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三角函数专题——函数图像的平移


三角函数专题——函数图像的平移 (敖 东)
三角函数图像的平移问题是高考考试中的一个重要考点,在历年高考中几乎 都出现了, 同样对于广大考生来说也是一个必须重点掌握的内容,那么我们要任 何才能完全掌握这一类型的考题呢! 下面我们把此类问题做归纳以下三种类型: 类型一:简单→复杂 即 由 最 基 本 的 y ? A sin x ( 或 者 y ? A c o sx ) 的 函 数 图 像 , 如 何 平 移 到
y ? A sin(?x ? ? ) ? b (或者 y ? A cos(?x ? ? ) ? b )的函数图像。
y ? sin( 2 x ?

?
3

例1

) ?1

的函数图像,需要由 y ? sin x 如何平移的到?

? ? y ? sin( x ? ) 6 ,再横向压缩到原 解: (方法一)由 y ? sin x 先向右平移 6 得到
1 ? y ? s i n2 x ? ) ( 3 ,再将图像向上平移 1 个单位,即得 来得到 2 倍得到 y ? s i n2 x ? (

?
3

) ?1



1 i (方法二) y ? sn x 先横向压缩到原来的 2 倍得到 y ? sin 2 x , 由 再向右平移

? ? ? y ? sin( 2 x ? ) y ? sin( 2 x ? ) ? 1 3 ,再将图像向上平移 1 个单位,即得 3 6 得到 。
例 2.(2009 山东卷理)将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 个单位,所得图象的函数解析式是( A. y ? cos 2 x B. y ? 2cos 2 x ). C. y ? 1 ? sin( 2 x ?

? 个单位, 再向上平移 1 4

?
4

)

D. y ? 2sin 2 x

【解析】:将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移

y ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x 的图象,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式为 2

?

? ? 个单位,得到函数 y ? sin 2( x ? ) 即 4 4

y ? 1 ? cos 2x ? 2cos2 x ,故选 B.

类型二:复杂→简单 即由 y ? A sin(?x ? ? ) ? b(或者 y ? A cos(?x ? ? ) ? b )的函数图像,如何平移 到 y ? A sin x (或者 y ? A cos x )的函数图像。

例 3、 y ? sin x 的函数图像,需要由

y ? sin( 2 x ?

?
3

) ?1

如何平移的到?

方法就是例 1 中反方向平移,其中左移、右移相应的改为右移、左移,向上 平移改为向下平移,压缩改为伸长。 类型三:复杂→复杂 即由 y ? A sin(?x ? ? ) ? b(或者 y ? A cos(?x ? ? ) ? b )的函数图像,如何平移 到

y ? A1 sin(?1 x ? ?1 ) ? b1 (或者 y ? A1 cos(?1 x ? ?1 ) ? b1 )的函数图像。
一、 三角函数名称不变的函数平移(正弦→正弦,余弦→余弦) 例 4、将
y ? sin( x ?

?

3 的图像如何平移后的到 )

)

y ? sin( 2 x ?

?

) 3 的图像。

解:由

y ? sin( x ?

?

1 ? y ? sin( 2 x ? ) 3 先横向压缩到原来的 2 倍得到 3 ,再向右平移

? ? y ? sin( 2 x ? ) 3 3 得到
练习: (2006 江苏)为了得到函数 y ? 2 sin( ? ), x ? R 的图像,只需把函数
6
y ? 2 sin x, x ? R 的图像上所有的点

x 3

?

(A)向左平移 坐标不变) (B)向右平移 坐标不变) (C) 向左平移 坐标不变) (D) 向右平移 坐标不变)

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵
1 3

1 3

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵

?
6

个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍 (纵

?
6

个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍 (纵

二、 三角函数名称改变的函数平移(余弦→正弦,正弦→余弦)

例 5、要得到 y ? sin( 2 x ? 何平移?

?
6

), x ? R 的函数图像,需要将

y ? cos 2 x

的函数图像如

解:化成同名三角函数(反诱导) y ? cos 2 x ? sin( 2 x ?
y ? sin( 2 x ?

?
2

) ? sin( 2( x ?

?
4

)) ,

?
6

) ? sin( 2( x ?

?
12

)) ? sin( 2( x ?

?
4

?

?
3

))

所以 将 练 习:

y ? cos 2 x

向右平移

? ? 即得到 y ? sin( 2 x ? ), x ? R 。 6 3
y ? sin x

1、要得到 y ? cos( x ? 移?

?
3

), x ? R 的函数图像,需要将

的函数图像如何平

2、 (2005 天津理) 要得到函数 y ? 2 cos x 的图象, 只需将函数 y ? 2 sin( 2 x ? 的图象上所有的点的 (A)横坐标缩短到原来的 度 (B)横坐标缩短到原来的 度 (C)横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向左平行移动 度 (D)横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向右平行移动 度 3、(2004 全国Ⅰ卷文、理)为了得到函数 y ? sin( 2 x ? .
y ? cos 2 x 的图象(

?
4

)

1 ? 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长 2 8
1 ? 倍(纵坐标不变) ,再向右平行移动 个单位长 2 4

? 个单位长 4
? 个单位长 8

?
6

) 的图象,可以将函数



6 由复杂→复杂的变换步骤总结:\

? 个单位长度 6 ? C.向左平移 个单位长度
A.向右平移

? 个单位长度 3 ? D.向左平移 个单位长度
B.向右平移
3

1、异名化同名(反诱导)→2、压缩→3、平移 四、三角函数按向量平移
?x π? ? π ? ? 例 6、(2007 湖北 理科)将 y ? 2 cos ? ? ? 的图象按向量 a ? ? ? , 2 ? 平移,则平移 ?3 6? ? 4 ?

后所得图象的解析式为(



A. y ? 2cos ? ? ? ? 2 ? ? 3 4
x π ? ?

B. y ? 2cos ? ? ? ? 2 ? ? 3 4
x π ?

C. y ? 2 cos ? ? ?
x ?3

π? ??2 12 ?

? x π D. y ? 2 cos ? ? ? ? 2 ? ? ? 3 12 ?

答案:A 练 习: (2006 安徽文、理)将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图 ? ? ? ? 象按向量 a ? ? ? , 0 ? 平移,平移后的图象如图所 ? 6 ? 示,则平移后的图象所对应函数的解析式是( ) ? ? A. y ? sin( x ? ) B. y ? sin( x ? ) 6 6 ? ? C. y ? sin(2 x ? ) D. y ? sin(2 x ? ) 3 3

小 结:
?简单 ? 复杂? ? ?过程互逆 ?复杂 ? 简单? ? 数平移 ?三角函数名称不变的函 ? ? ? 三角函数平移? 公式) ?1、同名化异名(反诱导 ? ? ? ? 数平移?2、压缩 ?复杂 ? 复杂?三角函数名称改变的函 ? ?3、平移 ? ? ? ? ?三角函数按向量的平移 ? ? ?


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