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2018届高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明第二节一元二次不等式及其解法学案文

第二节 一元二次不等式及其解法 1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型. 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图. 知识点一 一元二次不等式的解法 判别式 Δ =b -4ac 二次函数 2 Δ >0 Δ =0 Δ <0 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 有两相异实根 x1, 有两相等实根 x1=x2 =- 2a __________ ax +bx+c=0 (a>0)的根 2 x2(x1<x2) __________ __________ ________ ________ 答案 b 没有实数根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 R ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 ____ ____ {x|x<x1 或 x>x2} {x|x≠- } 2a b -1- {x|x1<x<x2} ? ? 1.(2016·新课标全国卷Ⅲ)设集合 S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则 S∩T= ( ) A.[2,3] B.(-∞,2]∪[3,+∞) C.[3,+∞) D.(0,2]∪[3,+∞) 解析:集合 S=(-∞,2]∪[3,+∞),结合数轴,可得 S∩T=(0,2]∪[3,+∞). 答案:D x-1 2.不等式 ≤0 的解集为( 2x+1 ) ? 1 ? A.?- ,1? ? 2 ? ? 1 ? B.?- ,1? ? 2 ? 1? ? C.?-∞,- ?∪[1,+∞) 2? ? 1? ? D.?-∞,- ?∪[1,+∞) 2? ? ? 1 ? 解析:由数轴标根法可知原不等式的解集为?- ,1?,选 A. ? 2 ? 答案:A 3.设一元二次不等式 ax +bx+1>0 的解集为{x|-1<x<2},则 ab 的值为( A.1 C.4 2 2 ) 1 B.- 4 1 D.- 2 解析:因为一元二次不等式 ax +bx+1>0 的解集为 {x|-1<x<2}. 所以方程 ax +bx+1=0 的解为-1,2. 2 b 1 所以-1+2=- ,(-1)×2= . a a -2- 1 1 1 所以 a=- ,b= ,所以 ab=- . 2 2 4 答案:B 知识点二 2 一元二次不等式恒成立的条件 1.ax +bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是:______ (x∈R). 2.ax +bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是:______ (x∈R). 答案 ? ?a>0 1.? ?Δ <0 ? ? ?a<0 2.? ?Δ <0 ? 2 4.若不等式 mx +2mx+1>0 的解集为 R,则 m 的取值范围是________. 解析:①当 m=0 时,1>0 显然成立. ②当 m≠0 时,由条件知 ?m>0, ? ? 2 ? ?Δ =4m -4m<0. 2 得 0<m<1, 由①②知 0≤m<1. 答案:[0,1) 5.不等式 x +ax+4<0 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是________. 解析:∵不等式 x +ax+4<0 的解集不是空集,∴Δ =a -4×4>0,即 a >16, ∴a>4 或 a<-4. 2 2 2 2 答案:(-∞,-4)∪(4,+∞) 热点一 一元二次不等式的解法 【例 1】 解关于 x 的不等式: (1)-2x +4x-3>0; (2)12x -ax>a (a∈R); 2 2 2 -3- (3) a?x-1? >1(a>0). x-2 2 2 【解】 (1)原不等式可化为 2x -4x+3<0.又判别式 Δ =4 -4×2×3<0, ∴原不等式的解集为?. (2)由 12x -ax-a >0? (4x+a)(3x-a)>0? (x+ )(x- )>0, 4 3 ①当 a>0 时,- < ,解集为{x|x<- 或 x> }; 4 3 4 3 ②当 a=0 时,x >0,解集为{x|x∈R 且 x≠0}; ③当 a<0 时,- > ,解集为{x|x< 或 x>- }. 4 3 3 4 (3) 2 2 2 a a a a a a a a a a a?x-1? ?a-1?x+2-a -1>0? >0? [(a-1)x+2-a](x-2)>0. x-2 x-2 ①当 a=1 时,不等式的解为 x>2. ②当 a≠1 时,关键是(a-1)的符号和比较 ∵ a- 2 与 2 的大小. a- 1 a-2 -a -2= ,又 a>0. a-1 a-1 a-2 >2, a-1 a-2 ; a-1 ∴当 0<a<1 时, 不等式的解为 2<x< 当 a>1 时, a-2 <2, a-1 a-2 或 x>2. a-1 a-2 };当 a=1,原不等式的解集为 a-1 不等式的解为 x< 综上所述,当 0<a<1 时,原不等式的解集为{x|2<x< {x|x>2}; 当 a>1 时,原不等式的解集为{x|x< 【总结反思】 a-2 或 x>2}. a-1 (1)解决二次问题的关键:一是充分利用数形结合;二是熟练进行因式分解. (2)通过解题程序,适时合理地对参数进行分类讨论. (3)应善于把分式不等式转化为整式不等式. -4- 解下列不等式: (1)0<x -x-2≤4; (2)x -4ax-5a >0(a≠0). 解:(1)原不等式等价于 ?x -x-2>0, ? ? 2 ?x -x-2≤4 ? 2 2 2 2 ?x -x-2>0, ? ?? 2 ?x -x-6≤0 ? ? ?x>2或x<-1, ?? ?-2≤x≤3. ? 2 ? ??x-2??x+1?>0, ?? ??x-3??x+2?≤0 ? 借助于数轴,如图所示, 原不等式的解集为{x|-2≤x<-1 或 2<x≤3}. (2)由 x

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