ? 4 ,则 a2016 的最大值为__________. 【答案】2 【 解 析 】 根 据 等 比 中 项 可 知 a2016 ? a2015 a2017 ? a2015 ? a2017 ? 2 ,当且仅当 2 a2 0 1 5 ?a 时,等号成立,所以 20 17 a2016 的最小值为 2 . 第 1 页 共 16 页 x? y ?3? 0 6.若直线 y ? ax 上存在点 ? x, y ? 满足条件 { x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则实数 a 的取值范围为 x ?1 __________. 【答案】 ?1, 2 ? ? 【解析】 作出约束条件所表示的平面区域,如图所示, 因为 y ? ax 过坐标原点,其中 a 表示直线的斜率, 所以可行域内 A 能使得斜率 a 取得最大值,可行域内 B 能使得斜率 a 取得最小值, 由{ x ? y ?3 ? 0 ,解得 A ?1, 2 ? ,此时 amax ? 2 , x ?1 ,解得 B ?1, ?1? ,此时 amin ? ?1 , 由{ x ? 2y ? 3 ? 0 x ?1 所以实数 a 的取值范围是 ?1, 2 . ? ? 7.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a3 ? 【答案】 1 或 ? 3 9 , S3 ? ,则公比 q =________. 2 2 1 2 3 9 , S3 ? , 2 2 9 3 ①当 q ? 1 时, S3 ? ? ? 3 ,满足条件。 2 2 【解析】∵ a3 ? a1 ? 6 ②当 q ? 1 时,可得 { .解得 { 1 . a1 ? q3 ? 1? 9 q?? ? 2 q ?1 2 综上可知: q ? 1 或 ? a1q 2 ? 3 2 1 . 2 点睛:等比数列求和公式中当 q ? 1 和 q ? 1 时,公式不一样,切勿用错. 当 q ? 1 时, Sn ? na1 ; 第 2 页 共 16 页 当 q ? 1 时, S n ? a1 1 ? q n 1? q ? ?. Sn 3n ? 1 , ? Tn 4n ? 3 8.设 ?an ? 与 ?bn ? 是两个等差数列,它们的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn ,若 那么 a6 ? __________. b5 34 33 【答案】 【解析】 由等差数列的前 n 项和公式 Sn ? na1 ? 可设 Sn ? n ?3n ?1? , Tn ? n ? 4n ? 3? , n ? n ? 1? 2 d? d 2 ? d? n ? ? a1 ? ? n , 2 2? ? 则 a6 ? S6 ? S5 ? 34 , b5 ? T5 ? T4 ? 5 ?17 ? 5 ?13 ? 33 , 所以 a6 34 . ? b5 33 9.某种汽车购车时的费用为 10 万元,每年保险,养路费,汽油费共 1.5 万元,如果汽 车的维修费第 1 年 0.1 万元,从第 2 年起,每年比上一年多 0.2 万元,这种汽车最多使用 __________年报废量合算(即年平均费用最少). 【答案】10 【解析】 设这种汽车最多使用 x 年报废最合算, 用 x 年汽车的总费用为 10 ? 1.5 x ? x ? 0.1 ? 0.2 x ? 0.1? 2 ? 10 ? 1.5 x ? 0.1x 2 万元, 故 x 年汽车每年的平均费用为 y ? 0.1x ? 10 10 ? 1.5 ? 2 0.1x ? ? 1.5 ? 3.5 万元, x x 当且仅当 x ? 10 时等号成立,故汽车使用 10 年报废最合算. 10.下列说法中所有正确命题的序号是__________. 2 ①“ x ? 2 ”是“ x ? 4 ”成立的充分非必要条件; ② a 、 b ? R ,则“ ab ? 0 ”是“ b a ? ? 2 ”的必要非充分条件; a b ③若一个命题的逆命题为真,则它的否命题一定为真; ④设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,则“ a1