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2018年学习函数的奇偶性和周期性课件PPT_图文


第五节 函数的奇偶性和周期性 基础梳理 1.定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,如果对 f(-x)=-f(x) 于任意x∈A,都有________ ,则称函数y=f(x)为奇函数; 如果对于任意x∈A,都有________ y=f ( x) 为 f(-x)=f,则称函数 ( x) 偶函数. 2. 图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件 关于原点对称 ;一个函数是偶函数的充要 是它的图象_____________ 条件是它的图象______________ 关于y轴对称 . 3. 一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零的常数 f(x+T)=f(x) , T,使得定义域内的每一个x值,都满足__________ T 那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数________ 叫做 这个函数的周期,所有周期中存在最小的一个正数叫 做f(x)的最小正周期. 4. 奇(偶)函数有关定义的等价形式: f(-x)=〒f(x)?f(-x)〒f(x)=________ 0 ? f ?? x ? f ? x? 〒1 =________( f(x)≠0). 5. 奇(偶)函数有关的结论 0 (1)若一个奇函数f(x)在x=0处有意义,则f(0)=________. (2)若函数y=f(x)的定义域关于原点对称,则 f(x)+f(-x)为________ 偶 函数; f(x)-f(-x)为________ 奇 函数; f(x)〓f(-x)为________ 偶 函数. 6. 函数周期性的相关结论 (1)设a是非零常数,若对f(x)定义域内的任意x,恒有下列 条件之一成立: 1 1 ①f(x+a)=-f(x);②f(x+a)= f ? x ? ;③f(x+a)=- f ? x ? ; ④f(x+a)=f(x-a),则f(x)是周期函数,2|a|是它的一个周期. (以上各式中分母均不为零) (2)函数图象的对称性:若f(x+a)=f(b-x)(a、b为常数)在定 a?b x ? 义域上恒成立,则f(x)的图象关于直线________ 对称. 2 特别地,若f(a+x)=f(a-x),则函数f(x)关于直线________ x=a a=0 时,f(x)为偶函数. 对称,________ 基础达标 1. (必修1P39例6改编)有以下函数: ①f(x)=x2-1;②f(x)=x3-2x;③f(x)=2|x|-1; 2 2 4 ④f(x)=(x-1) ;⑤f(x)=x ,x∈[-2,2);⑥f(x)= x . ②⑥ ,偶函数有________ ①③ . 其中,奇函数有________ (填序号) 解析:验证f(-x)与f(x)的关系,可知②⑥为奇函数, ①③为偶函数,⑤的定义域不关于原点对称, ④不满足奇、偶函数定义,故④⑤为非奇非偶函数. 2. (2010泰州调研)设f(x)是定义在R上的奇函数, 且f(3)+f(-2)=2,则f(2)-f(3)=________. -2 解析:∵f(x)为R上的奇函数, ∴f(2)-f(3)=-[-f(2)+f(3)]=-[f(-2)+f(3)]=-2. 3. 已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数, 1 那么a+b=________. 3 1 解析:定义域关于原点对称,故a-1+2a=0,则a= 3 又f(x)为偶函数,故b=0,∴a+b= 1 3 , 4. 下面四个命题: ①偶函数的图象一定与y轴相交; ②奇函数的图象一定通过原点; ③偶函数的图象关于y轴对称; ④既是

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