当前位置:首页 >> 数学 >>

全国通用版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.4点到直线的距离练习新人教B版必修220181113316

2.2.4 点到直线的距离 1 点(3,1)到直线 y=2x 的距离为( ) A.5 B. C. D. 解析:直线方程化为 2x-y=0,故所求距离 d= . 答案:B 2 已知点(a,2)(a>0)到直线 l:x-y+3=0 的距离为 1,则 a 的值是( ) A. B.2- C. -1 D. +1 解析:由点到直线的距离公式,得 =1, 因为|a+1|= ,所以 a=± -1. 又因为 a>0,所以 a= -1. 答案:C 3 已知直线 3x+2y-3=0 和 6x+my+1=0 互相平行,那么它们之间的距离是( ) A.4 B. C. D. 解析:因为两直线平行,所以 3m=12,即 m=4,6x+my+1=0 可化为 3x+2y+=0,由两平行直线间的距离公 式得 d= . 答案:D 4 已知点 P(a,b)是第二象限的点,那么它到直线 x-y=0 的距离是( ) A. (a-b) B.b-a C. (b-a) D. 解析:因为 P(a,b)是第二象限的点,所以 a<0,b>0. 所以 a-b<0. 所以点 P 到直线 x-y=0 的距离 d= 答案:C (b-a). 5 若 P,Q 分别为 3x+4y-12=0 与 3x+4y+3=0 上任一点,则|PQ|的最小值为( ) A. B. C.3 D.6 解析:|PQ|的最小值即两条平行线间的距离, 则根据两条平行线间的距离公式得|PQ|= =3. 答案:C 6 已知 x,y 满足 3x+4y-10=0,则 x2+y2 的最小值为 ( ) A.2 B.4 C.0 D.1 解析:因为 x2+y2 视为原点到直线上的点 P(x,y)的距离的平方,所以 x2+y2 的最小值为原点到直线 3x+4y-10=0 的距离的平方.因为 d= 答案:B =2,所以 x2+y2 的最小值为 4. 7 过点 M(1,5)和点 N(-2,9)分别作两条平行直线,使它们之间的距离等于 5,则满足条件的直线 共有( ) A.0 组 B.1 组 C.2 组 D.3 组 解析:因为|MN|= 直线垂直. 答案:B =5,所以满足条件的直线有且仅有 1 组,它们与线段 MN 所在的 8 已知定点 A(0,1),点 B 在直线 x+y=0 上运动,当线段 AB 最短时,点 B 的坐标是 . 解析:可设 B(x,-x), 所以 d(A,B)= , 又 d(A,B)min= , 这时 x=- ,点 B 的坐标为 . 答案: 9 已知点 M(1,4)到直线 l:mx+y-1=0 的距离为 3,则实数 m= . 解析:由已知可得 答案:0 或 =3,即|m+3|=3 ,解得 m=0 或 m=. 10 与直线 l:5x-12y+6=0 平行且到 l 的距离为 2 的直线 m 的方程为 . 解析:设所求直线为 5x-12y+c=0,则由两平行直线间的距离公式得 2= 20.故所求直线的方程为 5x-12y+32=0 或 5x-12y-20=0. 答案:5x-12y+32=0 或 5x-12y-20=0 11 已知直线 l 过直线 y=-x+1 和 y=2x+4 的交点, (1)若直线 l 与直线 x-3y+2=0 垂直,求直线 l 的方程; (2)若原点 O 到直线 l 的距离为 1,求直线 l 的方程. 解(1)由 得交点(-1,2), ,解得 c=32 或 c=- 因为直线 x-3y+2=0 的斜率是 ,直线 l 与直线 x-3y+2=0 垂直,所以直线 l 的斜率为-3, 所以所求直线 l 的方程为 y-2=-3(x+1), 即 3x+y+1=0. (2)如果 l⊥x 轴,则 l 的方程为 x=-1 符合要求. 如果 l 不垂直于 x 轴,设 l 的方程为 y-2=k(x+1), 即 kx-y+2+k=0, 原点 O 到直线 l 的距离 =1, 解之,得 k=- ,此时 l:y-2=- (x+1). 综上,直线 l 的方程为 3x+4y-5=0 或 x=-1. 12 两条互相平行的直线分别过 A(6,2),B(-3,-1)两点,并且各自绕着 A,B 点旋转(但始终保持平 行关系).如果两条平行线间的距离为 d. (1)求 d 的变化范围; (2)求当 d 取得最大值时两条直线的方程. 解(1)根据题意可知,当两平行线均与线段 AB 垂直时,距离 d=|AB|=3 都过 A,B 点时,距离 d=0 最小.但平行线不能重合, 最大;当两平行线重合,即 所以 0<d≤3 . (2)当 d=3 时,所求的两条直线的斜率相同,且 k=-3,所以两条直线的方程分别为 3x+y-20=0 和 3x+y+10=0. ★ 13 已知点 P(2,-1),求: (1)过点 P 且与原点 O 距离为 2 的直线 l 的方程; (2)过点 P 且与原点 O 距离最大的直线 l 的方程,并求此最大距离. 解(1)点 P 的坐标为(2,-1),由题意知可分两种情况: ①若直线 l 的斜率不存在,则其方程为 x=2,原点到直线 x=2 的距离为 2,满足题意; ②若直线 l 的斜率存在,设为 k,则 l 的方程为 y+1=k(x-2), 即 kx-y-2k-1=0. 由已知,得 =2,解得 k= . 此时 l 的方程为 3x-4y-10=0. 综上,可得直线 l 的方程为 x=2 或 3x-4y-10=0. (2)过点 P 且与原点 O 距离最大的直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线,故设直线 l、直线 OP 的斜 率分别为 kl,kOP. 由题意知 kOP=- ,由 l⊥OP,得 kl·kOP=-1,即 kl=- =2. 由直线方程的点斜式得 y+1=2(x-2),即 2x-y-5=0. 即直线 l: