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弧度制教案


弧度制(一)教学设计 教学目标:1、知识目标 1)理解 1 弧度的角的意义。 2)理解弧度制的定义,建立弧度制的概念。 2、能力目标 1)掌握角度制与弧度制的换算公式并能熟练地进行角度制与弧度制的换算。 2)牢记特殊角的弧度数与角度数的互化。 3、情感目标 通过弧度制一弧度角及弧度制定义的探索过程,培养学生主动探索、勇于 发现的精神,渗透由特殊到一般的思想方法。通过弧度制与角度制之间的联系 及转化,渗透广泛联系,透过本质看问题的辨证唯物主义的思想。 教学重点:理解弧度的意义,正确进行弧度与角度的换算。 教学难点:弧度的概念,弧度制与角度制之间的关系。 教学方法:目标式教学. 教学方法:
以问题为载体

设置情境、激发兴趣

教 学 方 法

以学生为中心

提出问题、探索交流

以合作交流为手段

思维碰撞、加深理解

以提 高能力为 目的

变式训练、升华理解



遵循四条原则: 以问题为载体; 以学生为主体; 以合作交流为手段; 以能力提高为目的。 教学过程: (一) 情景设定

重视四项过程: 概念的提取过程; 知识的形成过程; 解题的探索过程; 情感的体验过程。

初中几何研究过角的度量, 当时是用度来做单位度量角的。 那么 1 的角是如何定义的? 规定周角的

?

1 ? 做为 1 的角。 360

我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制,有了它就可以计算弧长,公式为

n? r l? 。 180
角度制是度量角的一种单位制。单位制这个概念我们并不陌生,比如说测量长度的单 位制,古代常以人体的一部分作为长度的单位。例如我国三国时期(公元三世纪初)王肃编的 《孔子家语》一书中记载有: “布指知寸,布手知尺,舒肘知寻。 ”两臂伸开长八尺,就是一

寻。还有记载说: “十尺为丈,人长八尺,故曰丈夫。 ”可见,古时量物,寸与指、尺与手、 寻与身有一一对应的关系。现在国际上通用的是国际单位制中的“米制” ,米的标准长度, 等于光在真空中在 1/299792458 秒的时间间隔内所传播路径的长度。 “米制”教之“尺、 寸??”应用起来要方便得多。 在角度制下,当两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时,由于运算进制非十进 制,总给我们带来不少困难。那么我们能否重新选择角单位,使在该单位制下两角的加减运 算与十进制下的加减法运算一样呢?今天我们就来常识研究这种新单位制。 (从熟悉的单位制出发, 让学生意识到给出角度新定义的必要性。 意识到单位制的普遍性。 )

(二) 探索研究 跟上面类似,长度制的选择都是要选定一个不变量来作为基本量。如“米” , “度” ,那 么我们要找到一种新的度量角度的角度制,则必须也找到相应的不变量。

问题一:角度为 30? , 60? 的圆心角,当半径 r ? 1, 2,3, 4 时,分别计算对应的弧长 l ,
再计算弧长与半径的比。

n? r 30 ? ? ?1 ? r ? ? ? , ? 180 180 6 l 6 n? r 30 ? ? ? 2 ? r ? r ? 2 时, l ? ? ? , ? 180 180 3 l 6 n? r 30 ? ? ? 3 ? r ? r ? 3 时, l ? ? ? , ? 180 180 2 l 6 n? r 30 ? ? ? 4 2? r ? r ? 4 时, l ? ? ? , ? 180 180 3 l 6 n? r 60 ? ? ?1 ? r ? ? ? , ? ? ? 60? , r ? 1 时, l ? 180 180 3 l 3 n? r 60 ? ? ? 2 2? r ? r ? 2 时, l ? ? ? , ? 180 180 3 l 3 n? r 60 ? ? ? 3 r ? r ? 3 时, l ? ? ?? , ? 180 180 l 3 n? r 60 ? ? ? 4 4? r ? r ? 4 时, l ? ? ? , ? 180 180 3 l 3

? ? 30? , r ? 1 时, l ?

发现什么规律? 结论:圆心角不变则比值不变。 因此比值的大小只与角的大小有关,我们可以利用这个比值来度量角,这就是度量角 的另外一种单位制——弧度制。 (提出问题,由特殊向一般转化符合新教材的理念,学生易于理解和掌握。 ) (三) 知识建构 1. 定义: 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角。 它的单位符号是 rad , 读作弧度。这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制。 如下图,依次是 1rad , 2rad , 3rad , ? rad

2r

3r
3rad

l
? rad

r
1rad

r r

2rad

r

r

r

问题二: (1)若弧是一个半圆,圆心角所对的弧度数是多少?若是一个圆呢?
(2)正角的弧度数是什么数?负角呢?零角呢?(从正数,负数,零方面去引 导) (3)在弧度制下弧长的计算公式应该怎么写呢? l ? 径) (4)弧度制与角度制是两种不同的方法,它们之间存在矛盾吗?(不存在矛盾, 只是改变了观察、处理方法,使得单位、进制不同,因此结果就有所不同。 )弧度制是否运 用起来简洁呢?(是的,进制是十进制的,运算起来要简便。 ) (回到我们要解决的目标,理解弧度制的可行性与优越性。 ) 那么角度制与弧度制之间怎样换算呢? 2. 弧度制与角度制之间的互化 ∵ 360?=2? rad ∴ 1?= ∴180?=? rad

? ? r ( l 为弧长, r 为半

?
180

rad ? 0.01745 rad
?

? 180? ? ? 1rad ? ? ? ? 57.30 ? 57 18' ? ? ?
公式:

?
180

?

这个角的弧度数 这个叫的角度数

(理解概念后,提出角度与弧度之间的换算公式,讲弧度与角度有机联系。 ) (四) 例题讲解 例 11 把 67 30' 化成弧度
?

? 1? 解: 67 30' ? ? 67 ? ? 2?
?

?

180 3 例 2 把 ?rad 化成度 5 3 3 ? ? 解: ?rad ? ? 180 ? 108 5 5
注意几点:

∴ 67 30' ?
?

?

rad ? 67

1 3 ? ?rad 2 8

1.今后在具体运算时, “弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 3rad , sin?表示?rad 角的正弦; 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住: 角度 弧度 角度 弧度 0° 0 210° 7π /6 30° π /6 225° 5π /4 45° π /4 240° 4π /3 60° π /3 270° 3π /2 90° π /2 300° 5π /3 120° 2π /3 315° 7π /4 135° 3π /4 330° 11π /6 150° 5π /6 360° 2π

如:3 表示

180° π

4.应确立如下的概念:角的概念推广之后,无论用角度制还是弧度制都能在角的 集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系 正角 零角 负角 任意角的集合 (五) 能力拓展 1.用弧度制表示: (1) 终边在 x 轴上的角的集合 (2) 终边在 正实数 零 负实数
王新敞
奎屯 新疆

实数集 R

y 轴上的角的集合

(3) 终边在坐标轴上的角的集合 解: (1) 终边在 x 轴上的角的集合 S1 ? ?? | ? ? k? , k ? Z ? (2) 终边在 y 轴上的角的集合 S 2 ? ?? | ? ? k? ?

? ?

?

? ,k ? Z? 2 ?

(3) 终边在坐标轴上的角的集合 S 3 ? ?? | ? ?

? ?

k? ? ,k ? Z? 2 ?

? 2.将 ?1500 表示成 2k? ? ? ( 0 ? ? ? 2? ,k ? z )的形式,并指出是第几象限角。

解: ?1500 ? ?1500 ?
?

?
180

??

? 53? 是第四象限角

25? 5? ? 10? ? 3 3

? ?1500 是第四象限角。
?

3. 若两个角的和是 1 弧度,此两角的差是 1 ,试求这两个角。

?

? ? ? ?1 { ? 解:设这两个角为 ? , ? 弧度,则 ? ?? ?
解得 ? ?

180

1 ? 1 ? ? ,? ? ? 2 360 2 360

(数学是有用的,数学的目的在于应用,在于提高思维。设计提高题就是为了训练学生应用 数学的意识和能力。 ) (六) 课时小节: (1)弧度制的定义。 (2)角度制与弧度制的互化。 (3)特殊角的弧度数。 (七) 课后作业:习题 4.2 的 2,3,4,5。 (八) 板书设计: 课题 定义 例题 例题

姓名:余信欢 年龄:27 邮箱:411400736@qq.com

职称:中二

工作单位:宜昌市第一中学


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