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2016_2017学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.1抛物线及其标准方程课件

2.4 抛物线
2.4.1 抛物线及其标准方程

自主学习 新知突破

1.经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程,掌握抛

物线的定义、几何图形和标准方程.
2.会求简单的抛物线方程.

如图,我们在黑板上画一条直

线 EF ,然后取一个三角板,将一条
拉链 AB 固定在三角板的一条直角边 上,并将拉链下边一半的一端固定

在C点,将三角板的另一条直角边贴
在直线 EF 上,在拉链 D 处放置一支 粉笔,上下拖动三角板,粉笔会画 出一条曲线.

[问题1] 画出的曲线是什么形状?

[提示1] 抛物线.
[问题2] |DA|是点D到直线EF的距离吗?为什么? [提示2] 是,AB是Rt△的一条直角边.

[问题3] 点D在移动过程中,满足什么条件?
[提示3] |DA|=|DC|.

抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条直线l(l不经过点F) _________ 距离相等 的

焦点 ,直线l叫做抛 点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的______
准线 . 物线的_____

抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标
?p ? ? ,0? ?2 ? ________

准线方程
p x=-2 ________

y2=2px(p>0)

y2=-2px(p>0)

? p ? ?- ,0? ? 2 ? ________

p x=2 ________

图形

标准方程

焦点坐标
? p? ?0, ? 2? ? ________

准线方程
p y=-2 ________

x2=2py(p>0)

x2=-2py(p>0)

? p? ?0,- ? 2? ________ ?

p y=2 ________

1.(1)“p”是抛物线的焦点到准线的距离,所以p的值永远
大于0.特别注意,当抛物线标准方程的一次项系数为负时,不 要出现错误. (2)只有顶点在坐标原点,焦点在坐标轴上的抛物线方程才 有标准形式.

(3) 抛物线的开口方向取决于一次项变量 (x 或 y) 的取值范
围.如抛物线 x2 =-2y ,一次项变量 y≤0 ,所以抛物线开口向 下.

2.标准方程中只有一个参数p,求抛物线的标准方程,只 需求出p的值即可,常用待定系数法. (1)用待定系数法求抛物线标准方程时,一定先确定焦点位 置与开口方向,如果开口方向不确定时,可设所求抛物线方程 为y2=ax(a≠0),或者x2=ay(a≠0); (2)当抛物线不在标准位置时,用定义来求.

1.抛物线 y=4x2 的焦点坐标是( A.(0,1)
? 1? C.?0,16? ? ?

)

B.(1,0)
?1 ? D.?16,0? ? ?
2

1 1 解析: 将抛物线方程变为 x =2×8y,知 p=8,又焦 点在 y
? 1? 轴上,且开口向上,所以它的焦点坐标为?0,16?. ? ?

答案: C

2 .平面上到定点 A(1,1) 和到直线 l : x + 2y = 3 距离相等的 点的轨迹为( A.直线 ) B.抛物线

C.圆
解析:

D.椭圆
定点A(1,1)在直线l:x+2y=3上,因此满足条件

的点的轨迹是过A且与直线l垂直的直线. 答案: A

3.已知抛物线顶点为坐标原点,焦点在y轴上,抛物线上 的点M(m,-2)到焦点的距离为4,则m=________.
解析: 由已知,可设抛物线方程为 x2=-2py.由抛物 p 线定义有 2+2=4,∴p=4,∴x2=-8y.将(m,-2)代入上 式, 得 m2=16.∴m=± 4.

答案: ±4

4.求以原点为顶点,坐标轴为对称轴,并且经过P(-2, -4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标.
解析: 由已知设抛物线的标准方程是 x2=-2py(p>0) 1 或 y=-2px(p>0),把 P(-2,-4)代入得 p=2或 p=4, 故所求的抛物线的标准方程是 x2=-y 或 y2=-8x. 当抛物线方程是 x2=-y 时, 焦点坐标是
? 1? F?0,-4?,准线方程是 ? ?

1 y=4.

当抛物线方程是 y2=-8x 时,焦点坐标是 F(-2,0),准 线方程是 x=2.

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抛物线的准线方程和焦点坐标
求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: (1)y2=-14x;(2)5x2-2y=0;(3)y2=ax(a>0).

思路点拨:
和准线方程.

(1)(3) 是标准形式,可直接求出焦点坐标和

准线方程,(2)需先将方程化为标准形式,再对应写出焦点坐标

(1)因为

? 7 ? p=7,所以焦点坐标是?-2,0?, ? ?

7 准线方程是 x=2. 2 1 (2)抛物线方程化为标准形式为 x =5y,因此 p=5,
2

? 1? 所以焦点坐标是?0,10?,准线方程是 ? ?

1 y=-10.

?a ? a (3)由 a>0 知 p=2,所以焦点坐标是?4,0?, ? ?

a 准线方程是 x=-4.

已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时,先看抛物线 方程是不是标准方程,若不是,需化方程为标准方程. 依据标准方程,(1)由一次项(是 x 还是 y)及其符号(是正 还是负)确定抛物线的开口方向, 可得焦点和准线的位置; (2) p 由一次项的系数确定 2p(大于零)的值,进而求得2,结合(1) 可得焦点坐标和准线方程.

1.写出下列抛物线的焦点坐标和准线方程: 1 2 (1)y=4x ;(2)y=ax2.
解析:

1 2 (1)抛物线 y=4x 的标准形式为 x2=4y,

∴p=2,∴焦点坐标是(0,1),准线方程是 y=-1. 抛物线开口向上.

1 (2)抛物线方程 y=ax (a≠0)化为标准形式:x =ay,
2 2

1 1 p 1 当 a>0 时,则 2p=a,解得 p=2a,2=4a,
? 1? ∴焦点坐标是?0,4a?,准线方程是 ? ?

1 y=-4a.

1 p 1 当 a<0 时,则 2p=-a,2=-4a.
? 1? ∴焦点坐标是?0,4a?,准线方程是 ? ?

1 y=-4a, 1 y=-4a.

? 1? 综上,焦点坐标是?0,4a?,准线方程是 ? ?

求抛物线的标准方程
求适合下列条件的抛物线的标准方程: (1)过点M(-6,6); (2)焦点F在直线l:3x-2y-6=0上. 思路点拨: 情况? (2) 由焦点在坐标轴上,又在直线 l : 3x - 2y - 6 = 0 上,得 (1)过点M(-6,6),抛物线的开口方向有几种

焦点可能有几种情况?

解析: (1)由于点M(-6,6)在第二象限, ∴过M的抛物线开口向左或开口向上.

若抛物线开口向左,焦点在x轴上,
设其方程为y2=-2px(p>0), 将点M(-6,6)代入,可得36=-2p×(-6),

∴p=3,
∴抛物线的方程为y2=-6x.

若抛物线开口向上,焦点在y轴上,设其方程为 x2=2py(p>0),

将点M(-6,6)代入可得,36=2p×6,∴p=3,
∴抛物线的方程为x2=6y. 综上所述,抛物线的标准方程为y2=-6x或x2=6y.

(2)①∵直线 l 与 x 轴的交点为(2,0), ∴抛物线的焦点是 F(2,0), p ∴2=2,∴p=4, ∴抛物线的标准方程是 y2=8x.

②∵直线 l 与 y 轴的交点为(0,-3), 即抛物线的焦点是 F(0,-3), p ∴2=3,∴p=6, ∴抛物线的标准方程是 x2=-12y. 综上所述,所求抛物线的标准方程是 y2=8x 或 x2=-12y.

利用待定系数法求抛物线的标准方程时,若
已知抛物线的焦点坐标,则可设出抛物线的标准方程,求出 p 值即可;若焦点的位置不确定,则要分类讨论. 另 外 , 焦 点 在 x 轴 上 的 抛 物 线 方 程 可 统 一 设 为 y2 = ax(a≠0),焦点在y轴上的抛物线方程可统一设为x2=ay(a≠0).

2.求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)过点(-3,2);

(2)已知抛物线焦点在y轴上,焦点到准线的距离为3.

解析:

(1)设所求的抛物线方程为 y2=-2p1x(p1>0)

或 x2=2p2y(p2>0), ∵过点(-3,2), ∴4=-2p1(-3)或 9=2p2· 2. 2 9 ∴p1=3或 p2=4. 4 9 2 故所求的抛物线方程为 y =-3x 或 x =2y.
2

(2)由题意知,抛物线标准方程为 x2=2py(p>0) 或 x2=-2py(p>0)且 p=3, ∴抛物线标准方程为 x2=6y 或 x2=-6y.

抛物线的实际应用
一辆卡车高3 m,宽1.6 m,欲通过断面为抛物线 型的隧道,已知拱口宽恰好是拱高的4倍,若拱口宽为a m,求 使卡车通过的a的最小整数值.
思路点拨: 建立适当的直角坐标系 ―→

代入 代入 设出抛物线方程 ――→ 求抛物线方程 ――→ 结果

以隧道顶点为原点,拱高所在直线为 y 轴 建立直角坐标系,则点 B
?a a? 的坐标为?2,-4?,如图所示, ? ?

3分

设隧道所在抛物线方程为 x2=my,
?a? ? a? 2 ?- ?, 则?2? =m· ? ? ? 4?

∴m=-a. 即抛物线方程为 x2=-ay,

6分

将(0.8,y)代入抛物线方程,得 0.82=-ay, 0.82 即 y=- a . 8分

欲使卡车通过隧道,应有 a 0.82 即4- a >3. ∵a>0,∴a>12.21. ∴a 应取 13.

? a? y-?-4?>3, ? ?

10 分

12 分

(1) 此类题解题关键是把实际问题转化为与
抛物线有关的数学模型,利用与抛物线有关的知识解决. (2)在建立抛物线的标准方程时,以抛物线的顶点为坐标原 点,对称轴为一条坐标轴建立坐标系,这样可使得标准方程不 仅具有对称性,而且曲线过原点,方程不含常数项,形式更为 简单,便于应用.

3.某河上有座抛物线形拱桥,当水面距拱顶 5 m 时, 水面宽 8 m,一木船宽 4 m,高 2 m,载货后木船露在水面上 3 的部分高为4 m,问水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开 始不能通航?

解析: 以拱桥的拱顶为坐标原点,拱高所在的直线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为 x2= -2py(p>0),由题意知,点 A(4,-5)在抛物线上(设 AA′为 16 水面宽且 AA′=8 m),所以 16=-2p×(-5),2p= 5 ,所 16 以抛物线方程为 x =- 5 y(-4≤x≤4).设水面上涨到船面
2

两侧与拱桥接触于 B,B′(B′与 B 关于 y 轴对称)时,木船 16 开始不能通航,设 B 点坐标为(2,y),由 2 =- 5 y,
2

5 得 y=-4,此时水面与抛物线拱顶相距 3 5 3 |y|+4=4+4=2(m). 所以,水面上涨到与拱顶相距 2 m 时,木船开始不能通 航.

◎已知抛物线的顶点在原点,焦点在坐标轴上,且焦点到 准线的距离为2,求该抛物线的方程. 【错解】 由题意知p=2, ∴2p=4. 故所求抛物线的方程为y2=±4x.

【错因】

只考虑焦点在x轴上的情形,而遗漏了焦点在y

轴上的情形,本题中,抛物线的四种形式都有可能.
【正解】 由题意知p=2, ∴2p=4.

故所求抛物线方程为y2=±4x或x2=±4y.