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宁夏银川一中2015届高三第四次模拟考试 数学(文) Word版含答案


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2015 年普通高等学校招生全国统一考试








(银川一中第四次模拟考试)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题为选 考题,其它题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试结 束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的 姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;非选 择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑。

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知全集 U ? R .集合 A ? ?x | x ? 3?, B ? ?x | log2 x ? 0?,则 A ? CU B ? A. C.

? x 1 ? x ? 3? ? x x ? 3?

B. D.

?x | x ? 0或1 ? x ? 3?

? x 1 ? x ? 3?

2.若 a 是复数 z1 ?

1? i 3 的实部, b 是复数 z 2 ? (1 ? i) 的虚部,则 ab 等于 2?i B. ? 2 5 C. 2 3 D. ? 2 3

A.

2 5

3.下列说法错误的是 A. xy ? 10 是 x ? 5 或 y ? 2 的充分不必要条件 B.若命题 p : ?x ? R,x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R,x ? x ? 1 ? 0
2 2

C.线性相关系数 r 的绝对值越接近 1 ,表示两变量的相关性越强. D.用频率分布直方图估计平均数,可以用每个小矩形的高乘以底边中点横坐标之和. 4.执行如图所示的程序,输出的结果为 20,

-1-

则判断框中应填入的条件为 A. a ? 5 C. a ? 3 5.把函数 y ? sin( x ? 缩短到原来的 B. a ? 4 D. a ? 2

?
6

) 图象上各点的横坐标

1 倍(纵坐标不变) ,再将图 2

象向右平移

? 个单位,那么所得图象的一 3

条对称轴方程为 A. x ?

?
8

B. x ? ?

?
4

C. x ? ?

?
2

D. x ?

?
4

? x ? y ? 1 ? 0, ? 6.设 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? x ? 3 y ? 3 ? 0, ?
A. 8 B. 7 C. 2 D. 1

7.已知一个几何体的正视图和俯视图如右图所示,正视图是边长为 2a 的正三角形,俯视图是边长为 a 的正六边形,则该几何体的侧 视图的面积为 A.

3 2 a 2
2

B.

3 2 a 2
2

C. 3a

D. 3a

8.函数 f(x)的部分图像如图所示,则 f(x)的解析式可以是 A.f(x)=x+sinx C.f(x)=x·cosx B.f(x)=x·sinx π 3π D.f(x)=x(x- )(x- ) 2 2

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是 9.以双曲线 10 15
A. x ? y ? 10x ? 10 ? 0
2 2 2 2

B. x ? y ? 10x ? 15 ? 0
2 2

C. x ? y ? 10x ? 15 ? 0

D. x ? y ? 10x ? 10 ? 0
2 2

3 10.已知角 ? 在第四象限,且 cos? ? ,则 5

1 ? 2 cos(2? ? sin(? ?

?

?
2

) 4 等于

)

-2-

A.

2 5

B.

7 5

C.

14 5

D. ?

2 5

11.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,O 为坐标原点. 若|AF|=3, 则?AOB 的面积为 A.

2 2

B. 2

C.

3 2 2

D. 2 2

12 . 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x) 满 足 f (2 ? x) ? f ( x) , 且 在 ?0,1? 上 单 调 递 减 , 若 方 程

f ( x) ? ?1 在 ?0,1? 上有实数根,则方程 f ( x) ? 1 在区间 ?? 1,7? 上所有实根之和是
A.12 B.14 C.6 D. 7

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.在 ?ABC 中, A ? 60?, AC ? 2, BC ? 3 ,则 AB 等于________.

? x 2 ? 2, x?0 14.函数 f ?x ? ? ? 的零点个数是________. ?2 x ? 6 ? ln x, x ? 0
15.已知四面体 P—ABC 中,PA=PB=4,PC=2,AC=2 外接球的表面积为______. 16.已知向量 a ? (cos? , sin? ) ,向量 b ? ( 3 ,?1) ,则|2 a - b |的最大值与最小值的和为 ______. 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分) 已知各项都不相等的等差数列{an},a4=10,又 a1,a2,a6 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn ? 2 a ? 2n ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
n

5 ., PB ? 平面 PAC,则四面体 P—ABC

18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是矩形, 侧面 PAB 是 正三角形,AB=2,BC= 2 ,PC= 6 .E、H 分别为 PA、AB 的中点. (1)求证:PH⊥AC; (2)求三棱锥 P—EHD 的体积.
-3-

19.(本小题满分 12 分) 在某高校自主招生考试中,所有选报 II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅 读与表达”两个科目的考试,成绩分为 A, B, C , D, E 五个等级. 某考场考生的两科考试成绩数 据统计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人. (1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数; (2)若等级 A, B, C , D, E 分别对应 5 分, 4 分, 3 分, 2 分, 1 分,求该考场考生“数学与逻 辑”科目的平均分; (3) 已知参加本考场测试的考生中, 恰有两人的两科成绩均为 A . 在至少一科成绩为 A 的 考生中,随机抽取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为 A 的概率.

20. (本小题满分 12 分) 平面直角坐标系中,O 为坐标原点,给定两点 A(1,0),B(0,-2),点 C 满足 OC ? ? OA ? ? OB , 其中 ? , ? ? R ,且 ? ? 2? ? 1 . (1)求点 C 的轨迹方程; (2)设点 C 的轨迹与椭圆 求证:
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 交于两点 M,N,且以 MN 为直径的圆过原点, a 2 b2

1 1 ? 为定值; a 2 b2

(3)在(2)的条件下,若椭圆的离心率不大于

3 ,求椭圆长轴长的取值范围. 2

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? a ln x ? x ?1
2

(1)求曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程;

?

?

-4-

(2)若关于 x 的不等式 f ? x ? ? b ? x ?1? 在 ? , ?? ? 上恒成立,其中 a , b 为实数,求 a , b 所 满足的关系式及 a 的取值范围.

?1 ?e

? ?

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1;几何证明选讲 如图所示, AB 为圆 O 的直径, CB , CD 为圆 O 的切线,

B , D 为切点.
⑴ 求证: AD // OC ; ⑵ 若圆 O 的半径为 2,求 AD ? OC 的值.

23.(本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? 2 cos? ( ? 为参数). ? y ? ?4 ? 2 sin ?

⑴ 以原点为极点、 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; ⑵ 已知 A(?2, 0), B(0, 2) ,圆 C 上任意一点 M ( x, y ) ,求 ? ABM 面积的最大值.

24.(本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲
3 3 2 2 ⑴ 已知 a , b 都是正数,且 a ? b ,求证: a ? b ? a b ? ab ;

⑵ 已知 a, b, c 都是正数,求证:

a 2b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ≥ abc . a?b?c

-5-

银川一中 2015 届高三第四次模拟考试数学(文科)参考答案
一、选择题 题号 答案 1 B 2 B 3 D 4 B 5 C 6 B 7 A 8 C 9 A 10 D 11 C 12 A

二、填空题: 13、1 14、2 15、36 ? 16、4

三、解答题: 17.解: (1)an=3n-2 ???????6 分 (2)由(1)知: bn ? 2 3n? 2 ? 2n .所以,数列{bn}的前 n 项和 Sn=b1+b2+?bn

??8 分

[学科]

? (2 ? 24 ? 27 ?

? 23n?2 ) ? 2(1 ? 2 ?

? n) ??8 分

2(1 ? 8n ) (1 ? n)n ? ? 2? ??10 分 1? 8 2
?
18

2 n (8 ? 1) ? n(n ? 1) 7

???12 分

19、解:

(2)该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

1? 0.2 ? 2 ? 0.1 ? 3 ? 0.375 ? 4 ? 0.25 ? 5 ? 0.075 ? 2.9 ????????8 分
(3)因为两科考试中,共有 6 人得分等级为 A,又恰有两人的两科成绩等级均为 A,

-6-

所以还有 2 人只有一个科目得分为 A, 设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是 A 的同学,则在至少一科成绩等级 为 A 的考生中,随机抽取两人进行访谈,基本事件空间为

? ? { {甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},{丙,丁} } ,有 6 个基本事件
设“随机抽取两人进行访谈,这两人的两科成绩等级均为 A”为事件 B,所以事件 B 中包含的 基本事件有 1 个,则 P( B) ?

1 . ????????12 分 6

20、解:(1)设 C ( x, y ) ,由 OC ? ? OA ? ? OB 可得 ( x, y) ? ? (1,0) ? ? (0, ?2)
?? ? x ?x ? ? ? ?? ?? y 代入 ? - 2? = 1 y ? ? 2 ? ? ?? ? ? ? 2

有 x ? y ? 1 ,即点 C 的轨迹方程为 x ? y ? 1

????4 分

?x ? y ? 1 ? (2)由 ? x 2 ? (a 2 ? b2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 ? a 2 b 2 ? 0 ,设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) y2 ? ? 1 ? 2 b2 ?a
2a 2 a 2 ? a 2 b2 , x1 x2 ? 2 则 x1 ? x2 ? 2 ∵以 MN 为直径的圆过原点 O,? OM ON ? 0 a ? b2 a ? b2

? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? x1 x2 ? (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 1 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 2a 2 a 2 ? a 2b2 ? 1? 2 ?2 2 ?0 a ? b2 a ? b2
2 2 ? a 2 ? b 2 ? 2a b ?0

?

1 1 ? 2 ? 2 为定值 ????8 分 2 a b

(3)

1 1 ? 2 ? 2, 2 a b

a2 ?b ? 2 2a ? 1
2

a ? b ? 0,

a2 ? 2 ? a2 2a ? 1

即a ? 1

3 e? , 2 1

a 2 ? b2 3 ?e ? ? a2 4
2



又a ? 1, ?1 ? a ? 即 2 ? 2a ? 10

3 ?1 ? 2 ? , 2a ? 1 4

10 2

即 2a ? 1 ? 4
2

∴椭圆长轴的取值范围是 (2, 10] 21 、解: ( 1 )求导 f
'

????12 分

? x? ?

a ? 2 x , ? f ' ?1? ? a ? 2 又 f ?1? ? 0 所以曲线 y ? f ? x ? 在点 x

?1, f ?1?? 处的切线方程为 y ? ? a ? 2?? x ?1? 即 ? a ? 2? x ? y ? a ? 2 ? 0 ????4 分
-7-

(2)设 g ? x ? ? f ? x ? ? b ? x ?1? 即 g ? x ? ? 0 在 ? , ?? ? 上恒成立, 又 g ?1? ? 0 有 g ? x ? ? g ?1? 恒成立 即 x ? 1 处取得极小值,得 g ' ?1? ? a ? 2 ? b ? 0 ?6 分

?1 ?e

? ?

a? ? 2 ? x ? 1? ? x ? ? 2? ? ' 所以 b ? a ? 2 ,从而 g ? x ? ? x
(ⅰ) 当

a 1 ?1 ? ? 时,g ? x ? 在 ? ,1? 上单调递减, 在 ?1, ?? ? 上单调递增, 所以 g ? x ? ? g ?1? 即 2 e ?e ?

a?

2 ????8 分 e 1 a ?1 a? ?a ? ? ? 1时, g ? x ? 在 ? , ? 上单调递增,在 ? ,1? 单调递减,在 ?1, ?? ? 上单调递 e 2 ?e 2? ?2 ?

(ⅱ)

增,则只需 g ? ? ? ? (ⅲ)当

?1? ?e?

2 1 a 1 2 ? 2 ? ? 1 ? 0 解得 ? a ? e ? ? 2 ????10 分 e e e e e

a ?1 ? ? a? ? 1 时, , g ? x ? 在 ? ,1? 上单调递增, ?1, ? 单调递减,在 ?1, ?? ? 上单调递增, 2 ?e ? ? 2?

由g? 22.

1 ?a? ? ? g ?1? ? 0 知不符合题意.综上, a 的取值范围是 a ? e ? e ? 2 ????12 分 ?2?

? BD ? OC ,又 AB 【试题解析】 解: (1) 连接 BD, OD,? CB, CD 是圆 O 的两条切线,
为直径,? AD ? DB , AD // OC . ????5 分 (2)由 AD // OC ,??DAB ? ?COB ,? Rt ?BAD ∽ Rt ?COB ,

AD AB ? , AD ? OC ? AB ? OB ? 8 . OB OC
23.【试题解析】解: (1)圆 C 的参数方程为

????10 分

? x ? 3 ? 2 cos? ? ? y ? ?4 ? 2 sin ?

( ? 为参数)

所以普通方程为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 .

? 圆 C 的极坐标方程: ? 2 ? 6? cos? ? 8? sin ? ? 21 ? 0 .
(2)点 M ( x, y ) 到直线 AB : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ?

????5 分

| 2 cos? ? 2 sin ? ? 9 | 2

? ABM 的面积 S ?

1 ? ? | AB | ?d ?| 2 cos ? ? 2 sin ? ? 9 |?| 2 2 sin( ? ? ) ? 9 | 2 4
????10 分
2 2 2 3 3

所以 ? ABM 面积的最大值为 9 ? 2 2

24.【试题解析】解: (1)证明: (a ? b ) ? (a b ? ab ) ? (a ? b)(a ? b) . 因为 a , b 都是正数,所以 a ? b ? 0 .
-8-

又因为 a ? b ,所以 (a ? b)2 ? 0 . 于是 (a ? b)(a ? b)2 ? 0 ,即 (a3 ? b3 ) ? (a2b ? ab2 ) ? 0 所以 a3 ? b3 ? a 2b ? ab2 ;
2 2

????5 分

(2)证明:因为 b ? c ? 2bc, a2 ? 0 ,所以 a2 (b2 ? c2 ) ? 2a 2bc . ① 同理 b2 (a 2 ? c2 ) ? 2ab2c . ②
2 ③ c2 ( a2 ? b2)? 2 a b.c

①②③相加得 2(a2b2 ? b2c2 ? c2a2 ) ? 2a2bc ? 2ab2c ? 2abc2 从而 a2b2 ? b2c2 ? c2a2 ? abc(a ? b ? c) . 由 a, b, c 都是正数,得 a ? b ? c ? 0 ,因此

a 2b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ? abc . ????10 分 a?b?c

-9-


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