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2013江苏省南京高三数学第二次模拟考试试题

南京、淮安市 2013 届高三模拟考试(南京二模、淮安三模)

数学 2013.3
参考公式:锥体的体积公式为 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面面积,h 是锥体的高. 3

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. ....... 1.已知集合 A={ 2 ,3},B={2,3}.若 A ? B={1,2,3},则实数 a 的值为____. 2.函数 f ( x) ? sin x cos x 的最小正周期是__________. 3.若复数 z ?
a

1 ? mi ( i 是虚数单位)是纯虚数,则实数 m 的值为____. 2?i

4.盒子中有大小相同的 3 只白球、2 只黑球,若从中随机地摸出两只球,则两只球颜色相同的概 率是______. 5.根据 2012 年初我国发布的《环境空气质量指数 AQI 技术规定(试行),AQI 共 》 分为六级: (0,50] 为优, (50,100] 为良, (100,150] 为轻度污染, (150, 200] 为中 度污染, (200,300] 为重度污染,300 以上为严重污染.2012 年 12 月 1 日出版的 《A 市早报》对 A 市 2012 年 11 月份中 30 天的 AQI 进行了统计,频率分布直方图 如图所示,根据频率分布直方图,可以看出 A 市该月环境空气质量优、良的总天数 为____. 6.右图是一个算法流程图,其输出的 n 的值是_____. 7.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 3cm,圆心角为 高为___cm. 8.在平面直角坐标系 xOy 中,设过原点的直线 l 与圆 C: ( x ? 3) ? ( y ?1) ? 4 交于
2 2

2 ? 的扇形,则此圆锥的 3

M、N 两点,若 MN ? 2 3 ,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是______.
2 2 2 2 9.设数列{ an }是公差不为 0 的等差数列,S n 为其前 n 项和,若 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ,

S5 ? 5 ,则 a7 的值为_____.
x ?1 10.若函数 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? 3,则不等式

f ( x) ? 1 的解集为______________.
11.在 ?ABC 中,已知 AB=2,BC=3,?ABC ? 60? ,BD ? AC,D 为垂足,则 BD ? BC 的值为____. 12.关于 x 的不等式 (2ax ? 1) ln x ? 0 对任意 x ? (0, ??) 恒成立,则实数 a 的值为_____.

??? ??? ? ?

13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 .设过点 M(0,1)的直线 l 与双曲线 C 4 3

交于 A、B 两点,若 AM ? 2MB ,则直线 l 的斜率为_____. 14. 已知数列{ an }的通项公式为 an ? 7n ? 2 , 数列{ bn }的通项公式为 bn ? n2 . 若将数列{ an }, bn } { 中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{ cn },则 c9 的值为_____. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15. (本小题满分 14 分) ?ABC 中, 在 已知角 A, C 所对的边分别为 a, b, c , B, 且 (1)求 B; (2)若 tan( A ?

???? ?

????

?
4

cs C 2 a ? o c ? , cs B o b

) ? 7 ,求 cos C 的值.

16, (本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AD//BC,PB ? 平面 ABCD,CD ? BD,PB=AB=AD=1,点 E 在线段 PA 上,且满足 PE=2EA. (1)求三棱锥 E-BAD 的体积; (2)求证:PC//平面 BDE.

17. (本小题满分 16 分)如图,某广场中间有一块扇形绿地 OAB,其中 O 为扇形所在圆的圆心,

?AOB ? 60? ,广场管理部门欲在绿地上修建观光小路:在 ? 上选一点 C,过 C 修建与 OB 平 AB
行的小路 CD,与 OA 平行的小路 CE,问 C 应选在何处,才能使得修建的道路 CD 与 CE 的总长最大,并说明理由.

2 18.本小题满分 16 分) ( 已知数列 {an } 的各项都为正数, 且对任意 n ? N * , 都有 an?1 ? an an?2 ? k (k

为常数). (1)若 k ? (a2 ? a1 )2 ,求证: a1 , a2 , a3 成等差数列; (2)若 k=0,且 a2 , a4 , a 成等差数列,求 5 的值; (3)已知 a1 ? a, a2 ? b ( a , b 为常数),是否存在常数 ? ,使得 an ? an?2 ? ? an?1 对任意 n ? N * 都 成立?若存在.求出 ? ;若不存在,说明理由.

a2 a1

x2 y 2 19. (本小题满分 16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 a b
a a A( , ),B ( 3,1) . 2 2
(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上,F 为椭圆的左焦点,直线 l 的方程为 x0 x ? 3 y0 y ? 6 ? 0 . ①求证:直线 l 与椭圆 C 有唯一的公共点; ②若点 F 关于直线 l 的对称点为 Q,求证:当点 P 在椭圆 C 上运动时,直线 PQ 恒过定点,并求出 此定点的坐标.

20. (本小题满分 16 分)设函数 f ( x) ? x2 ? (a ? 2) x ? a ln x . (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数 a 的值; (3)若方程 f ( x) ? c 有两个不相等的实数根 x1 , x2 ,求证: f ?(

x1 ? x2 )?0. 2


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