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2016-2017学年高中数学人教A版选修4-5课件:第一讲 二 2.绝对值不等式的解法


2.绝对值不等式的解法

1.|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 只需将ax+b看成一个整体,即化成|x|≤a,|x|≥a(a>0)型不 等式求解.

-c≤ax+_____ b≤c , |ax+b|≤c(c>0)型不等式的解法:先化为__________
再由不等式的性质求出原不等式的解集. 不等式|ax+b|≥c(c>0)的解法:先化为

ax+b≥c



ax+b≤-c ,再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集. ____________

2.|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的 几何意义 求解,体现数形结合思 想,理解绝对值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解 释是解题关键. ②以绝对值的 零点 为分界点,将数轴分为几个区间,利用 “零点分段法”求解,体现分类讨论的思想.确定各个绝对值 符号内多项式的正、负性,进而去掉绝对值符号是解题关键. ③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现函数与方程 的思想,正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函 数的增减性)是解题关键.

|ax+b|≤c与|ax+b|≥c(c>0)型的不等式的解法
[例1] 解下列不等式:

(1)|5x-2|≥8;(2)2≤|x-2|≤4. [思路点拨] 利用|x|>a及|x|<a(a>0)型不等式的解法求解.

[ 解]

6 (1)|5x-2|≥8?5x-2≥8或5x-2≤-8?x≥2或x≤- , 5
? ? ?. ? ?

? ? ? 6 ? ? ∴原不等式的解集为 x x≥2或x≤-5 ? ? ? ? ?|x-2|≥2, (2)原不等式价于? ? ?|x-2|≤4.

① ②

由①得x-2≤-2,或x-2≥2,∴x≤0或x≥4. 由②得-4≤x-2≤4,∴-2≤x≤6. ∴原不等式的解集为{x|-2≤x≤0或4≤x≤6}.

|ax+b|≥c和|ax+b|≤c型不等式的解法: ①当c>0时,|ax+b|≥c?ax+b≥c或ax+b≤-c,|ax+ b|≤c?-c≤ax+b≤c. ②当c=0时,|ax+b|≥c的解集为R,|ax+b|<c的解集为?. ③当c<0时,|ax+b|≥c的解集为R,|ax+b|≤c的解集为?.

1.解下列不等式: (1)|3-2x|<9;(2)|x-x2-2|>x2-3x-4;(3)|x2- 3x-4|>x+1.

解:(1)∵|3-2x|<9,∴|2x-3|<9.∴-9<2x-3<9. 即-6<2x<12.∴-3<x<6. ∴原不等式的解集为{x|-3<x<6}.

(2)∵|x-x2-2|=|x2-x+2|, 而x
2

? 1 ?2 7 -x+2=?x-2? + >0, 4 ? ?

∴|x-x2-2|=|x2-x+2|=x2-x+2. 故原不等式等价于x2-x+2>x2-3x-4?x>-3. ∴原不等式的解集为{x|x>-3}. (3)不等式可转化为x2-3x-4>x+1或x2-3x-4<-x-1, ∴x2-4x-5>0或x2-2x-3<0. 解得x>5或x<-1或-1<x<3, ∴不等式的解集是(5,+∞)∪(-∞,-1)∪(-1,3).

2.已知常数a满足-1<a<1,解关于x的不等式:ax+|x+1|≤1.
解:若x≥-1,则ax+x+1≤1, 即(a+1)x≤0.因为-1<a<1,所以x≤0. 又x≥-1,所以-1≤x≤0.若x<-1,则ax-x-1≤1, 2 即(a-1)x≤2.因为-1<a<1,所以x≥ . a-1 a+1 2 因为-1<a<1,所以 -(-1)= <0. a-1 a-1 2 2 所以 ≤x<-1.综上所述, ≤x≤0. a-1 a- 1
? 2 ? ? 故不等式的解集为?a-1,0? ?. ? ?

|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法
[例2] 解不等式|x-3|-|x+1|<1. 解该不等式,可采用三种方法:(1)利用绝对

[思路点拨]

值的几何意义;(2)利用各绝对值的零点分段讨论;(3)构造函 数,利用函数图象分析求解.

[解]

法一:在数轴上-1,3,x对应的点分别为A,

1 C,P,而B点对应的实数为 ,B点到C点的距离与到A点的 2 距离之差为1.

由绝对值的几何意义知,当点P在射线Bx上(不含B点)
? ? ? 1 时不等式成立,故不等式的解集为?x?x>2 ? ? ? ? ? ?. ? ?

? ?x<-1, 法二:原不等式?①? ? ?-?x-3?+?x+1?<1 ? ?-1≤x<3, 或②? ? ?-?x-3?-?x+1?<1 ? ?x≥3, 或③? ? ??x-3?-?x+1?<1. ? ? ?1 ①的解集为?,②的解集为?x?2<x<3 ? ? ? ? ? ?, ? ?

③的解集为{x|x≥3}.
? ? ? 1 综上所述,原不等式的解集为?x?x>2 ? ? ? ? ? ?. ? ?

法三:将原不等式转化为|x-3|-|x+1|-1<0, 构造函数y=|x-3|-|x+1|-1, ? 3, ? 即y=?-2x+1, ?-5, ? 数, 函数与x轴的交点是
?1 ? ? ,0? ?2 ?

x≤-1, -1<x<3, x≥3.

作出函数的图象(如图所示),它是分段函

,由图象可知,

1 当x> 时,有y<0, 2 即|x-3|-|x+1|-1<0,

? ? ? 1 所以原不等式的解集是?x?x>2 ? ? ?

? ? ?. ? ?

|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的三 种解法:分区间(分类)讨论法、图象法和几何法.分区间讨 论的方法具有普遍性,但较麻烦;几何法和图象法直观,但 只适用于数据较简单的情况.

3.解不等式|2x-1|+|3x+2|≥8. 2 解:①当x≤- 时, 3 |2x-1|+|3x+2|≥8?1-2x-(3x+2)≥8?-5x≥9 9 9 ?x≤- ,∴x≤- ; 5 5 2 1 ②当- <x< 时,|2x-1|+|3x+2|≥8 3 2 ?1-2x+3x+2≥8?x+3≥8?x≥5,∴x∈?; 1 ③当x≥ 时,|2x-1|+|3x+2|≥8?5x+1≥8 2 7 7 ?5x≥7?x≥ ,∴x≥ . 5 5 ? ? 9? ?7 ∴原不等式的解集为?-∞,-5?∪?5,+∞?. ? ? ? ?

? 1? 4.设函数f(x)=?x+a?+|x-a|(a>0). ? ?

(1)证明:f(x)≥2; (2)若f(3)<5,求a的取值范围.
解:(1)证明:由a>0,得f(x)=
? ? 1 1 a|≥?x+a-?x-a??=a+a≥2, ? ? ? 1? ?x+ ? a? ?

+|x-

所以f(x)≥2.

? 1? (2)f(3)=?3+a?+|3-a|. ? ?

5+ 21 1 当 a>3 时,f(3)=a+a,由 f(3)<5,得 3<a< . 2 1+ 5 1 当 0<a≤3 时,f(3)=6-a+a,由 f(3)<5,得 <a≤3. 2 综上所述,a
?1+ 的取值范围是? ? 2 ?

5

5+ 21? ? . , 2 ? ?

含绝对值不等式的恒成立问题
[例3] 已知不等式|x+2|-|x+3|>m.

(1)若不等式有解; (2)若不等式解集为R; (3)若不等式解集为?,分别求出m的取值范围. [思路点拨] 解答本题可以先根据绝对值|x-a|的意

义或绝对值不等式的性质求出|x+2|-|x+3|的最大值和 最小值,再分别写出三种情况下m的取值范围.

[ 解]

法一:因|x+2|-|x+3|的几何意义为数轴上任意一点

P(x)与两定点A(-2),B(-3)距离的差. 即|x+2|-|x+3|=|PA|-|PB|. 又(|PA|-|PB|)max=1, (|PA|-|PB|)min=-1. 即-1≤|x+2|-|x+3|≤1. (1)若不等式有解,m只要比|x+2|-|x+3|的最大值小即可, 即m<1,m的取值范围为(-∞,1); (2)若不等式的解集为R,即不等式恒成立,m只要比|x+2|- |x+3|的最小值还小,即m<-1,m的取值范围为(-∞,-1);

(3)若不等式的解集为?,m只要不小于|x+2|-|x+3|的最大值 即可,即m≥1,m的取值范围为[1,+∞). 法二:由|x+2|-|x+3|≤|(x+2)-(x+3)|=1,|x+3|-|x+ 2|≤|(x+3)-(x+2)|=1, 可得-1≤|x+2|-|x+3|≤1. (1)若不等式有解,则m∈(-∞,1). (2)若不等式解集为R,则m∈(-∞,-1). (3)若不等式解集为?,则m∈[1,+∞).

问题(1)是存在性问题,只要求存在满足条件的x即可; 不等式解集为R或为空集时,不等式为绝对不等式或矛盾不 等式,属于恒成立问题.恒成立问题f(x)<a恒成立? f(x)max<a,f(x)>a恒成立?f(x)min>a.

5.把本例中的“>”改成“<”,即|x+2|-|x+3|<m时,分别求出 m的取值范围.

解:由例题知-1≤|x+2|-|x+3|≤1,所以 (1)若不等式有解,m只要比|x+2|-|x+3|的最小值大即可,即 m∈(-1,+∞); (2)若不等式的解集为R,即不等式恒成立,m只要比|x+2|-|x +3|的最大值大即可,即m∈(1,+∞); (3)若不等式的解集为?,m只要不大于|x+2|-|x+3|的最小值即 可,即m∈(-∞,-1].

6.把本例中的“-”改成“+”,即|x+2|+|x+3|>m时,分 别求出m的取值范围.

解:|x+2|+|x+3|≥|(x+2)-(x+3)|=1,即|x+2|+|x+3|≥1. (1)若不等式有解,m为任何实数均可,即m∈R; (2)若不等式解集为R,即m∈(-∞,1); (3)若不等式解集为?,这样的m不存在,即m∈?.

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