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微积分模拟试卷及答案

微积分模拟试卷及答案

一、填空题:(7×4'=28')

1、 lim x sin 1 =

1

x??

x

2、已知函数

f

(x)

?

??(c os x) ? x 2 ?

?1

x?0
在 x=0 连续,则 a=

0

?? a

x?0

3、若 f '(0) =2,则 lim f (x) ? f (0) = 1

x?0

2x

4、曲线 y ? xe x , x ? (??,??) 的拐点坐标为 (-2,-2e-2)

? 5、若 f (x) ? cosxe?xdx ,则 f '(x) =

e-xcosx

6、曲线 exy ? y3 ? 5x ? 0 在(0,-1)处的切线方程为

y ? 2x ?1

7、 y ? 2x2 ? ln x ,则 y 在[1 ,3]上的最小值与最大值

1 ? ln 2 2



3

二、计算题:(7×8'=56')

18 ? ln 3

1、 y ? ln(x ? 1? x2 ) ,求 y'

解: y' ?

1

(x ?

x ? 1? x2

1? 2x

1? x2 ? x

1? x2 )'? 2 1? x2 ? 1? x2 ?

x ? 1? x2 x ? 1? x2

1 1? x2

2、 y ? xcosx ,求 y 的微分 dy

解:? y ? x cos x ? ecos x ln x

y' ? ecosxln x (? sin x ln x ? cosx ) ? xcosx (cosx ? sin x ln x)

x

x

?dy ? xcosx (cosx ? sin x ln x)dx x

3、 lim x?0

1? tan x ? 1? sin x x sin 2 x

1? cosx

? lim

tan x ? sin x

? lim

sin x(

)

c os x

x?0 x sin 2 x( 1 ? tan x ? 1 ? sin x ) x?0 x sin 2 x( 1 ? tan x ? 1 ? sin x )

? lim

1? cosx

? lim

1 x2 2

?1

x?0 x sin x cosx( 1 ? tan x ? 1 ? sin x ) x?0 x2 cosx( 1 ? tan x ? 1 ? sin x ) 4

1

1

1

ln cos x

? sin x

ln cos x

lim

4、 lim (cosx) x ? lim e x

? e x?0 x

lim
? e x?0 cos x

? e0 ?1

x?0

x?0

? ? 5、

dt ?
et ? e?t

et dt ? arctan et ? c 1 ? e2t

6、 ? arccos xdx ? x arccos x ? ? xd arccos x ?x arccos x ? ?

x dx 1? x2

? ? x a r c c ox ?s 1 d(1? x2 ) ? x a r c c ox ?s 1? x2 ? c
2 1? x2

7、
?

dx 1? x ? x2

??

? ? 令x?1 ? 5 t

dx

22

5 ? (x ? 1)2

4

2

dx? 5 dt 2
t ? 2 x?1

5 dt 2

? arcsin t ? c ? arcsin 5 (2x ?1) ? c

5 1?t2

5

2

5

三、证明:(2×8'=16')
1、证明: x ? 0时,1 ? 1 x ? 1 ? x 2

证:令 f (x) ? 1 ? 1 x ? 1 ? x , 则 f '(x) ? 1 ? 1

2

2 2 1? x

? x ? 0,? f '(x) ? 0,则 f (x) 在 (0,??) 上单调增加

又? f (0) ? 1? 0 ?1 ? 0 ,? f (x) ? f (0) ? 0 ,即1? 1 x ? 1? x ? 0 2

?1? 1 x ? 1? x (x ? 0) 2

2、设 a ? b ? 0 ,证明 a ? b ? ln a ? a ? b

a

bb

证:设 f (x) ? ln x

? f (x) ? ln x 在[b,a]上连续,在(b,a)内可导,则 f (x) 在[b,a]上满足 lagrange 定理

? 至少存在一点? ? (b, a) 有 f (a) ? f (b) ? f '(? )(a ? b)

即 ln a ? ln b ? 1 (a ? b) ,?0 ? b ? ? ? a ,? 0 ? 1 ? 1 ? 1

?

a? b

? a ? b ? ln a ? 1 (a ? b) ? a ? b

a

b?

b

即原式成立。

2

3

鱼儿,在水中串上串下,吐着顽皮的泡泡;鸟儿从荷叶上空飞过,想亲吻荷花姑娘的芳泽。四周的花儿,紫的,黄的,白的,红的,竞相开放。大红花儿,张着大嘴,放声歌唱;灯笼花儿,随风摇 坠,四处飘香;剑兰花儿,形态独特,毫不逊色。它们与荷塘之景交相辉映,美不胜收 此时,我的心情兴奋到极点,好久好久没有看过如此美的景色了。若果我有一双会画画的手,我定把这如痴 如醉的荷塘活色生香的描绘一番;若果我有一部高像素的相机,我定不放过每个花开的镜头;若果我是一个诗人,我定把这荷塘每片光鲜艳丽的色泽融入人生的诗篇。我更期待,期待盛夏的荷塘色, 期待那更加妖娆多姿,色泽鲜艳的荷花,期待初夏生机勃勃、挥汗如雨的激情生活!
4

5


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