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2014.7.20高三数学不等式教案


不等式
知识网络 三个“二次”间的联系 一元二次不等式 从实际问题中建立一元二次不等式 解一元二次不等式 二元二次不等式(组)表示的平面区域 不等关系 不等式 二元一次不等式组 简单的二元线性规划问题 基本不等式的几何背景 基本不等式 不等式的证明 基本不等式的应用 第 1 课时 不等关系与不等式 1. 目标:会利用不等式性质定理判断命题真假,掌握不等式证明方法. 2. 重点: 掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式,利用不等式的性质证明简 单的不等式 3、难点:正确理解现实生活中存在的不等关系. 用不等式(组)正确表示出不等关系。 【知识要点】 :1.比较原理及不等式证明方法:比较法、分析法、综合法。 两实数之间有且只有以下三个大小关系之一:a>b;a<b;a=b; a ? b ? a ?b ? 0 ;a ? b ? a ?b ? 0;a ? b ? a ?b ? 0 . 2.不等式的性质: (1)对称性: a ? b ? b ? a , a ? b ? b ? a (2)传递性: a ? b, b ? c ? , a ? c (3)可加性: a ? b ? . a ? c ? b ? c 移项法则: a ? b ? c ? a ? c ? b 推论:同向不等式可加.

a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d

(4)可乘性: a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc 推论 1:同向(正)可乘: a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd
n n 推论 2:可乘方(正): a ? b ? 0 ? a ? b `

(n ? N ? , n ? 2)

-1-

(5) 可开方(正): a ? b ? 0 ? 例 1. 比较

n

a?nb

(n ? N ? , n ? 2)

a?m a 与 (其中 b ? a ? 0 , m ? 0 )的大小 b?m b

【解题思路】作差化简判断符号 解析:

a ? m a b(a ? m) ? a(b ? m) m(b ? a) , ? ? ? b?m b b(b ? m) b(b ? m) m(b ? a ) a?m a ? . ∵ b ? a ? 0 , m ? 0 ,∴ ? 0 ,所以 b?m b b(b ? m)

作差比较法的步骤是: 1、作差;2、变形:配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等; 3、判断符号;4、作出结论. 例 2. 已知下列三个不等式① ab ? 0 ;② 个作结论,则可组成几个正确命题. 【解题思路】以比较法为基础进行变形

c d ? ;③ bc ? ad ,以其中两个作为条件,余下一 a b

c d bc ? ad ? ? ? 0 ,由 ab ? 0, bc ? ad 得②成立,∴①③ ? ②. a b ab bc ? ad bc ? ad ? 0 ,则 bc ? ad ,∴①② ? ③.(3)若 ac ? bd , ? 0 ,则 ab ? 0 ,∴① (2)若 ab ? 0, ab ab
[解析](1)对②变形

② ? ③.综上所述可组成 3 个正确命题. 注 意 : 运 用 性 质 时 须 满 足 的 条 件 , 如 a ? b 时 , 判 断 ac 与 bc 的 大 小 关 系 应 注 意 从 c ? 0, c ? 0, c ? 0 三个方面讨论.另外不等式的性质中,有“单向性”和“双向性”的区别,切记随心 所欲、自创性质;判断题可以代数进行检验。 例 3. 已知 a,b 为正数,求证:

a b

?

b a

≥ a? b. (补充基本不等式,若: a ? 0, b ? 0 ,

则 a ? b ? 2 ab ,当且仅当 a ? b 时等号成立.) 【解题思路】观察结构用基本不等式加以证明. 解析 1:∵ a>0,b>0, ∴

a b b a

? b ≥2

a b b a

? b ?2 a,

? a ≥2

? a ?2 b,

两式相加,得

a b


? b?

b a

? a ≥2 a ?2 b ,

a b

?

b a

≥ a? b.

-2-

解析 2. ? ?

? a ? b

?

b ? a a b b ≥ a ? b ? 2 ab ? ? ?( a ? b ) ? a ? b ? a? b a

? ( a ? b)2 .


a b

?

b a

≥ a? b.

解析 3.∵ a>0,b>0,∴ a ? b ? 0 , ∴ 要证

a b

?

b a

≥ a? b,

即证

a a ?b b a b

≥ a? b,

只需证 只需证 即证

a a ?b b ≥a b ?b a ,
(a a ? b b ) 2 ≥ (a b ? b a ) 2 ,

a 3 ? b 3 ? 2ab ab ≥ a 2b ? 2ab ab ? ab2 ,

只需证 a3+b3≥ab(a+b), 只需证 a2+b2-ab≥ab, 即证 (a-b)2≥0. ∵ (a-b)2≥0 显然成立,∴ 原不等式成立 . 【强调】1、当要证明的不等式形式上比较复杂时,常通过分析法寻求证题思路. 2、注意分析法格式:“要证---,只需证----” 3、 “分析法”与“综合法”是数学推理中常用的思维方法,特别是这两种方法的综合运 用能力,对解决实际问题有重要的作用. 这两种数学方法是高考考查的重要数学思维方法. 【课堂练习】 :1..若 a<b<0,则下列不等式不能 成立的是 .. A.
1 1 > a b

B.2a>2b

C.|a|>|b|

D.(

1 a 1 ) >( )b 2 2

答案:B 2. 已知四个条件,①b>0>a ②0>a>b ③a>0>b ④a>b>0 能推出 A.1 个 答案:C. B.2 个 C.3 个 D.4 个

1 1 ? 成立的有 a b

3、若 a?b?0 ,则下列不等关系中不能成立的是
-3-

( A)

1 1 ? a b

(B)

1 1 ? a?b a

(C) a ? b

(D) a 2 ?b 2

【课堂小结】1、作差比较法的步骤,2、判断命题方法,3、证明不等式方法、步骤、格式。 【课后作业】 1. 如果 a, b, c 满足 c ? b ? a ,且 ac ? 0 ,那么下列选项中不一定成立的是( A. ab ? ac B. c(b ? a) ? 0 C. cb2 ? ab2 D. ac(a ? c) ? 0 )

解析:由题意知 c ? 0, a ? 0 ,则 A 一定正确,B 一定正确,D 一定正确,故选 C(当 b=0 时) 2.对于实数 a、 b ,“ b(b ? a) ? 0 ”是“ A.充分不必要条件 C.充要条件 解析:由 3. 若 ?

a ? 1 ”成立的( b

)

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

a a ?b ?1? ? 0 ? b(b ? a) ? 0 ;反之不成立.选 C b b

1 1 b a ? 0 ,则下列不等式:① a ? b ? ab ;② | a |?| b | ;③ a ? b ;④ ? ? 2 中,正确的不等式有 a b a b
B.2 个 C.3 个 D.4 个

( ) A.1 个 解析:由

1 1 ? ? 0 得 b ? a ? 0 , ab ? 0 ,则①④正确,②③错误,故选 B. a b
2 5 5 3 2 2 3 2 2

4、已知 x,a,b∈R,则下列不等式: ①x +3>2x, ②a +b >a b +a b , ③a +b ≥2(a-b-1), ④

a b ? ≥2 中恒成立的是 b a

答案①和③ 5、若 a+b=1,求证: a ?

1 1 ? b ? ≤2 2 2

a?
参考答案:

1 1 1 1 ? b? (a ? ) ? (b ? ) 2 2 2 2 ?1 ≤ 2 2

-4-

第 2 课时 一元二次不等式及其解法 1. 目标:掌握一元二次不等式的解法,会求解简单的含参数的不等式。 2. 重点:熟练掌握一元二次不等式的解法。 3. 难点:理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。求解简单的含参数的 不等式;正确认清函数、方程与不等式三者之间的逻辑关系. 【知识要点】 :一、一元二次不等式的解集

??0

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c
二次函数

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

?a ? 0?的根

ax ? bx ? c ? 0
2

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x2 ? ?

b 2a

无实根

ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集
ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

二、一元二次不等式的基本步骤: (1) 整理系数,使最二次项的系数为正数; (2) 尝试用“十字相乘法”分解因式; (3) 计算 ? ? b 2 ? 4ac (4) 结合二次函数的图象特征写出解集。
2 [例 1] 不等式 x ? x 的解集是(

A. ? ??,0 ?

B.

? 0,1?

)

C. ?1, ?? ?

D.

? ??,0? ?1, ???

【解题思路】严格按解题步骤进行
2 [解析]由 x ? x 得 x( x ? 1) ? 0 ,所以解集为 ? ??,0?

?1, ??? ,故选 D;

别解:抓住选择题的特点,显然当 x ? ?2 时满足不等式,故选 D. 【提示】解一元二次不等式的关键往往在于求出相应的一元二次方程的根;可以记住口诀“大 于在两边,小在中于在中间”
2 2 [例 2]已知关于 x 的不等式 ax ? 2 x ? c ? 0 的解集为 ( ? , ) ,求 ?cx ? 2 x ? a ? 0 的解集.

1 1 3 2

-5-

1 1 1 1 为方程 ax 2 ? 2 x ? c ? 0 的两 3 2 3 2 1 1 2 1 1 c 个 根 , 由 韦达 定 理得 ? ? ? ? , ? ? ? , 解 得 a ? ?12,c ? 2, ∴ ?cx 2 ? 2 x ? a ? 0 即 3 2 a 3 2 a
[ 解析 ] 由 ax 2 ? 2 x ? c ? 0 的解集为 ( ? , ) 知 a ? 0 , ? ,

2 x2 ? 2 x ? 12 ? 0 ,其解集为 (?2,3) .
解法分析:已知一元二次不等式的解集求系数的基本思路是,由不等式的解集求出根,再由韦达 定理求系数 例 3 解关于 x 的一元二次不等式 x2 ? (3 ? a) x ? 3a ? 0 解析:∵ x2 ? (3 ? a) x ? 3a ? 0 ,∴ ? x ? 3?? x ? a ? ? 0 ⑴当 a ? 3时, x ? a或x ? 3 ,不等式解集为 x x ? a或x ? 3 ; ⑵当 a ? 3 时,不等式为 ? x ? 3? ? 0 ,解集为 x x ? R且x ? 3 ;
2

?

?

?

?

⑶当 a ? 3时, x ? 3或x ? a ,不等式解集为 x x ? 3或x ? a

?

?

分类讨论的思想是高考数学考察重要的数学思想,关键是分类标准的确定。 2 【课堂练习】1.不等式( a -2) x +2( a -2) -4<0,对一切 x ∈R 恒成立,则 a 的取值范围是 A.(-∞,2] B.(-2,2] C.(-2,2) D.(-∞,2) 解析:∵ 可推知-2<a<2,另 a=2 时,原式化为-4<0,恒成立,∴-2<a≤2. 选 B

2. 关于 x 的不等式( m 围是 A.

x -1)( x -2)>0,若此不等式的解集为{ x |

<x<2},则 m 的取值范

m >0

B.0< m <2

C.

m>

D.

m <0

【课堂小结】1、解一元二次不等式要结合图像,2、解含参数的有理不等式时通常分以下几 种 情 况 讨 论 :① 根 据 二 次 项 系 数 ( 大 于 0, 小 于 0, 等 于 0);② 根 据 根 的 判 别 式 讨 论 ( ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 ).③根据根的大小讨论( x1 ? x2 , x1 ? x2 , x1 ? x2 ).高考导数大题经常考察。 【课后作业】1、求下列不等式的解集: (1) x ? x ? 12 ? 0 ;
2

(2) 3x ? 7 x ? 10 ;
2

(3) ?2 x ? x ? 5 ? 0 ;
2

(4) x ? x ?
2

1 ? 0; 4

(5) x(9 ? x) ? 0 ; 2、求下列函数的定义域: (1) y ? (3) y ?

(6) x ? 16 。
2

x( x ? 3) ;
2

(2) y ? log2 ( x2 ? 2x ? 8) ;

x ; (4) y ? ( x ? 7)(3 ? x) x ? 2 x ? 15 2 3.若关于 x 的不等式 ax ? 2 x ? 2 ? 0 在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围.
-6-

[解析]当 a ? 0 时,不等式 2 x ? 2 ? 0 解集不为 R ,故 a ? 0 不满足题意; 当 a ? 0 时,要使原不等式解集为 R ,只需 ? 综上,所求实数 a 的取值范围为 ( , ??)

?a ? 0 ? 2 ? 4 ? 2a ? 0
2

,解得 a ?

1 2

1 2

?a ? 0 ?a ? 0 ? 【解析】不等式 ax ? bx ? c ? 0 对一切 x ? R 恒成立 ? ?b ? 0 或 ? 2 ?c ? 0 ?? ? b ? 4ac ? 0 ?
2

?a ? 0 ?a ? 0 ? 不等式 ax ? bx ? c ? 0 对 x ? R 恒成立 ? ?b ? 0 或 ? 2 ?c ? 0 ?? ? b ? 4ac ? 0 ?
2

4 . ? x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 的解集是__________
2 解析:将不等式转化成 x ? 5 x ? 6 ? 0 ,即 ? x ?1?? x ? 6? ? 0 .]

2x
5. 不等式

2

?2 x?4

?

1 2 的解集为

答案 [?3,1] ,可以利用函数单调性 6、关于 是
2 的解集为空集,则实数 a 的取值范围 ? a? 1( x? R) x 的 不 等 式 g ( x)? a


2

2 解析: g ( x) ? a ? a ? 1( x ? R) 的解集为空集,就是 1= [ g ( x) ]max< a ? a ? 1

所以 a ? (??, ?1) ? (0, ??)

-7-

第 3 课时 二元一次不等式(组)与简单线性规划问题 1.目标:会画二元一次不等式(组)来表示的平面区域,掌握线性规划的图解法 2. 重点:灵活运用二元一次不等式(组)来表示的平面区域,掌握线性规划的图解法 3.难点:如何确定不等式 Ax ? By ? C ? 0(或<0)表示 Ax ? By ? C ? 0 的哪一侧区域,如 何寻求线性规划问题的最优解.如何将实际问题转化为线性规划问题并准确求得线性规划问题 的最优解 【知识要点】 :一、代点法确定不等式表示的平面区域, 二、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤: 1.首先,要根据线性约束条件画出可行域(即画出不等式组所表示的公共区域). 2.设 z=0,画出直线 l0. 3.观察、分析,平移直线 l0,从而找到最优解. 4.最后求得目标函数的最大值及最小值.

?y ? x ? 例 1、画出不等式组 ? x ? 2 y ? 4 表示的平面区域。 (答案略) ? y ? ?2 ?
本题考查了双曲线的渐近线方程以及平面区域画法。

? x ? 4 y ? ?3 ? 例 2. 设 z ? 2 x ? y ,式中变量 x , y 满足条件 ?3 x ? 5 y ? 25 ,求 z 的最大值和最小值. ?x ? 1 ? y x ?1 [解析]作出可行域如图 8-3-6 所示,作直线 l0 : 2 x ? y ? 0 上, 作一组平行于 l0 的直线 l : 2 x ? y ? z , z ? R , C 可知:直线 l 往右平移时, t 随之增大。 由图象可知,当直线 l 经过点 A(5, 2) 时,对应的 t 最大, A x ? 4y ? 3 ? 0 l0 当直线 l 经过点 B(1,1) 时,对应的 t 最小, 3x ? 5 y ? 25 ? 0 B 所以, zmax ? 2 ? 5 ? 2 ? 12 , zmin ? 2 ?1 ? 1 ? 3 .
【注意】严格按步骤:目标函数的最大(小)值往往是在边界处取到.O

x

?x ? y ? 2 ? 0 y ? 例 3、 已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 1 ,则 的取值范围是______. x ?x ? y ? 7 ? 0 ?
5 9? x? y ?7 ? 0 9 5 9 解析:由 ? 得 A? ? ? , ? ∴ kOA ? 2 / 2 ? 5 ; 2 2 ? ? ?x ? y ? 2 ? 0

6 x? y ?7 ? 0 由? 得 B ?1,6 ? ∴ kOB ? ? 6 ? 1 ? x ?1


y 表示过可行域内一点 ? x, y ? 及原点的直线的斜率 x y ?9 ? 的取值范围为 ?kOA , kOB ? ,即 ? , 6 ? ; x ?5 ?
-8-

∴由约束条件画出可行域(如图) ,则

【注意】求非线性目标函数的最大(小)值问题的关键是从目标函数联想到相对应的几何意 义.最常见的是两点间的距离和斜率公式. 【课堂练习】 1. 图中阴影部分是下列不等式中( )表示的平面区域.

?x ? y ?1 ? 0 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ? A. ? ?x ? y ?1 ? 0 ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?x ? y ?1 ? 0 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ? C. ? ?x ? y ?1 ? 0 ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0
解析:用原点作检验.选 C

?x ? y ?1 ? 0 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ? B. ? ?x ? y ?1 ? 0 ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?x ? y ?1 ? 0 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ? D. ? ?x ? y ?1 ? 0 ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0

y 2 1

?2

O

1

3 x

?y ? x ? 2、求 z ? 2 x ? y 的最大值,使式中的 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? y ? ?1 ?

? y ≥ x, ? 3、设变量 x, y 满足约束条件: ? x ? 2 y ≤ 2, ,则 z ? x ? 3 y 的最小值( ? x ≥ ?2. ?
A. ?2 B. ? 4 C. ?6 D. ?8



解析:画出可行域与目标函数线如下图可知,目标函数在点(-2,-2)取最小值-8. ∴选 D. x=-2 y
(-2,2) 1 y=x 1 y= x 3

O
(-2,-2)

2

1 1 y= x- z 3 3

x+2y=2

x

4、2、点(3,1)和(4,6)在直线 3x ? 2 y ? a ? 0 的两侧,则 a 的取值范围 【课堂小结】1、如何确定不等式表示的平面区域:2、线性规划问题关键是如何确定最优解。

?x ? 2 ? ?y ? 2 ?x ? y ? 2 【课后作业】1、若 x、y 满足约束条件 ?
A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、 (3,5] 解:如图,作出可行域,作直线 l:x+2y=0,将 l 向右上方平移,过点 A(2,0)时,有最小值
-9-

,则 z=x+2y 的取值范围是 ( )

y 2

B A

y =2 x x + y =2

O

2 x=2

2,过点 B(2,2)时,有最大值 6,故选 A

?2 x ? y ? 6 ? 0 ? ?x ? y ? 3 ? 0 ?y ? 2 2、不等式组 ? 表示的平面区域的面积为

( )

y

A、4 B、1 C、5 D、无穷大 解:如图,作出可行域,△ABC 的面积即为所求,由梯形 OMBC 的面 积减去梯形 OMAC 的面积即可,选 B

x+y – 3 = 0 M A O B y =2

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?3 x ? y ? 3 ? 0 3、已知 x、y 满足以下约束条件 ?
大值和最小值分别是 ( )

,则 z=x +y 最

2

2

C x 2x + y – 6= 0 = 5

A、13,1

4 B、13,2 C、13, 5
2 2

2 5 D、 13 , 5

解:如图,作出可行域,x +y 是点(x,y)到原点的距离的平方,故最大值为点 A(2,3)到原 点的距离的平方,即|AO|2=13,最小值为原点到直线 2x+y-2=0 的

4 距离的平方,即为 5 ,选 C

y x+y=5

x–y+5=0

?x ? y ? 5 ? ?x ? y ? 5 ? 0 ?x ? 3 4、已知 x、y 满足以下约束条件 ?
取得最小值的最优解有无数个,则 a 的值为

,使 z=x+ay(a>0)

O

x=3

x

解:如图作出可行域,作直线 l:x+ay=0,要使目标函数 z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解 有无数个,则将 l 向右上方平移后与直线 x+y=5 重合,故 a=1, 5、

已知点 P( x, y) 的坐标满足条件

?x ? y ? 4 ? ? y?x ? x ?1 ?

,点 O 为坐标原点,那么 | PO | 的最大值等于

_______,最小值等于____________.

6、若 A 为不等式组

?x ? 0 ? ?y ? 0 ?y ? x ? 2 ?

表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变化到 1 时,求:

动直线 x ? y ? a 扫过 A 中的那部分区域的面积? 解:如图知区域的面积是△OAB 去掉一个小直角三角形。

- 10 -

S
(阴影部分面积比 1 大, 比

OAB

1 ? ? 2? 2 ? 2 2 小,故选 C,不需要算出

来) 点评:给出不等式组,画出平面区域,求平面区域的面积的问题是经 常考查的试题之一,如果区域是不规节图形,将它分割成规节图形分 别求它的面积即可。

- 11 -

第 4 课时 基本不等式 1. 目标: 掌握用基本不等式解决简单的最值问题

ab ?
2. 重点:理解基本不等式

a?b 2 等号成立条件,会用基本不等式解决简单的最值问题. a?b 2 求最大值、最小值

ab ?
3、难点:利用基本不等式

2 2 【知识要点】1.基本形式: a, b ? R ,则 a ? b ? 2ab ; a ? 0, b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,当且仅当

a ? b 时等号成立.

2 2 2 求 最 值 : 当 ab 为 定 值 时 , a ? b, a ? b 有 最 小 值 ; 当 a ? b 或 a ? b 为 定 值 时 , ab 有 最 大 值

2

2

( a ? 0, b ? 0 ).

2 1 1 ? a ? 0, b ? 0 3.拓展:若 时, a b

? ab ?

a?b a 2 ? b2 ? 2 2

,当且仅当 a ? b 时等号成立.

4 例 1、若 x>1,则 x+ 的最小值为________. x-1 4 4 解析:x+ =x-1+ +1≥4+1=5. x-1 x-1 4 当且仅当 x-1= ,即 x=3 时等号成立. x-1 答案:5 【强调】基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为 正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误. 例 2、已知正数 x、y 满足 x+2y=1,求 点拨:∵x、y 为正数,且 x+2y=1, 1 1 1 1 ∴ + =(x+2y) ( + ) x y x y =3+
2y x + ≥3+2 2 , y x
2 2y x = ,即当 x= 2 -1,y=1- 时等号成立. y 2 x

1 1 + 的最小值. x y

当且仅当

1 1 + 的最小值为 3+2 2 . x y 1 1 【注意】错解: + ≥2? x+2y=1≥2 2 ? x y



例 3. 若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是_______ . 【解题思路】可通过多种途经将等式化为可利用重要不等式的不等关系求解.
- 12 -

解法一 由 a、b∈R+,由重要不等式得 a+b≥2 ab , 则 ab=a+b+3≥2 ab +3, 即 ab ? 2 ab ? 3 ≥ 0 ? ( ab ? 3)( ab ? 1) ≥ 0 ? ab ≥3, ∴ ab≥9 . 解法二 a、b 为正数,∴ ab=a+b+3≥ 33 3ab >0, 两边立方得 a3b3≥34ab ? a2b2≥34,∵ab>0,∴ab≥9 . 解法三 原条件式变为 ab-3=a+b, ①

∵ a、b 均为正数,故①式两边都为正数,两边平方得 a2b2-6ab+9=a2+b2+2ab, ∵ a2+b2≥2ab,∴ a2b2-6ab+9≥4ab, 即 a2b2-10ab+9≥0,(ab-1)(ab-9)≥0, 由①式可知 ab>3,∴ ab≥9 . 解法四 把 a、b∈R+看作一元二次方程的两个根,此方程为 x2+(3-ab)x+ab=0,则△=(3-ab)2-4ab≥0, 即 (ab)2-10ab+9≥0,∴ (ab-9)(ab-1)≥0, ∵ab-1=a+b+2>0 成立,∴ ab≥9 . 解法五 由已知得 a(b-1)=b+3,显然 a>1,∴ a ?

b?3 , b ?1

b ? 3 (b ? 1)2 ? 5(b ? 1) ? 4 4 ab ? b ? ? ? b ?1 ? ? 5≥ 2 4 ? 5 ? 9 , b ?1 b ?1 b ?1
即 ab≥9 . 本题用了转化思想(等式转化为不等式) 、方程思想、函数思想,这是解决数学问题经常 用的思想方法. 对于公式 a+b≥2 ab,ab≤? a+b?2 ? 2 ? ,要弄清它们的作用和使用条件及内在联系,两个公

式也体现了 ab 和 a+b 的转化关系. 运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如 a2+b2≥2ab 逆用就 a2+b2 a+b a+b?2 是 ab≤ ; ≥ ab(a,b>0)逆用就是 ab≤? 2 2 ? 2 ? (a,b>0)等.还要注意“添、拆项” 技巧和公式等号成立的条件等.
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【课堂练习】 1.已知 m>0,n>0,且 mn=81,则 m+n 的最小值为( A.18 B.36 C.81 ) D.243

解析:选 A ∵m>0,n>0,∴m+n≥2 mn=18.当且仅当 m=n=9 时,等号成立. 2.(教材习题改编)已知 0<x<1,则 x(3-3x)取得最大值时 x 的值为( 1 A.3 1 B.2 3 C.4 2 D.3 )

1 1 9 3 1 解析:选 B 由 x(3-3x)=3×3x(3-3x)≤3×4=4,当且仅当 3x=3-3x,即 x=2时等号成立. 2 5 3.已知 x>0,y>0,lg x+lg y=1,则 z=x +y的最小值为________. 解析:由已知条件 lg x+lg y=1,可得 xy=10. 2 5 则 x +y ≥2 10 ?2+5?min=2,当且仅当 2y=5x 时取等号.又 xy=10,即 x=2, = 2 ,故 xy ?x y?

y=5 时等号成立. 答案:2 【课堂小结】利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即(1)要求各数均为正数;(2) 要求“和”或“积”为定值;(3)要注意是否具备等号成立的条件. 【课后作业】

? 1.设 a、 b∈R, 已知命题 p: a2+b2≤2ab; 命题 q:
A.必要不充分条件 C.充分必要条件

a+b?2 a2+b2 则 p 是 q 成立的( ? 2 ?≤ 2 ,

)

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:选 B 命题 p:(a-b)2≤0?a=b;命题 q:(a-b)2≥0.显然,由 p 可得 q 成立,但由 q 不能推出 p 成立,故 p 是 q 的充分不必要条件. 2、已知 x ? 0, y ? 0 且满足 A. 4 3、若 a>b>1,P=

2 8 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值( D ) x y
C.16 D.18 )

B. 8

lg a ? lg b ,Q=

a?b 1 (lga+lgb) ,R=lg( ) ,则( 2 2
B.P<Q<R D.P<R<Q

A.R<P<Q C.Q<P<R
解析:答案:B;∵lga>lgb>0,∴

1 (lga+lgb)> lg a ? lg b ,即 Q>P, 2

又∵a>b>1,∴

a?b a?b 1 ? ab ,∴ lg( ) ? lg ab ? (lga+lgb) , 2 2 2
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即 R>Q,∴有 P<Q<R,选 B。 4、已知 x,y 为正实数,且满足 4x+3y=12,则 xy 的最大值为________.

? ? ?x= , ?4x=3y, ? 解析:∵12=4x+3y≥2 4x× 3y,∴xy≤3.当且仅当 即? 2 ?4x+3y=12, ? ? ?y=2
最大值 3. 答案:3 5、若实数 a、b 满足 a+b=2,则 3a+3b 的最小值是 6.若 x,y∈(0,+∞),x+2y+xy=30. (1)求 xy 的取值范围; (2)求 x+y 的取值范围. 解:由 x+2y+xy=30,(2+x)y=30-x, 则 2+x≠0,y= (1)xy= = 30-x >0,0<x<30. 2+x 6

3

时 xy 取得

-x2+30x x+2

-x2-2x+32x+64-64 x+2

64 =-x- +32 x+2 64 =-? + +x+2?+34≤18,当且仅当 x=6 时取等号, ? ? 因此 xy 的取值范围是(0,18]. (2)x+y=x+ 30-x 32 =x+ -1 2+x x+2

?x=4 2-2, 32 32 =x+2+ -3≥8 2-3,当且仅当? 时等号成立,又 x+y=x+2+ x+2 x +2 ?y=4 2-1
-3<30,因此 x+y 的取值范围是[8 2-3,30).

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第 5 课时 不等式的实际应用 1. 目标:能从实际情境中抽象出一元二次不等式模型,转化为有关不等式求最值问题。 2. 重点:利用不等式求最值的方法解决实际问题。 3. 难点:理解题意,模型的选择及转化。 例 1. 某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C ( x) .

C ( x) ?
当 年 产 量 不 足 80 千 件 时 ,

1 2 x ? 10 x 3 ( 万 元 ); 当 年 产 量 不 小 于 80 千 件

C ( x) ? 51x ?
时, 品能全部售完.

10000 ? 1450 x (万元).每件商品售价为 0.05 万元.通过市场分析,该厂生产的商

(1)写出年利润 L (万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 【解题思路】凑出基本不等式的形式.

1 1 L( x) ? 0.05 ?1000 x ? x 2 ? 10 x ? 250 ? ? x 2 ? 40 x ? 250 3 3 解析: (1)当 0 ? x ? 80 时,
当 x ? 80 时,

L( x) ? 0.05 ?1000 x ? 51x ?

10000 10000 ? 1450 ? 250 ? 1200 ? ( x ? ) x x

? 1 2 ? x ? 40 x ? 250, 0 ? x ? 80 ? ? 3 L( x) ? ? ?1200 ? ( x ? 10000 ), x ? 80 ? x ? ∴
1 L( x) ? ? ( x ? 60)2 ? 950 3 (2) 当 0 ? x ? 80 时 , , 此 时 , 当 x ? 60 时 , L( x) 取 得 最 大 值
L(60) ? 950 (万元);
当 x ? 80 时,

L( x) ? 1200 ? ( x ?

10000 10000 ) ? 1200 ? 2 x ? ? 1200 ? 200 ? 1000 x x

x?
此时,当

10000 x 时,即 x ? 100 时, L( x) 取得最大值 1000 万元.
p ( p ? 0) x 的形式求最值时可考虑用基本不等式,但要注意条

所以,当产量为 100 千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为 1000 万元.

y ? x?
【注意】形如函数

件的限制,可借助函数的图像解题,必要时借助于导数. 例 2、 某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品, 现有两种木料, 第一种有 72m3, 第二种有 56m3, 假设生产每种产品都需要用两种木料,生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每
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生产一只圆桌可获利 6 元,生产一个衣柜可获利 10 元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各 生产多少,才使获得利润最多? 木料(单位 m3) 产 品 种 圆 桌 衣 柜 0.18 0.09 第 一 第 二 种 0.08 0.28

?0.18x ? 0.09 y ? 72 ?0.08x ? 0.28y ? 56 ? ? ?x ? 0 ? 解:设生产圆桌 x 只,生产衣柜 y 个,利润总额为 z 元,那么 ? y ? 0
而 z=6x+10y.如图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域. 作直线 l:6x+10y=0,即 l:3x+5y=0,把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时,直线经过可行域上

?0.18x ? 0.09y ? 72 ? 0.08x ? 0.28y ? 56 ,得 M 点坐 点 M,且与原点距离最大,此时 z=6x+10y 取最大值。解方程组 ?
标(350,100).答:应生产圆桌 350 只,生产衣柜 100 个,能使利润总额达到最大. 点评:本题的最优点恰为直线 0.18x+0.09y=72 和 0.08x+0.28y=56 的交点 M。 例 3、要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规格 小钢板的块数如下:

每张钢板的面积,第一种为 1m2,第二种为 2m2,今需要 A、B、C 三种规格的成品 各 12,15,17 块,问各截这两种钢板多少张,可得所需三种规格成品,且使所用钢板面积最 小. 答:应截第一种钢板 4 张,第二种钢板 8 张,能得所需三种规格的钢板,且使所用钢板 的面积最小. 解:设需截第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张,所用钢板面积 zm2.

- 17 -

目标函数 z=x+2y,

线性约束条件:

作出可行域.

作一组平行直线 x+2y=t.

的整点中, 点(4, 8)使 z 取得最小值.要注意到生产的产品数量是整数这一隐含条件. 【课堂小结】1、利用基本不等式解决实际问题解题思路:先设未知数,再找函数关系,利 用基本不等式求最值的方法求解,最后代入实际情况检验。 2、利用线性规划研究实际问题的解题思路: 首先,应准确建立数学模型,即根据题意找出约束条件,确定线性目标函数. 然后,用图解法求得数学模型的解--画出可行域,在可行域内求得使目标函数取得最值的 解. 最后,还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解,即结合实际情况求得最 优解. 【课后作业】1、某公司购买一批机器投入生产,据市场分析每台机器生产的产品可获得 的总利润 y(单位:万元)与机器运转时间 x(单位:年)的关系为 y=-x2+18x-25(x∈N*).则 当每台机器运转________年时,年平均利润最大,最大值是________万元. 25? y y 解析:每台机器运转 x 年的年平均利润为 =18-? ?x+ x ?,而 x>0,故x≤18-2 25=8, x 当且仅当 x=5 时,年平均利润最大,最大值为 8 万元. 答案:5 8

2、某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、 获得利润及每天资源限额(最大供应量)如下表所示:

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产品 消耗量 资源 煤(t) 电力(kw·h) 劳力(个) 利润(万元)

甲产品 (每吨)

乙产品 (每吨)

资源限额 (每天)

9 4 3 6

4 5 10 12

360 200 300

设此工厂应分别生产甲、乙两种产品 x 吨 y 吨,获得利润 z 万元。

依题意可得约束条件为:

?9 x ? 4 y ? 360 ?4 x ? 5 y ? 200 ? ? ?3x ? 10 y ? 300 ? ?x ? 0 ?y ? 0 ? ? ? x, y ? N

,目标函数: z ? 6 x ? 12y

3、某种汽车的购车费用是 10 万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费约为 0.9 万元, 年维修费用第一年是 0.2 万元,以后逐年递增 0.2 万元。问这种汽车使用多少年时,它的年平 均费用最小?最小值是多少?
? 解析:设使用 x( x ? N ) 年的年平均费用为 y 万元

, 则使用 x 年的维修总费用为

x ? 0.2 ? 0.2 x ? ? 0.1x ? 0.1 2 万元
1 1 y ? [10 ? 0.9 x ? (0.x ? 0.1)] ? (10 ? x ? 0.1x 2 ) x x 依题得

?

10 x 10 x ? ?1 ? 2 ? ?1 ? 3 x 10 x 10
即 x ? 10 时 取 等 号

-

10 x ? 当 且 仅 当 x 10

? x ? 10 时 y 取 得 最 小 值 3 万 元

答:这种汽车使用 10 年时,它的年平均费用最小,最小值是 3 万元. 4、为迎接 2008 年奥运会召开,某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志 ——“中国印· 舞动的北京”和奥运会吉祥物——“福娃”.该厂所用的主要原料为 A、B 两种贵重
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金属,已知生产一套奥运会标志需用原料 A 和原料 B 的量分别为 4 盒和 3 盒,生产一套奥运 会吉祥物需用原料 A 和原料 B 的量分别为 5 盒和 10 盒.若奥运会标志每套可获利 700 元,奥 运会吉祥物每套可获利 1200 元,该厂月初一次性购进原料 A、B 的量分别为 200 盒和 300 盒. 问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大,最大利润为多少? 【解题思路】 将文字语言转化为数学式子建立 线性规划模型. 解析:设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉 祥物分别为 x, y 套,月利润为 z 元,由题意得
40 30 20 10

y

A 3x+10y-300=0 x
50 100

?4 x ? 5 y ? 200, ?3x ? 10 y ? 300, ? ? ? x ? 0, ? ? y ? 0. ( x, y ? N )
目标函数为 z ? 700 x ? 1200 y 作出可行域如图所示

o

4x+5y-200=0

y??
目标函数可变形为

7 z 4 7 3 x? ? ?? ?? , 12 1200 , 5 12 10

y?
∴当

?7 z z x? 12 1200 通过图中的点 A 时, 1200 最大,这时 Z 最大。

?4 x ? 5 y ? 200 , ? 3 x ? 10 y ? 300 ? 解 得点 A 的坐标为(20,24) , …………10 分
将点 A(20, 24) 代入 z ? 700 x ? 1200 y 得

zmax ? 700 ? 20 ? 1200 ? 24 ? 42800 元

答:该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为 20, 24 套时月利润最大, 最大利润为 42800 元. 5、某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与车库到车站的距离成反比,而每月库存货 物的运费 y2 与到车站的距离成正比,如果在距车站 10 公里处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站多少公里处?

20 20 解析:由已知 y1= x ;y2=0.8x(x 为仓库与车站距离)费用之和 y=y1+y2=0.8x+ x ≥
0. 8 x ?
2

20 20 x =8 当且仅当 0.8x= x 即 x=5 时“=”成立

答:5 公里处

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