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2013年全国各省(市)高考数学试题分类汇编(概率统计)


2013 年全国各省(市)高考数学试题 分类汇编(概率统计)
1.(2013 福建卷.理 16 题) (本小题满分 13 分) 某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案 甲的中奖率为 ,中将可以获得 2 分;方案乙的中奖率为 ,中 将可以得 3 分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会, 每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计 得分为 X , Y ,求 X ? 3 的概率; (2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们 选择何种方案抽奖,累计的得分的数学期望较大? 本小题主要考查古典概型.离散型随机变量的分布列.数学期 望等基础知识,考查数据处理能力.运算求解能 力.应用意识,考查必然和或然思想,满分 13 分. 解: (Ⅰ)由已知得:小明中奖的概率为 ,小红中奖的概率为 ,两 人中奖与否互不影响,记“这 2 人的累计得分 X 事件的对立事件为“ X ? 5 , ”
? P ( X ? 5) ? 2 2 4 11 ? ? ,? P( A) ? 1 ? P( X ? 5) ? 15 3 5 15
11 . 15
? 3 ”的事件为

2 3

2 5

2 3

2 5

A,则 A

?这两人的累计得分 X ? 3 的概率为

1

(Ⅱ)设小明.小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为 X 1 ,都选择方案 乙抽奖中奖的次数为 X 2 ,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学 期望为 E(2 X1 ) ,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 E(3X 2 ) 由已知: X 1 ~ B(2, ) , X 2 ~ B(2, )
? E( X1) ? 2 ? 2 4 2 4 ? , E( X 2 ) ? 2 ? ? 3 3 5 5 2 3 2 5

8 12 ? E (2 X 1 ) ? 2 E ( X 1 ) ? , E (3 X 2 ) ? 3E ( X 2 ) ? 3 5

?E(2 X1 ) ? E(3X 2 )

?他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大.

2. (本小题满分 12 分)(福建卷.文) 某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名,25 周岁以下 工人 200 名。为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采 用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名工人,先统计了他们某月 的日平均生产件数, 然后按工人年龄在“25 周岁以上 (含 25 周岁) ” 和“25 周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分为 5 组: ?50, 60 ? , ?60, 70 ? , ? 70,80 ? , ?80,90 ? , ?90,100 ? 分别加以统计,得到 ? ? ? ? ? 如图所示的频率分布直方图.

2

(I) 从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人, 求至少抽到一名“25 周岁以下组”工人的概率; (II)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手” 请你根据 , 已知条件完成列联表, 并判断是否有 90%的把握认为“生产能手与 工人所在的年龄组有关”?
附:x 2 ? n(n11n22 ? n12 n21 ) n1?n2?n?1n?2

P( x2 ? k )
k

0.100 0.050 0.010

0.001

2.706 3.841 6.635 10.828

(注:此公式也可以写成 k 2 ?

n(ad ? bc)2 ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

解: 由已知可得, (I) 样本中有 25 周岁以上组工人 100× 25 周岁以下组工人 100× =40 名,

=60 名,

所以样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中, 周岁以上组工人有 25 60×0.05=3(人) , 25 周岁以下组工人有 40×0.05=2(人) , 故从中随机抽取 2 名工人所有可能的结果共 其中至少 1 名“25 周岁以下组”工人的结果共
3

=10 种, + =7 种,

故所求的概率为: ; (II) 由频率分布直方图可知: 在抽取的 100 名工人中, 周岁以上组” “25 中的生产能手有 60×0.25=15(人) , “25 周岁以下组”中的生产能手有 40×0.375=15(人) ,据此可得 2×2 列 联表如下: 生产能手 25 周岁以上组 25 周岁以下组 合计 所以可得 ≈1.79, 因为 1.79<2.706,所以没有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的 年龄组有关” . 15 15 30 非生产能手 45 25 70 = 合计 60 40 100 =

3.(2013 广东卷.理 17 题).(本小题满分 12 分) 某车间共有 12 名工人,随机抽取 6 名,他们某日加工零件个数的茎叶图 如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值; (Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工 人.根据茎叶图推断该车间 12 名工人中有几名优秀 工人;(Ⅲ) 从该车间 12 名工人中,任取 2 人,求恰有
4

1 2

7 0 0

9
1

5

3

第 17 题图

名优秀工人的概率. 【解析】 (Ⅰ) 样本均值为
17 ? 19 ? 20 ? 21 ? 25 ? 30 132 ? ? 22 ; 6 6 2 6 1 3

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为 ? ,故推断该车间 12 名工人 中有12 ? ? 4 名优秀工人. (Ⅲ) 设事件 A :从该车间 12 名工人中,任取 2 人,恰有 1 名优秀工人,则
P ? A? ?
1 1 C4C8 16 ? . 2 33 C12

1 3

4. (本小题满分 13 分)(2013 广东文) 从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分布表 如下: 分组(重 量) 频数(个) 5 10 20 15
[80,85) [85,90) [90,95) [95,100)

(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在 [90,95) 的频率; (2) 用分层抽样的方法从重量在 [80,85) 和 [95,100) 的苹果中共抽取 4 个,其中重量在 [80,85) 的有几个? (3) 在 (2) 中抽出的 4 个苹果中, 任取 2 个, 求重量在 [80,85) 和 [95,100) 中各有 1 个的概率. 【解析】 (1)苹果的重量在 ?90,95?的频率为 (2)重量在 ?80,85?的有 4 ?
5 =1 个; 5+15
20 =0.4 ; 50

5

(3)设这 4 个苹果中 ?80,85?分段的为 1, ?95,100? 分段的为 2、3、4, 从中任取两个,可能的情况有: (1,2) (1,3) (1,4) (2,3) (2,4) (3,4)共 6 种;设任取 2 个,重量在 ?80,85?和 ?95,100? 中各有 1 个的事件为 A,则事件 A 包含有 (1,2) (1,3) (1,4)共 3 种,所以 P(A) ? ? .
3 6 1 2

5.(2013 全国新课标二卷.理 18 题)(本小题满分 12 分) 经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1t 该产品获 利润 500 元,未售出的产品,每 1t 亏损 300 元。根据历史资料,得 到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如右图所示。经销商为 下一个销售季度购进了 130t 该农产品。以 x(单位:t,

100≤x≤150)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。

(Ⅰ)将 T 表示为 x 的函数 (Ⅱ)根据直方图估计利润 T,不少于 57000 元的概率;

6

(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各 个值, 需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如: 若 x ??100,110? ) 则取 x=105, x=105 的概率等于需求量落入 ?100,110? 且 的利润 T 的数学期望。

解: (I)由题意得,当 x∈[100,130)时,T=500x﹣300(130﹣x)=800x ﹣39000, 当 x∈[130,150)时,T=500×130=65000, ∴T= .

(II)由(I)知,利润 T 不少于 57000 元,当且仅当 120≤x≤150. 由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率为 0.7, 所以下一个销售季度的利润 T 不少于 57000 元的概率的估计值为 0.7. (Ⅲ)依题意可得 T 的分布列如图, T p 45000 0.1 53000 0.2 61000 0.3 65000 0.4

所以 ET=45000×0.1+53000×0.2+61000×0.3+65000×0.4=59400.

6.(2013 年河南山西河北卷 19)(本小题满分共 12 分) 一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取

7

4 件作检验,这 4 件产品中优质品的件数记为 n。如果 n=3,再从 这批产品中任取 4 件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检 验;如果 n=4,再从这批产品中任取 1 件作检验,若为优质品, 则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验。 假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的产品是优质品的概 率都为,且各件产品是否为优质品相互独立 (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为 100 元,凡抽取的每件产品都需 要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为 X(单位:元) , 求 X 的分布列及数学期望。 【命题意图】 【解析】设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A,第 一次取出的 4 件产品中全为优质品为事件 B,第二次取出的 4 件产品 都是优质品为事件 C,第二次取出的 1 件产品是优质品为事件 D,这 批产品通过检验为事件 E,根据题意有 E=(AB)∪(CD), 且 AB 与 CD 互斥,所以 P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=
1 1 3 ( ) 4 ? = .…6 分 2 2 64 1 1 3 1 C4 ( ) 2 ? ? ( ) 4 2 2 2

+

(Ⅱ)X 的可能取值为 400,500,800,并且
1 1 3 1 C4 ( ) 3 ? ? ( ) 4 2 2 2 1 3 1 1 P(X=800)= C43 ( ) ? = , 2 2 4

P(X=400)=1-

=

11 16



P(X=500)=

1 16



∴X 的分布列为
8

X 00 P

4 00
11 16

5 00
1 16

8

1 4

…10 分 EX=400×
11 1 1 +500× +800× =506.25 16 16 4

12 分

7.(2013 湖北卷.理 20 题) 假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 N ?800,502 ? 的随 机变量。记一天中从甲地去乙地旅客人数不超过 900 的概率为 p0 ( I ) 求 p0 的 值 ;( 参 考 数 据 : 若 X ? N ? ? , ? 2 ? , 有
P ? ? ? ? ? X ? ? ? ? ? ? 0.6826



P ? ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ? ? 0.9544



) P ? ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ? ? 0.9974 。 (II)某客运公司用 A 、 B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途 客运业务,每车每天往返一次, A 、 B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的运营成本分别为 1600 元/辆和 2400 元/ 辆。公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队,并要求 B 型车不多 于 A 型车 7 辆。若每天要以不小于 p0 的概率运完从甲地去乙地的旅 客,且使公司从甲地去乙地的运营成本最小,那么应配备 A 型车、 B 型车各多少辆? 【解析与答案】 (I) p0 ? 0.5 ? ? 0.9544 ? 0.9772 (II)设配备 A 型车 x 辆, B 型车 y 辆,运营成本为 z 元,由已知条件 得
9

1 2

? x ? y ? 21 ?36 x ? 60 y ? 900 ? ,而 z ? 1600 x ? 2400 y ? y?x?7 ? ? x, y ? N ?

作出可行域,得到最优解 x ? 5, y ? 12 。 所以配备 A 型车 5 辆, B 型车 12 辆可使运营成本最小。 【相关知识点】正态分布,线性规划

8(本小题满分 12 分)(2013 湖南.理) 某人在如图 4 所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点 (指纵、 横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物。 根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量 Y (单位: kg )与它 的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示:

X Y

1 51

2 48

3 45

4 42

这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米

10

(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们 恰好“相近”的概率 (2)从所种作物中随机选取一株,求她的年收获量的分布列与数学 期望

解析: (1)所种作物总株数 N ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 15 ,其中三角形地块内 部的作物株数为 3 ,边界上的作物株数为 12 ,从三角形地块的内部和
1 1 边界上分别随机选取一株的不同结果有 C3C12 ? 36 种, 选取的两株作物

恰好“相近”的不同结果有 3 ? 3 ? 2 ? 8 种 故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好 “相近”的概率为
8 2 ? 36 9

(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量 Y 的分布列 因为: P(Y ? 51) ? P( X ? 1), P(Y ? 48) ? P( X ? 2)
P(Y ? 45) ? P( X ? 3), P(Y ? 42) ? P( X ? 4)

所以只需求出 P( X ? k )(k ? 1, 2,3, 4) 即可 记 nk 为其“相近”作物恰有 k 株的作物株数( k ? 1, 2,3, 4 )则
n1 ? 2, n2 ? 4, n3 ? 6, n4 ? 3

由 P( X ? k ) ?

nk 得 N
11

P ( X ? 1) ?

2 4 6 2 3 1 , P( X ? 2) ? ; P( X ? 3) ? ? ; P( X ? 4) ? ? 15 15 15 5 15 5

故所求的分布列为
Y P
51 2 15 48 4 15 45 2 5
42 1 5

所求的数学期望为: E (Y ) ? 51?

2 4 2 1 ? 48 ? ? 45 ? ? 42 ? ? 46 15 15 5 5

9. (本小题满分 12 分)(2013 湖南文) 某人在如图 3 所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点 (指 纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了 一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该 种作物的年收获量 Y (单位: kg )与它“相近”作物株数
X

之间的关系如下表所示:
X
Y

1 51

2 48

3 45

4 42

这里两株“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米. (Ⅰ)完成下表,并求所种作物的平均年收获量;
Y

51

48 4

45

42

频数

(Ⅱ)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少 为 48 kg 的概率 解: (I)所种作物的总株数为 1+2+3+4+5=15, 其中“相近”作物株数为 1 的有 2 株, “相近”作物株数为 2 的有 4 株,
12

“相近”作物株数为 3 的有 6 株, “相近”作物株数为 4 的有 3 株,列表如下 Y 51 48 4 45 6 42 3 =46,

频数 2

所种作物的平均所收获量为: (51×2+48×4+45×6+42×3) = (Ⅱ)由(I)知,P(Y=51)= ,P(Y=48)= ,

故在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为 48kg 的概率 为 P(Y≥48)=P(Y=51)+P(Y=48)= + = .

10.(2013 年江苏卷 6 题 7 题)(本小题满分 5 分) . (6 题) .抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5 此训练成绩(单位: 环) ,结果如下:

运动 员 甲 乙

第一 次 87 89

第二 次 91 90

第三 次 90 91

第四 次 89 88

第五 次 93 92

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差 为 【答案】2 【解析】易得乙较为稳定乙平均值为 x ?
13



89 ? 90 ? 91 ? 88 ? 92 ? 90 . 5

方差为: S 2 ?

(89 ? 90) 2 ? (90 ? 90) 2 ? (91 ? 90) 2 ? (88 ? 90) 2 ? (92 ? 90) 2 ? 2. 5

(7 题) .现在某类病毒记作 X mYn ,其中正整数 m , n ( m ? 7 , n ? 9 ) 可以任意选取,则 m,n 都取到奇数的概率为 【答案】 .

20 【解析】m 取到奇数的有 1,3,5,7 共 4 种情况;n 63

取到奇数的有 1,3,5,7,9 共 5 种情况,则 m,n 都取到奇数的概 率为
4 ? 5 20 ? . 7 ? 9 63

11. (12 分) (2013?江西)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还 是参加学校排球队,游戏规则为:以 0 为起点,再从 A1,A2,A3, A4,A5,A6,A7,A8(如图)这 8 个点中任取两点分别为终点得到 两个向量,记这两个向量的数量积为 X.若 X=0 就参加学校合唱团, 否则就参加学校排球队. (1)求小波参加学校合唱团的概率; (2)求 X 的分布列和数学期望.

解: (1)从 8 个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法有 =28 种 X=0 时,两向量夹角为直角共有 8 种情形 所以小波参加学校合唱团的概率 P(X=0)= =
14

(2)两向量数量积的所有可能情形有﹣2,﹣1,0,1 X=﹣2 时有 2 种情形 X=1 时有 8 种情形 X=﹣1 时,有 10 种情形 X 的分布列为

EX=

=

12. (12 分) (2013?辽宁.理)现有 10 道题,其中 6 道甲类题,4 道 乙类题,张同学从中任取 3 道题解答. (I)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率; (II)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题,1 道乙类题.设张同学答 对甲类题的概率都是 , 答对每道乙类题的概率都是 , 且各题答对与 否相互独立.用 X 表示张同学答对题的个数,求 X 的分布列和数学 期望. 解: (I)设事件 A=“张同学至少取到 1 道乙类题” 则 =张同学至少取到的全为甲类题 ∴P(A)=1﹣P( )=1﹣ =

(II)X 的所有可能取值为 0,1,2,3 P (X=0)=
15

=

P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= X 的分布列为 = =

=

X P EX=

0

1

2

3

13.(2013 年辽宁卷 19 题) (本小题满分 12 分) 甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜 3 局者获得比赛的胜利, 比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是 外, 其余每局比赛甲队获 胜的概率是
2 .假设每局比赛结果互相独立. 3 1 2

(1)分别求甲队以 3:0,3:1,3:2 胜利的概率 (2)若比赛结果为 3:0 或 3:1,则胜利方得 3 分,对方得 0 分; 若比赛结果为 3:2,则胜利方得 2 分、对方得 1 分,求乙队得分 x 的分布列及数学期望. 解答: (1) p1 ? C33 ( )3 ?
2 3 8 2 1 2 8 2 1 1 4 , p2 ? C32 ( )2 ? ? , p3 ? C42 ( )2 ( )2 ? ? 27 3 3 3 27 3 3 2 27

(2)由题意可知 X 的可能取值为:3,2,1,0 相应的概率依次为: ,
1 4 4 16 7 , , ,所以 EX= 9 27 27 27 9

14. (本小题满分 12 分)(辽宁卷.文)
16

现有 6 道题,其中 4 道甲类题,2 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答.试求: (I)所取的 2 道题都是甲类题的概率; (II)所取的 2 道题不是同一类题的概率. [解题思路](Ⅰ)基本事件空间中有 15 个基本事件,都是甲类的有 6 个,所以可求得概率 (Ⅱ)不是同一类的有 8 个基本事件,所以所 求的概率是
8 。 15
2 5

15 本小题满分 12 分 (2013 山东.理) 甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜 3 局者获得比赛的胜利, 比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是 外, 其余每局比赛甲队获 胜的概率是
2 .假设每局比赛结果互相独立。 3 1 2

(1)分别求甲队以 3:0,3:1,3:2 胜利的概率 (2)若比赛结果为 3:0 或 3:1,则胜利方得 3:分,对方得 0 分;若比赛结果为 3:2,则胜利方得 2 分、对方得 1 分,求乙队得 分 x 的分布列及数学期望。 解: (1) p1 ? C33 ( )3 ?
8 2 1 2 8 , p2 ? C32 ( )2 ? ? ? , 27 3 3 3 27 1 1 4 2 2 p3 ? C4 ( ) 2 ( ) 2 ? ? 3 3 2 27 2 3

(2)由题意可知 X 的可能取值为:3,2,1,0 相应的概率依次为: ,
1 4 4 16 7 , , ,所以 EX ? 9 27 27 27 9

16. (2013 年山东卷 19 题) (本小题满分 12 分)
17

现有甲、乙两个项目,对甲项目每投资 1 万元,一年后利润是1.2 万元,
1 1 1 1.18 万元, 1.17 万元的概率分别为 , , ; 已知乙项目的利润与产品价 6 2 3

格的调整有关,在每次调整中,价格下降的概率都是 p(0 ? p ? 1) ,设 乙项目产品价格在一年内进行 2 次独立的调整,记乙项目产品价格在
1, 一年内的下降次数为 ? .对乙项目每投资十万元, ? 取 0,2 时,一年

后相应利润是 1.3 万元,1.25 万元,0.2 万元.随机变量 ?1 ,?2 分别表示 对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润. (I)求 ?1 , ?2 的概率分布和数学期望 E?1,E?2 ; (II)当 E?1 ? E?2 时,求 p 的取值范围. 本小题主要考查二项分布、分布列、数学期望等基础知识,考查学生 运用概率知识解决实际问题的能力.满分 12 分. (I)解法一: ?1 的概率分布为
?1
P

1.2

1.18

1.17

1 6

1 2

1 3

1 1 1 E?1 ? 1.2 ? ? 1.18 ? ? 1.17 ? ? 1.18 . ······································· 3 分 6 2 3

由题设得 ? ~ B ? 2,p? ,即 ? 的概率分布为
?
P

0

1
2

2

?1 ? p ?

2 p ?1 ? p ?

p2

故 ?2 的概率分布为
?2
P

1.3

1.25
2

0.2

?1 ? p ?

2 p ?1 ? p ?

p2

························································································· 6 分
18

所以 ?2 的数学期望为
E? 2 ? 1.3 ? ?1 ? p ? ? 1.25 ? 2 p ?1 ? p ? ? 0.2 ? p 2
2

? 1.3 ? ?1 ? 2 p ? p 2 ? ? 2.5 ? ? p ? p 2 ? ? 0.2 ? p 2

? ? p2 ? 0.1p ? 1.3 . ························································· 9 分

解法二: ?1 的概率分布为
?1
P

1.2

1.18

1.17

1 6

1 2

1 3

1 1 1 E?1 ? 1.2 ? ? 1.18 ? ? 1.17 ? ? 1.18 . ······································· 3 分 6 2 3

设 Ai 表示事件“第 i 次调整,价格下降” ?i ? 1 2? ,则 ,
P ?? ? 0 ? ? P A1 P A2 ? ?1 ? P ? ,
2

? ? ? ?

P ?? ? 1? ? P ? A1 ? P A2 ? P A1 P ? A2 ? ? 2 p ?1 ? p ? ,

? ? ? ?

P ?? ? 2? ? P ? A1 ? P ? A2 ? ? p2 .

故 ?2 的概率分布为
?2
P

1.3

1.25
2

0.2

?1 ? p ?

2 p ?1 ? p ?

p2

························································································· 6 分 所以 ?2 的数学期望为
E? 2 ? 1.3 ? ?1 ? p ? ? 1.25 ? 2 p ?1 ? p ? ? 0.2 ? p 2
2

? 1.3 ? ?1 ? 2 p ? p 2 ? ? 2.5 ? ? p ? p 2 ? ? 0.2 ? p 2

? ? p2 ? 0.1p ? 1.3 . ································································ 9 分

(II) 由 E?1 ? E?2 , ? p2 ? 0.1p ? 1.3 ? 1.18 , 解: 得 整理得 ? p ? 0.4?? p ? 0.3? ? 0 , 解得 ?0.4 ? p ? 0.3 .
19

因为 0 ? p ? 1 ,所以,当 E?1 ? E?2 时, p 的取值范围是 0 ? p ? 0.3.12 分 17.(2013 年陕西卷.理 19 题).(本小题满分 12 分) 在一场娱乐晚会上, 有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱, 由现场数百 名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手, 其中观众甲是 1 号歌手的歌迷, 他必选 1 号, 不选 2 号, 另 在 3 至 5 号中随机选 2 名. 观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱, 因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手. (Ⅰ) 求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率; (Ⅱ) X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求 X 的分布 列和数学期望. 【答案】(Ⅰ)
4 ; 15

(Ⅱ) X 的分布列如下:

X
P

0

1
20 75

2
33 75

3
18 75

4 75 28 数学期望 EX ? 15

【解析】(Ⅰ) 号歌手。

设事件 A 表示:观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3

观众甲选中 3 号歌手的概率为 ,观众乙未选中 3 号歌手的概率为
3 1- 。 5

2 3

所以 P(A) =

2 3 4 (- ) ?1 ? . 3 5 15 4 15

因此,观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为 (Ⅱ)

X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,则 X 可取
20

0,1,2,3. 观众甲选中 3 号歌手的概率为 ,观众乙选中 3 号歌手的概率为 。 当观众甲、乙、丙均未选中 3 号歌手时,这时 X=0,P(X = 0) =
2 3 4 (1 ? ) ? (1 ? ) 2 ? . 3 5 75 2 3 3 5

当观众甲、乙、丙中只有 1 人选中 3 号歌手时,这时 X=1,P(X = 1) =
2 3 2 3 3 2 3 3 8 ? 6 ? 6 20 ? (1 ? ) 2 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? )(1 ? ) ? ? ? ? ? . 3 5 3 5 5 3 5 5 75 75

当观众甲、乙、丙中只有 2 人选中 3 号歌手时,这时 X=2,P(X = 2) =
2 3 3 2 3 3 2 3 3 12 ? 9 ? 12 33 ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? ? ? ? . 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75 75 2 3 2 18 ?( ) ? . 3 5 75

当观众甲、 丙均选中 3 号歌手时, 乙、 这时 X=3, =3) = P(X

X 的分布列如下表: X
P 0 1 2
33 75

3
18 75

4 20 75 75 4 20 33 18 20 ? 66 ? 54 28 E? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3? ? ? 75 75 75 75 75 15 28 所以,数学期望 EX ? 15

18.(2013 安徽卷.理 21 题) (本小题满分 13 分) 某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活 动,分别由李老师和张老师负责,已知该系共有 n 位学生,每次活动 均需该系 k 位学生参加( n 和 k 都是固定的正整数) 。假设李老师和张 老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系 k 位学生,且 所发信息都能收到。 记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的 学生人数为 x
21

(Ⅰ)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率; (Ⅱ)求使 P( X ? m) 取得最大值的整数 m 。 【答案】 (Ⅰ) (Ⅱ) 当0 ?
当1 2k k 2 ?( ) . n n

k 2 ? 1时,m ? k时f (m)取最大值. n 2

2 k 1 ? ? 时, m ? 2k时P(m)取最大值 2 n 2

1 k 当 ? ? 1时,当 m ? n时P(m)取最大值 2 n

【解析】 (Ⅰ)
k k 设事件 A表示:学生甲收到李老 师的通知信息,则 P( A) ? ,P( A) ? 1 - . n n

设事件B表示:学生甲收到张老 师的通知信息,则 (B) ? P( A), P(B) ? P( A) . P
设事件C表示:学生甲收到李老 师或张老师的通知信息 .

则 P(C) = 1 - P(A) ? P(B) ? 1 ? (1 ? ) 2 ?

k n

2k k ? ( )2 . n n 2k k ? ( )2 . n n

所以, 学生甲收到李老师或张 老师的通知信息为 (Ⅱ) 设k ? n, ? ?
当0 ?

2k k ? ( ) 2 ,? ? 0,1) ( , n n

k 1 3 ? ?0?? ? ; n 2 4



k 1 3 ? ?? ? . n 2 4

1 k 3 当 ? ?1? ? ? ?1; 2 n 4

讨论如下:


?
1? ?

?1? ? ?

1 k 2 ? ? 1? 有理数,所以此种情况 不存在. 2 n 2 1 k 2 1 ? 0 ? ? 1? ? 当m ? k时,f (m)取最大值. . 2 n 2 2

当0 ?

?
1? ?

?1? 0 ? ? ?

22

? 1 3 2 k 1 ( ? ? ? 当m ? 2k时,f (m)取最大值 ?当? ? , )时 ? 1 2 4 2 n 2 ? ? 1 3 k 1 ? 当 ? 1 ? ? ? ? ?当? ? 时 ? ? , 当m ? 2k时 ? f (m)取最大值 , 1? ? 2 4 n 2 ? 3 1 k ? ( 1) ?当? ? 4 ,时 ? 2 ? n ? 1 ? 当m ? n时,f (m)取最大值 ?

综上,当0 ?

k 2 ? 1时,m ? k时f (m)取最大值. n 2

当1 -

2 k 1 ? ? 时, m ? 2k时P(m)取最大值 2 n 2

1 k 当 ? ? 1时,当 m ? n时P(m)取最大值 2 n

19. (12 分) (2013?安徽.文)为调查甲、乙两校高三年级学生某次 联考数学成绩情况,用简单随机抽样,从这两校中为各抽取 30 名高 三年级学生,以他们的数学成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎 叶图如下:

(Ⅰ)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 0.05,求甲校高三年 级学生总人数, 并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率 (60 分及 60 分以上为及格) ;

23

(Ⅱ)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 x1, x2,估计 x1﹣x2 的值. 解: (I)设甲校高三年级总人数为 n,则 =0.05,∴n=600, 又样本中甲校高三年级这次联考数学成绩的不及格人数为 5, ∴估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率 1﹣ = ; (II)设样本中甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别 为 a1,a2, 由茎叶图可知, 30(a1﹣a2 )=(7﹣5)+55+(2﹣8)+(5﹣0)+(5﹣6)+…+92=15, ∴a1﹣a2= =0.5. ∴利用样本估计总体,故估计 x1﹣x2 的值为 0.5.

20. (本小题满分 12 分) (2013 陕西.文) 有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛, 由 500 名大众评委现场投 票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为 5 组, 各组的人数如下: 组 别 人 数 5 10 15 15 5 0 0 0 0 0

A B

C

D

E

(Ⅰ) 为了调查评委对 7 位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各 组中抽取若干评委, 其中从 B 组中抽取了 6 人. 请将其余各组抽取的 人数填入下表.
24

组别 人数 抽 人数 取

A
50

B

C

D

E

100 150 6

150 50

(Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若 A, B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手, 现从这两组被抽到的评委中分别任选 1 人, 求这 2 人都支持 1 号歌手 的概率.

(Ⅰ). 组别 人数 抽取人数 A 50 3 B 100 6 C 150 9 D 150 9 E 50 3

(Ⅱ)

2 9

【解析】 (Ⅰ) 按相同的比例从不同的组中抽取人数。 从 B 组 100 人中抽取 6 人,即从 50 人中抽取 3 人,从 100 人中抽 取 6 人,从 100 人中抽取 9 人。 (Ⅱ) A 组抽取的 3 人中有 2 人支持 1 号歌手, 则从 3 人中任选 1 人,
2 3

支持支持 1 号歌手的概率为 · B 组抽取的 6 人中有 2 人支持 1 号歌手,则从 6 人中任选 1 人,支 持支持 1 号歌手的概率为 · 现从抽样评委 A 组 3 人,B 组 6 人中各自任选一人,则这 2 人都支持
25

2 6

1 号歌手的概率 P ? ? ? . 所以,从 A,B 两组抽样评委中,各自任选一人,则这 2 人都支持 1 号歌手的概率为 .
2 9

2 2 3 6

2 9

21.(2013 年上海卷 10 题) (本小题满分 5 分) 设非零常数 d 是等差数列 x1, x2 , x3 ,?, x19 的公差, 随机变量 ? 等可能地取 值 x1, x2 , x3 ,?, x19 ,则方差 D? ? _______ 【解答】 E? ? x10 , D? ?
d2 2 2 (9 ? 8 ? ? ? 12 ? 02 ? 12 ? ? ? 92 ) ? 30 | d | 19

22. (12 分) (2013?四川.理)某算法的程序框图如图所示,其中输 入的变量 x 在 1,2,3,…,24 这 24 个整数中等可能随机产生 (I)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率 pi (i=1,2,3) ; (II)甲乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编程写出程序重 复运行 n 次后,统计记录输出 y 的值为 i(i=1,2,3)的频数,以下 是甲乙所作频数统计表的部分数据. 甲的频数统计图(部分) 运行次 输出 y 的值为 1 输出 y 的值为 2 输出 y 的值为 3 数n 30 … 的频数 14 … 的频数 6 … 的频数 10 …

26

2100

1027

376

697

乙的频数统计图(部分) 运行次 输出 y 的值为 1 输出 y 的值为 2 输出 y 的值为 3 数n 30 … 2100 的频数 12 … 1051 的频数 11 … 696 的频数 7 … 353

当 n=2100 时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i=1,2,3)的频率(用分数表示) ,并判断两位同学中 哪一位所编程序符合要求的可能系较大; (III)将按程序摆图正确编写的程序运行 3 次,求输出 y 的值为 2 的 次数ξ的分布列及数学期望.

解: (I)变量 x 是在 1,2,3,…,24 这 24 个整数中随机产生 的一个数,共有 24 种可能,
27

当 x 从 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23 这 12 个数中产生时,输出的 y 值为 1,故 P1= = ; 当 x 从 2,4,8,10,14,16,20,22 这 8 个数中产生时,输 出的 y 值为 2,故 P2= = ; 当 x 从 6,12,18,24 这 4 个数中产生时,输出的 y 值为 3, 故 P3= = ; 故输出的 y 值为 1 的概率为 ,输出的 y 值为 2 的概率为 ,输 出的 y 值为 3 的概率为 ; (II)当 n=2100 时,甲、乙所编程序各自输出的 y 值为 i(i=1, 2,3)的频率如下: 输出 y 值为 1 输出 y 值为 2 的输出 y 值为 3 的 的频率 甲 乙 比较频率趋势与概率, 可得乙同学所编程序符合算法要求的可能 性较大; (III)随机变量ξ的可能取值为:0,1,2,3,P(ξ=0) = P(ξ=2)= = ξ P
28

频率

频率

= ,P(ξ=1)= = ,P(ξ=3) = ,故ξ的分布列为: 0 1 2 3

=

所以所求的数学期望 Eξ=

=1

23. (2013 年天津卷.理 16 题)(本小题满分 13 分) 一个盒子里装有 7 张卡片, 其中有红色卡片 4 张, 编号分别为 1, 2, 3, 4; 白色卡片 3 张, 编号分别为 2, 3, 4. 从盒子中任取 4 张卡片 (假设 取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的 4 张卡片中, 含有编号为 3 的卡片的概率. (Ⅱ) 再取出的 4 张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为 X, 求随机变 量 X 的分布列和数学期望. 解: (I)设取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片为事件 A,则 P(A)= =

所以,取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片的概率为 (II)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4 P(X=1)= P(X=3)= X 的分布列为 EX= = = P(X=2)= P(X=4)= =

29

24 (本小题满分 13 分)(2013 天津.文) 某产品的三个质量指标分别为 x, y, z, 用综合指标 S = x + y + z 评价 该产品的等级. 若 S≤4, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随 机抽取 10 件产品作为样本, 其质量指标列表如下: 产品编号

A1

A2

A3

A4

A5

质量指标(x, y, z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 产品编号

A6

A7

A8

A9

A10

质量指标(x, y, z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2) (Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; (Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品, (⒈) 用产品编号列出所有可能的结果; (⒉) 设事件 B 为 “在取出的 2 件产品中, 每件产品的综合指标 S 都等于 4”, 求事件 B 发生的概率. 解: (Ⅰ)计算 10 件产品的综合指标 S,如下表:

其中 S≤4 的有 A1,A2,A4,A5,A7,A9 共 6 件,故样本的一等品率 为 .

从而可估计该批产品的一等品率为 0.6; (Ⅱ) (i)在该样本的一等品种,随机抽取 2 件产品的所有可能结果 为{A1,A2},{A1,A4},{A1,A5},

30

{A1,A7},{A1,A9},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A7},{A2,A9},{A4, A5},{A4,A7}, {A4,A9},{A5,A7},{A5,A9},{A7,A9}共 15 种. (ii) 在该样本的一等品种, 综合指标 S 等于 4 的产品编号分别为 A1, A2,A5,A7. 则事件 B 发生的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A5},{A1,A7},{A2, A5},{A2,A7},{A5,A7},共 6 种. 所以 p(B)= .

25.

(本题满分 14 分) (2013 浙江.理)

设袋子中装有 a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且规定:取出一个红 球得 1 分,取出一个黄球得 2 分,取出一个蓝球得 3 分。 (Ⅰ)当 a=3,b=2,c=1 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到 的机会均等)2 个球。记随机变量?为取出此 2 球所得分数之和,求? 的分布列; (Ⅱ) 从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球,记随机变量? 为取出此球所得分数。若 E?= 5 ,D?= 5 ,求 a:b:c
3 9

解:(I)由题意得?=2,3,4,5,6
6? 6 4 P(? ? 4) ? 2 ? 3 ?1 ? 2 ? 2 ? 5 6? 6 18

故 P(? ? 2) ? 3 ? 3 ? 1

P(? ? 3) ? 2 ? 3 ? 2 ? 1 6? 6 3 P(? ? 5) ? 2 ? 2 ?1 ? 1 6?6 9

P(? ? 6) ? 1?1 ? 1 6 ? 6 36

所以?的分布列为
31

? P

2
1 4

3
1 3

4
5 18

5
1 9

6
1 36

(II)由题意知?的分布列为 ?, 1, 2, 3 P,
a b c , , a?b?c a?b?c a?b?c

所以 E?=
a + 2b + 3c = 5 3 a?b?c a?b?c a?b?c

D?=(1- 5 )2·

化简得 2a ? b ? 4c ? 0 解得a=3c,b=2c 故a:b:c=3:2:1

?

3

a +(2- 5 )2· b + (3- 5 )2· c = 5 3 3 a?b?c a?b?c a?b?c 9

a ? 4b ? 11c ? 0

26.(2013 浙江卷 19 题) .(本小题满分 14 分) 已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球的 2 分,取出一个黑球的 1 分.现从该箱中任取(无放回,且每球取 到的机会均等)3 个球, 记随机变量 X 为取出 3 球所得分数之和. (Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)求 X 的数学期望 E(X). 【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点。 (Ⅰ) X 的可能取值有:3,4,5,6.
P ( X ? 3) ? P( X ? 5) ?
3 C5 5 ? ; 3 C9 42

P( X ? 4) ? P ( X ? 6) ?

1 C52 C4 20 ? 3 42 C9



1 2 C5 C4 15 ? ; 3 42 C9

3 C4 2 ? . 3 C9 42

32

故,所求 X 的分布列为

X P

3
5 42

4
20 10 ? 42 21

5
15 5 ? 42 14

6
2 1 ? 42 21

(Ⅱ) 所求 X 的数学期望 E(X)为:

E(X)= ? i ? P( X ? i) ? 21 .
i?4

6

91

27(2013 年重庆卷.理 18 题)(本小题满分 14 分) 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先 从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球,再从装有 1 个蓝球 与 2 个白球的袋中任意摸出1 个球, 根据摸出 4 个球中红球与蓝球的个 数,设一、二、三等奖如下: 奖级 一等奖 二等奖 三等奖 摸出红、蓝球个数 3红1蓝 3红0蓝 2红1蓝 获奖金额 200 元 50 元 10 元

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级。 (1)求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率; (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列与期望 E ? X ? 。 解: (1)设 Ai 表示摸到 i 个红球,Bi 表示摸到 i 个蓝球,则与相互独 立(i=0,1,2,3) ∴P(A1)= =

33

(2)X 的所有可能取值为 0,10,50,200 P(X=200)=P(A3B1)=P(A3)P(B1)= P(X=50)=P(A3)P(B0)= P(X=10)=P(A2)P(B1)= P(X=0)=1﹣ ∴X 的分布列为 = = =

EX=

=4 元

28. (13 分) (2013?重庆卷.文)从某居民区随机抽取 10 个家庭,获 得第 i 个家庭的月收入 xi(单位:千元)与月储蓄 yi(单位:千元) 的数据资料,算得 , , , .

(Ⅰ)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y=bx+a; (Ⅱ)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关; (Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.

附:线性回归方程 y=bx+a 中,



,其中 ,

为样本平均值,线性回归方程也可写为



34

解: (Ⅰ)由题意可知 n=10, = 故 =720﹣10×82=80,

= =8, =

= =2,

=184﹣10×8×2=24,

故可得 b=

= =0.3,a=

=2﹣0.3×8=﹣0.4,

故所求的回归方程为:y=0.3x﹣0.4; (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 b=0.3>0,即变量 y 随 x 的增加而增加,故 x 与 y 之间是正相关; (Ⅲ) x=7 代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为 y=0.3×7﹣0.4=1.7 把 (千元)

29.(2013 北京卷 16 题)(本小题共 13 分) 下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量 指数小于 100 表示空气质量优良,空气质量指数大于 200 表示空气 重度污染, 某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市, 并停留 2 天

(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率
35

(Ⅱ)设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求 X 的分布列与数 学期望。 (Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结 论不要求证明)

30(本小题共 13 分)(2013 北京.文) 下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图. 空气质量指 数小于 100 表示空气质量 优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染.某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一 天到达该市,并停留 2 天.
空 250 气 质 200 量 指 150 数
100 50 25 0 1日 2日 3日 4日 5日 86 57 40 6日 36 7日 37 8日 9日 10日 11日 12日 13日 14日 日期 220 217 160 143 121 86 79 160 158

(Ⅰ)求此人到达当日空气质量优良的概率; (Ⅱ)求此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率; (Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结 论不要求证明) 解: (Ⅰ)由图看出,子 1 日至 13 日 13 天的时间内,空气质量优良的 是 1 日、2 日、3 日、7 日、12 日、13 日共 6 天. 由古典概型概率计算公式得,此人到达当日空气质量优良的概率 p= ; (Ⅱ) 此人在该市停留期间两天的空气质量指数 (86, 、 25) (25, 、 57) (57,143)(143,220)(220,160) 、 、 (160,40)(40,217)(217,160)(160,121)(121,158) 、 、 、 、 、 (158,86)(86,79)(79,34) 、 、 共 13 种情况. 其中只有 1 天空气重度污染的是(143,220)(220,160)(40, 、 、 217)(217,160)共 4 种情况,所以, 、 此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率 p= ; (Ⅲ)因为方差越大,说明三天的空气质量指数越不稳定,由图看出 从 5 日开始连续 5、6、7 三天的空气质量指数方差最大.

37


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