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2014高考数学(理)黄金配套练习5—2


第五章 5.2 第 2 课时
2014 高考数学(理)黄金配套练习
一、选择题 1.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( A.e1=(0,0),e2=(1,-2) B.e1=(-1,2),e2=(5, 7) C.e1=(3,5),e2=(6,10) 1 3 D.e1=(2,-3),e2=(2,-4) 答案 B → =(3,7),AB → =(-2,3),对称中心为 O,则CO → 等于( 2.?ABCD 中,AD 1 A.(-2,5) 1 C.(2,-5) 答案 1 B.(-2,-5) 1 D.(2,5) )

)

B 1 → → → =-1AC → 解析 CO 2 =-2(AD+AB) 1 1 =-2(1,10)=(-2,-5) → =2a+pb,BC → =a+b,CD → =a 3.设 a、b 是不共线的两个非零向量,已知AB -2b.若 A、B、D 三点共线,则 p 的值为( ) A.1 B.2 C.-2 D.-1 答案 D 解析 本题考查两向量共线的充要条件. → =BC → +CD → =2a-b,AB → =2a+pb,由 A、B、D 三点共线?AB → = λBD → ?2a BD ?2λ=2 +pb=2λa-λb?? ?p=-1 ?p=-λ 4..

如图,在四边形 ABCD 中,AB=BC=CD=1,且∠B=90° ,∠BCD=135° , → =a,AC → =b,则AD → =( 记向量AB ) 2 A. 2a-(1+ 2 )b 2 B.- 2a+(1+ 2 )b

2 C.- 2a+(1- 2 )b 2 D. 2a+(1- 2 )b 答案 B 解析
[来源:学科网 ZXXK]

根据题意可得△ABC 为等腰直角三角形,由∠BCD=135° ,得∠ACD=135° -45° =90° ,以 B 为原点,AB 所在直线为 x 轴,BC 所在直线为 y 轴建立如图所示 的直角坐标系, 并作 DE⊥y 轴于点 E,则△CDE 也为等腰直角三角形,由 CD=1, 2 2 2 → =(-1,0),AC → 得 CE=ED= 2 ,则 A(1,0),B(0,0),C(0,1),D( 2 ,1+ 2 ),∴AB 2 ? -λ-μ= 2 -1 ? → =( 2-1,1+ 2),令AD → =λAB → +μAC → ,则有 =(-1,1),AD ? 2 2 2 ? ?μ=1+ 2



?λ=- 2 得? 2 ?μ=1+ 2



→ =- 2a+(1+ 2)b. ∴AD 2 5.设向量 a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量 4a、3b-2a、c 的有向线段 首尾相接能构成三 角形,则向量 c 为( ) A.(1,-1) B.(-1,1) C.(-4,6) D.(4,-6) 答案 D 解析 由题知 4a=(4,-12), 3b-2a=(-6,12)-(2,-6)=(-8,18),由 4a+(3b-2a)+c=0,知 c=(4,- 6),选 D. 6.已知向量 a=(1,2),b=(2,-3).若向量 c 满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则 c=( ) 7 7 7 7 A.(9,3) B.(-3,-9) 7 7 7 7 C.(3,9) D.(-9,-3) 答案 D 解析 设 c=(x,y),则 c+a=(x+1,y+2), 又(c+a)∥b,∴2(y+2)+3(x+1)=0.① 又 c⊥(a+b),∴(x,y)· (3,-1)=3x-y=0.②

7 7 解得①②得 x=-9,y=-3. 7.已知 c=ma+nb,设 a,b,c 有共同起点,a,b 不共线,要使 a,b,c, 终点在一直线 l 上,则 m,n 满足( )

A.m+n=1 B.m+n=0 C.m-n=1 D.m+n=-1 答案 A → =λAB → 解析 ∵AC ∴c-a=λ(b-a) ∴ma+nb-a=λb-λa ∴(m-1+λ)a+(n-λ)b=0 ?m-1+λ=0 ∴? ?m+n=1. ?n-λ=0 二、填空题 8. 已知向量 a=(2, -1), b=(-1, m), c=(-1,2), 若(a+b)∥c, 则 m=________. 答案 -1 解析 由已知 a+b=(1, m-1), c=(-1,2) , 由(a+b))∥c 得 1×2-(m-1)×(- 1)=m+1=0,所以 m=-1. 9.已知 n=(a,b),向量 n 与 m 垂直,且|m|= |n|,则 m 的坐标为________. 答案 (b,-a)或(-b,a) 解析 设 m 的坐标为(x,y), 由|m|=|n|,得 x2+y2=a2+b2① 由 m⊥n,得 ax+by=0② ?x=b ?x=-b 解①②组成的方程组得? 或? ?y=-a ?y=a 故 m 的坐标为(b,-a)或(-b,a) 10.设向量 a=(1,-3),b=(-2,4) ,c=(-1,-2).若表示向量 4a、4b- 2c、2(a-c)、d 的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量 d 为________. 答案 (-2,-6) 解析 ∵a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2). ∴4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,-2). 又∵表示 4a,4b-2c,2(a-c),d 的有向线段首尾相接能构成四边形. ∴4a+(4 b-2c)+2(a-c)+d=0. 解得 d=(-2,-6). m 11. 已知向量 a=(2,3), b=(-1,2), 若 ma+nb 与 a-2b 共线, 则 n =________. 1 答案 -2
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

解析 ma+nb=(2m,3m)+(-n,2n) =(2m-n,3m+2n), a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1). 由 ma+nb 与 a-2b 共线, 2m-n 3m+2n 则有 4 = , -1 m 1 ∴n-2m=12m+8n,∴ n =-2 12.已知边长为单位长的正方形 ABCD,若 A 点与坐标原点重合,边 AB,AD → +3BC → +AC → 的坐标为________. 分别落在 x 轴,y 轴的正方向上,则向量 2AB
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答案

(3,4) → =(2,0). 解析 ∵2AB → =(0,3),AC → =(1,1). 3BC → +3BC → +AC → =(3,4). ∴2AB 13.已知 a=(6,1),b=(-2,2),若单位向量 c 与 2a+3b 共线,则向量 c 的坐 标为________. 3 4 答案 ± (5,5) 解析 2a+3b=2(6,1)+3(-2,2)=(6,8) ∵单位向量 c 与(6,8)共线, ?6,8? 3 4 ∴c=± =± (5,5) 36+64 三、解答题 → =1AC → 14.已知 A、B、C 三点的坐标分别为(-1,0)、(3,-1)、(1,2),并且AE 3 , → =1BC → BF 3 . (1)求 E,F 的坐标; → → (2)求证:EF∥AB. → =(2,2), 解析 (1)设 E、 F 两点的坐标分别为(x , y )、 (x , y ), 则依题意, 得AC
1 1 2 2

→ =(-2,3), BC → =(4,-1). AB → 1→ 2 2 ∴AE=3AC=(3,3), 2 → =1BC → BF 3 =(-3,1).

2 2 → ∴AE=(x1,y1)-(-1,0)=(3,3), → =(x ,y )-(3,-1)=(-2,1). BF 2 2 3 2 2 1 2 ∴(x1,y1)=(3 ,3)+(-1,0)=(-3,3), 2 7 (x 2,y2)=(-3,1)+(3,-1)=(3,0). 1 2 7 ∴E 的坐标为(-3,3),F 的坐标为(3,0). 1 2 (2)由(1)知(x1,y1)=(-3,3),
[来源 :Zxxk.Com]

7 (x2,y2)=( ,0), 3 → =(x ,y )-(x ,y )=(8,-2), ∴EF 2 2 1 1 3 3 2 8 又 4×(-3)-(-1)×3=0, → ∥AB → ∴EF 15.

→ 和OB → ,它们的夹角为 120° 给定两个长度为 1 的平面向量OA .如图所示,点 C → =xOA → +yOB → ,其中 x,y∈R,求 x+y 的最 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动.若OC 大值. 答案 2 解析 以 O 为坐标原点, OA 为 x 轴建立平面直角坐标系, 则可知 A(1,0), B(- 1 3 2π 3 2 3 2, 2 ),设 C(cosα,sinα)(α∈[0, 3 ]),则有 x=cosα+ 3 sinα,y= 3 sinα,所以 π π x+y=cosα+ 3sinα=2sin(α+6),所以当 α=3时,x+y 取得最大值为 2.

教师备选题
1.

→ =5e ,DC → =3e ,则OC → 等于( 如图所示,在矩形 ABCD 中,若BC 1 2 1 1 A.2(5e1+3e2) B.2(5e1-3e2)

)

1 C.2(3e2-5e1) 答案

1 D.2(5e2-3e1)

A → =1AC → =1(AB → +BC →) 解析 OC 2 2 1 → → 1 =2(DC +BC)=2(5e1+3e2) → 2.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知 A(3,1),B(-1,3),若点 C 满足OC → +βOB → ,其中 α、β ∈R 且 α+β=1,则点 C 的轨迹方程为________. =αOA 答案 x+2y-5=0 → =(x,y),OA → =(3,1),OB → =(-1,3).由OC → 解析 设 C 的坐标为(x,y),则OC → → → =αOA+βOB得OC=(3α-β,α+3β), ?x=3α-β ① 即? ?y=α+3β. ② 由①+②×2 得 x+2y=5(α+β),又因为 α+β=1,所以 x+2y=5. 3.

→ =a,AC →= 如图,在△ABC 中,AD=DB,AE=EC,CD 与 BE 交于 F,设AB → =xa+yb,则(x,y)为( b,AF ) 1 1 A.(2,2) 1 1 C.(3,3) 答案 解析 C → =λBE → ,由题可知:AF → =AB → +BF → =AB → +λBE → =AB → +λ(1AC → → 令BF 2 -AB) 2 2 B.(3,3) 2 1 D.(3,2)

→ +1λAC → ;同理,令CF → =μCD → ,则AF → =AC → +CF → =AC → +μCD → =AC → +μ(1AB → =(1-λ)AB 2 2 1 1-λ=2μ ? ? → )=1μAB → +(1-μ)· → ,由对应系数相等可得 -AC AC ?1 2 ? ?2λ=1-μ → =1AB → 1→ 所以AF 3 +3AC,故选 C. 2 ? ?λ=3 ,解得? 2 ? ?μ=3 ,

4.如图,O 为△ABC 的边 BC 的中点,过 O 任作一直线,交直线 AB、AC 分 → =mAM → ,AC → =nAN → ,求 m+n 的值. 别于点 M、N.若AB 解析 → =1(AB → +AC →) AO 2 → =AO → -AM → =1(AB → +AC → )- 1 AB → MO 2 m 1 1 → 1→ =(2-m)AB +2AC → =AO → -AN → =1(AB → +AC → )-1AC → NO 2 n 1→ 1 1 → =2AB +(2-n)AC → → ∵M、O、N 三点共线,∴向量MO与NO共线 → =λNO → 设MO 1 1 → 1→ 1 → 1 1 → 则(2-m)AB +2AC=2λAB+(2-n)λAC → 与AC → 为不共线向量 ∵AB 1 1 1 ? ?2-m=2λ ① ∴? 1 1 1 ? ?2=?2-n?λ ② 1 1 ①/②得 2(2-m)=1 1,整理得 m+n=2 2-n 1 2

→ =a,OB →= 5.已知点 O 是△ABC 内一点,∠AOB=150° ,∠BOC=90° ,设OA → =c,且|a|=2,|b|=1,|c|=3,试用 a,b 表示 c. b,OC
[来源:学科网 ZXXK]

解析

→ 为 x 轴的非负半轴,建立平面直角坐标系,则 如图所示,以点 O 为原点,OA 3 1 3 3 3 B(cos150° ,sin150° ),C(3cos240° ,3sin240° ),即 B(- 2 ,2),C(-2,- 2 ), 3 1 ∴a=(2,0),b=(- 2 ,2). 3 3 3 c=(-2,- 2 ). 设 c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R), 3 3 3 3 1 3 1 则(-2,- 2 )=λ1(2,0)+λ2(- 2 ,2)= (2λ1- 2 λ2,2λ2),

3 3 ? ?2λ1- 2 λ2=-2? ∴? 1 3 3 ? λ =- 2 ?2 2 ∴c=-3a-3 3b.

,解得{λ1=-3?λ2=-3 3 .


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