当前位置:首页 >> 建筑/土木 >>

定积分基本公式


定积分基本公式

定积分是高等数学中一个重要的基本概念,在几何、物理、经济学等各个领 域中都有广泛的应用.本章将由典型实例引入定积分概念,讨论定积分性质和计 算方法,举例说明定积分在实际问题中的具体运用等.

第二节

微积分基本公式

一、变上限的定积分 上连续, x ? [ a, b] , 于是积分 ?
x a

设函数 f ( x) 在[ [ a, b] ]

f ( x)dx

是一个定数,

这种写法有一个不方便之处,就是 混淆,我们把积分变量改写成
y=f(x) y

x 既表示积分上限,又表示积分变量.为避免
x a

t ,于是这个积分就写成了 ?

f (t )dt

.

, ] 当 x 在 [ aφb(x)上变动时,对应于每一个 x 值,积分

?

x a

f (t )dt
x a

就有一个确定的

值, 因此 ?

xa a

f (t )dt

x

b

x

是变上限 x 的一个函数, 记作

Φ ( x) = ?

f (t )dt ( a ≤x≤ b )

通常称函数 Φ ( x) 为变上限积分函数或变上限积分,其几何意义如图所示.

定理 1

f (t )dt 如果函数 f ( x) 在区间 [ a, b] 上连续,则变上限积分 Φ ( x) = ?a
Φ?( x) ? d x f (t )dt ? f ( x) dx ? a ( a ≤ x ≤ b ).
x

x

在 [ a, b] 上可导,且其导数是

推论

f (t )dt 连续函数的原函数一定存在. 且函数 Φ ( x) = ?a 即为其原函数.
x π 2 Φ ( x) = ? 0 sin t dt 在 x =0 , 2 处的导数. 计算

例1



d x 2 ? 0 sin t dt = sin x 2 ,故 因为 dx

Φ?(0) ? sin 02 ? 0 ;

Φ?(

π π 2 ) ? sin ? 2 4 2 .

例2

求下列函数的导数:
ex a

(1) 解

Φ ( x) ? ?

ln t dt (a ? 0) t ;
x

这里 Φ ( x) 是 x 的复合函数,其中中间变量 u ? e ,所以按复合函数求导

dΦ d u ln t d(e x ) ln e x x ? (? dt ) ? x e ?x dx e 法则,有 dx du a t .
sin ?

(2)

Φ( x) ? ?

1 x
2

?

d? ( x ? 0)

.
sin x 2sin x ? 2x ? ? 2 x x .



dΦ d x2 sin ? sin ? ?? ? d? ? ? 1 dx dx ? ?

? ? x2

( x 2 )? ? ?

二、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式 定理 2 数,则有 ?
b a

设函数 f ( x) 在闭区间 [ a, b] 上连续,又 F ( x) 是 f ( x) 的任一个原函
f ( x)dx ? F (b) ? F (a)

.
Φ( x) ? ? f (t )dt
a x



由定理 1 知,变上限积分

也是 f ( x) 的一个原函数,于 .

是知 Φ( x) ? F ( x) ? C0 ,

C0 为一常数, 即

?

x a

f (t )dt ? F ( x) ? C0

f (t )dt ? F (a) ? C0 我们来确定常数 C0 的值,为此,令 x ? a ,有 ? a ,得

a

C0 ? ?F (a) .

因此有

?

x a

f (t )dt ? F ( x) ? F (a)

.
f (t )dt ? F (b) ? F (a)

再令 x ? b ,得所求积分为

?

b a

.

因此积分值与积分变量的记号无关,仍用 x 表示积分变量,即得

?

b a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a)

,其中 F ?( x) ? f ( x) .

上式称为牛顿-莱布尼茨公式,也称为微积分基本公式.为计算方便,该公式 常采用下面的格式:

?
例1 求定积分:

b a

f ( x)dx ? F ( x) b ? F (b) ? F (a) a

.

? (1)

2 1

3 ( x ? 1 ) dx ;(2) ? 12 x
2

2

2 x(1 ? x) ;(3) ? ?1 x dx .

dx

1

解 (1)
2 3 1 2

?

2

1

2 1 5 x 2 1 (x ? 1 ) dx ? ?1 ( x 2 ? 2 ? x 2 )dx ? ( 3 ? 2 x ? x ) 1 ? 4 6 x .

3

2

(2)

?

dx x(1 ? x)

??

2 3 1 2

1

1

1 ? x . x dx

? 2?

2 3 1 2

1 1 ? ( x )2

d( x )

? 2 arcsin x

2 3 1 2

? 2(arcsin

2 1 ? arcsin ) ? 0.3398. 3 2

(3)

x2 ? x

在 [?1,1] 上写成分段函数的形式

?? x, ? 1 ? x ? 0, f ( x) ? ? ? x, 0 ? x ? 1,

于是 ? ?1

1

x dx ? ? (? x)dx ? ?
2 ?1

0

1 0

xdx ? ?

x2 0 x2 1 ? ?1 2 ?1 2 0 .

例2

计算 x ?0

? lim

cos x 1

e?t dt
2

x2

.



0 因为 x ? 0 时, cos x ? 1 ,故本题属 0 型未定式,可以用洛必达法则
cos x 1

来求.这里 ?

e?t dt
2

是 x 的复合函数,其中 u ? cos x ,所以

2 2 d cos x ? t 2 e dt ? e? cos x (cos x) ' ? ? sin xe ? cos x dx ?1 ,于是



? lim
x ?0

cos x

1

e?t dt
2

x

2

? sin x ? e? cos ? lim x ?0 2x

2

x

? lim

? sin x ? cos2 x 1 1 ? ? e ?1 ? ? e x ?0 2 2e . 2x

思考题
f ( x ) ? ? sin t 2 dt
x x2

1.若

, f ?( x) ? ?

2.在牛顿-莱布尼茨公式中,要求被积函数 f ( x) 在积分区间 [ a, b] 上连续. 问当 f ( x) 在 [ a, b] 区间上有第一类间断点时,还能否用牛顿-莱布尼茨公式计算 定积分?并计算
? x 2 , ? 2 ? x ? ?1, ? x ? ?1, ? 10, f ( x) ? ? 2 ? x , ? 1 ? x ? 0, ? 2 x ? 1, 0 ? x ? 2. ? 其中

?

2 ?2

f ( x)dx,


相关文章:
定积分计算公式和性质.doc
定积分计算公式和性质 - 第二节 定积分计算公式和性质 一、变上限函数 设函数 于是, 在区间 在区间 上连续,并且设 x 为 上的定积分为 上的任一点, 这里 ...
【经典】常用的求导和定积分公式(完美).doc
【经典】常用的求导和定积分公式(完美) - 一.基本初等函数求导公式 (1) (
定积分的基本公式.doc
定积分基本公式 - 第三讲 【教学内容】 1.变上限积分函数 2.牛顿-莱布尼
定积分基本计算公式_图文.ppt
定积分基本计算公式 - §4. 定积分的计算 一 定积分计算的基本公式 上连续,
一 定积分计算的基本公式_图文.ppt
定积分计算的基本公式 - §4. 定积分的计算 一 定积分计算的基本公式
积分常用公式.doc
积分常用公式 - 《微积分 A》 (上)第 4、5 章公式 积分常用公式 一.基本不定积分公式: 1. dx ? x ? C 2. x dx ? ? ? ? 1 x ? ?1 ? ?1....
定积分的概念和性质公式.doc
定积分的概念和性质公式 - DDY 整理 1. 曲边梯形的面积 设在区间 上 ,
基本积分公式.doc
基本积分公式 - §5.3 基本积分公式 重点与难点提示 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到,因此,导数运算的基础好 坏直接影响积分的能力,应熟记一些常用积分...
积分基本公式和法则_图文.ppt
积分基本公式和法则 - 第四章不定积分 第二节积分的基本公式和法则 复习: 1.
不定积分公式大全 含求积分通用方法及例题.pdf
不定积分公式大全 含求积分通用方法及例题 - 1 不定积分小结 一、不定积分基本公式 (1) ∫ x a dx = (3) ∫ ax dx = x a+1 + C(a ≠ ?1) a...
第二节 定积分计算公式和性质.doc
第二节 定积分计算公式和性质 - 第二节 定积分计算公式和性质 一、变上限函数 设函数 在区间 上连续,并且设 x 为 上的任一点,于是, 在区间 上的定积分为...
常用的求导和定积分公式(完美).doc
常用的求导和定积分公式(完美) - 一.基本初等函数求导公式 (1) (3) (
定积分公式.doc
定积分公式 - 二、基本积分表(188 页 115,205 页 1624)
基本积分公式.doc
基本积分公式 - 基本积分表 (1) ? kdx ? kx ? C ? (k 是
定积分基本公式.pdf
定积分基本公式 - 不定积分 一. 求不定积分与求导数或微分互为逆运算。 ( f
积分公式表,常用积分公式表.doc
积分公式表,常用积分公式表_理学_高等教育_教育专区。常用积分,定积分,微积分,
4.2积分的基本公式和法则_图文.ppt
4.2积分的基本公式和法则 - 第四章不定积分 第二节 积分的基本公式和法则 复习: 1.原函数的概念:F ?( x ) ? f ( x ) 2.不定积分的概念:? f ( x...
不定积分的基本公式和直接积分法.doc
定积分基本公式和直接积分法 - 第二节 不定积分基本公式和直接积分法(Ba
不定积分基本公式表_图文.ppt
定积分基本公式表 - 第四章 不定积分 第二节 不定积分的基本公式和运 算法则
不定积分的基本公式与运算法._图文.ppt
定积分基本公式与运算法. - 湖 南 对 Foreign 外 经 济 贸 易
更多相关标签: