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福建省福州一中2014届高三5月校质检数学理试题 Word版含答案

福建省福州一中 2014 届高三 5 月校质检数学理试题(WORD 版)

2014.5

该椭圆离心率 e1 与双曲线离心率 e2 必定满足的关系式为

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分 (满分 150 分 考试时间 120 分钟) 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是 符合题目要求的,把答案填在答题卡的相应位置. ) 1. 已知命题 p : ?x ? R , 2 x ? 1 .则 ?p 是 A. ? x ? R , 2 x ? 1 C. ? x ? R , 2 x ? 1 B. ?x ? R , 2 x ? 1 D. ?x ? R , 2 x ? 1

1 3 e1 ? e2 ? 1 4 4 3 1 C. 2 ? 2 ? 1 4e1 4e2
A. 10.设 A1, A2 ,

3 2 1 2 e1 ? e2 ? 1 4 4 1 3 D. ? 2 ?1 2 4e1 4e2
B.

, An 为集合 S ? ?1,2,

, n?的 n 个不同子集 ? n ? 4? ,为了表示这些子集,作 n 行 n 列
? ?0, i ? Aj , 则下列说法正确的个数是 1, i ? A , ? j ?

的数阵,规定第 i 行与第 j 列的数为 aij ? ?

2 2. 设集合 M ? ??1,1? , N ? a ,则“ a ? 1 ”是“ M

? ?

N ? M ”的

①数阵中第 1 列的数全是 0 当且仅当 A1 ? ? ; ②数阵中第 n 列的数全是 1 当且仅当 An ? S ; ③数阵中第 j 行的数字和表明元素 j 属于 A1, A2 , ④数阵中所有的 n 个数字之和不小于 n ; ⑤数阵中所有的 n 个数字之和不大于 n ? n ? 1 .
2
2

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 3. 执行如图所示的程序框图,若输入 A 的值为 2,则输出的 P 值为 A.2 B.3 C.4 D.5

, An 中的几个子集;

2

?y ? 0 ? 4. 设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?x ? y ? 3 ? 0 ?
A. ? 2 B. 3 C. 4 D. 6 5. 在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2, a2 ? a3 ? 13, 则 a4 ? a5 ? a6 等于 A.40 6. 若 sin ? ? ? A. B.42 C.43 D.45

A.2

B. 3

C.4

D. 5

第Ⅱ 卷(非选择题
11.若复数 z ?

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.

i ,则 z 的共轭复数 z =___________. 1? i
2

12. 已知多项式 ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ?

? ?1 ? x ? ? b0 ? b1 x ? b2 x 2 ?
n

? bn x n , 且满足 b1 ? b2 ?

? bn

? ?

??

2 ,则 sin 2? 等于 ?? 4? 4
B. ?

? 26 ,则正整数 n 的一个可能值为___________.
13. 已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 0 , 直线 l : 3x ? y ? 6 ? 2 3 ? 0 , 在圆 C 上任取一点 A , 则点 A C.

3 4

3 4

1 2

D. ?

1 2



直线 l 的距离小于 2 的概率为________.

7. 函数 f ? x ? ?

4x ? 1 的图象 2x
B.关于 x 轴对称 D.关于原点对称

14. 已知 ? x ln x ?? ? ln x ? 1 ,则

?

e

1

ln xdx ? ___________.

A.关于 y 轴对称 C.关于直线 y ? x 对称

15.已知两个非零向量 a 和 b 所成的角为 ? ? 0 ? ? ? ? ? ,规定向量 c ? a ? b ,满足: (1)模: c ? a b sin ? ; (2)方向:向量 c 的方向垂直于向量 a 和 b (向量 a 和 b 构成的平面) ,且符合 “右手定则” :用右手的四指表示向量 a 的方向,然后手指朝着手心的方向摆动

8. 已知平面 ? 外不共线的三点 A, B, C 到 ? 的距离都相等,则正确的结论是 A.平面 ABC 必平行于 ? C.平面 ABC 必不垂直于 ? B.平面 ABC 必与 ? 相交 D.存在 ?ABC 的一条中位线平行于 ? 或在 ? 内

9. 已知共焦点的椭圆和双曲线,焦点为 F1 , F2 ,记它们其中的一个交点为 P ,且 ?F 1PF 2 ? 120 ,则
1

角度 ? 到向量 b 的方向,大拇指所指的方向就是向量 c 的方向. 这样的运算就叫向量的叉乘,又叫外积、向量积. 对于向量的叉乘运算,下列说法正确的是___________. ①a ?a ? 0; ② a ? b ? 0 等价于 a 和 b 共线; ③叉乘运算满足交换律,即 a ? b ? b ? a ;

18. (本小题满分 13 分) 如图,直角三角形 ABC 中, ?B ? 90 , AB ? 1, BC ? 3 .点 M , N 分别在边 AB 和 AC 上( M 点和

④叉乘运算满足数乘结合律,即 ? a ? b ? ? a ? b ? a ? ? b . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答写在答题卡相应位置,应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间 (单位: 分钟) , 并将所得数据绘制成频率分布直方图 (如 图) ,其中上学所需时间的范围是 ?0,100? ,样本数据分组为 ?0,20 ? ,

?

? ? ?

? ?

B 点不重合),将 ?AMN 沿 MN 翻折,?AMN 变为 ?A?MN ,使顶点 A? 落在边 BC 上( A? 点和 B 点不重合).设 ?AMN ? ? . (Ⅰ)用 ? 表示线段 AM 的长度,并写出 ? 的取值范围;
(Ⅱ)求线段 A?N 长度的最小值.

?20,40? ,?40,60? ,?60,80? ,?80,100? ,学校规定上学所需时间不小于

1 小时的学生可以申请在学校住宿. (Ⅰ)求频率分布直方图中 x 的值; (Ⅱ)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数; (Ⅲ)用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,从可以 住宿的学生当中随机抽取 3 人,记 ? 为其中上学所需时间不低于 80 分 钟的人数,求 ? 的分布列及其数学期望.

19. (本小题满分 13 分) 已知抛物线 C 的顶点为坐标原点,其焦点 F ? c,0?? c ? 0? 到直线 l x ? y ? 2 ? 0 的距离为 (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)若 M 是抛物线 C 上异于原点的任意一点,圆 M 与 y 轴相切. (i)试证:存在一定圆 N 与圆 M 相外切,并求出圆 N 的方程; (ii)若点 P 是直线 l 上任意一点, A, B 是圆 N 上两点,且 AB ? ? BN ,求 PA ? PB 的取值范围.

3 2 . 2

17. (本小题满分 13 分) 已知几何体 A ? BCED 的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都 是腰长为 4 的等腰直角三角形,正视图为直角梯形. (Ⅰ)求二面角 E ? AD ? B 的余弦值; (Ⅱ) 试探究在棱 DE 上是否存在点 Q , 使得 AQ ? BQ , 若存在, 求出 DQ 的长;若不存在,请说明说明理由.

2

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ax ? x ln x 的图象在点 x ? e ( e 为自然对数的底数)处的切线斜率为 3. (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若 k ? Z ,且 f ? x ? ? kx ? k 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值; (III)若 ak ? 2 ln 2 ? 3ln 3 ?

? x ? ?2 ? ? ? ? ? y ? ?4 ? ? ?

2 t 2 t是参数 ? ? ,直线 l 与曲线 C 分别交于 M , N . 2 t 2

(Ⅰ)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若 PM , MN , PN 成等比数列,求 a 的值.

? k ln k ? k ? 3, k ? N * ? ,证明: ?

1 ? 1 ?n ? k, n ? N * ? . k ?3 ak
(3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a , b 为正实数. (Ⅰ)求证

n

a 2 b2 ? ? a ? b; b a
2

?1 ? x ? (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论求函数 y ?
x

?

x2 ? 0 ? x ? 1? 的最小值. 1? x

21. 本题有(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果多做, 则按所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号 填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 M ? ? ?1 ?

2 4? 2 0? ,N ?? ? 1 0? , 3? ? ? ? (Ⅰ)求二阶矩阵 X ,使 MX ? N ; 2 2 (Ⅱ)求圆 x + y = 1 在矩阵 X 变换下的曲线方程.
(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线

C : ? sin2 ? ? 2a cos? ? a ? 0? , 已 知 过 点 P ? ?2 ? , ? 4的 直 线 l 的 参 数 方 程 为 :
3

福州一中高考模拟数学试卷(2014 年 5 月)参考答案(理科)
一.选择题 BACDB BADCC 二.填空题

∴ DE ? (0, ?4,3), AB ? (?4, 4, 0) ,

DA ? ? 4, ?4, ?1? , BD ? ? 0,0,1? ……………3 分
设面 ADE 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,面 ABD 的法向量为 m ? ? x?, y?, z?? 则有 ?

1 1? i 11. ;12. 4;13. ;14. 1;15. ①②④ 4 2
三.解答题 16.解: (I)由直方图可得:

? ?n ? DE ? 0 ? ?n ? DA ? 0

,即 ?

??4 y ? 3z ? 0 ? 3 ? ,取 z ? 1 得 n ? ? 1, ,1? , ? 4 ? ?4 x ? 4 y ? z ? 0

20 ? x ? 0.025 ? 20 ? 0.0065 ? 20 ? 0.003 ? 2 ? 20 ? 1 .
所以 x = 0.0125 . (II)设中位数为 y ,则 …………………………………3 分

20 ? 0.0125 ? ? y ? 20? ? 0.025 ? 0.5 ,
解得 y ? 30 所以中位数估计为 30 分钟. .……………6 分 (III)依题意得 ?
3

? ??4 x ? 4 y ? 0 ?m ? AB ? 0 ,即 ? ,取 x ? 1 得 m ? ?1,1,0? ,……………… 6 分 ? z ? 0 m ? BD ? 0 ? ? ? 设二面角 E ? AD ? B 的大小为 ? ,由图可知 ? 为钝角 3 1? n?m 4 ? ? 7 82 故 cos ? ? ? cos n, m ? ? ?? 82 41 n m ? 2 16
∴二面角 E ? AD ? B 的余弦值为 ?

? 1? B ? 3, ? , ? 的所有可能取值为 0,1,2,3, .……………7 分 ? 2?

7 82 .…………………………… 8 分 82

?1? 1 P ?? ? 0 ? ? ? ? ? ?2? 8 ?1? 3 P ?? ? 1? ? C ? ? ? ?2? 8
1 3 3

(II)∵点 Q 在棱 DE 上,∴存在 ? ? 0 ? ? ? 1? 使得 DQ ? ? DE ………………… 9 分

? BQ ? BD ? DQ ? BD ? ? DE ? ? 0,0,1? ? ? ? 0, ?4,3? ? ? 0, ?4? ,3? ? 1?
同理 AQ ? ? ?4,4 ? 4? ,3? ? 1? ………………… 11 分

3 2?1? P ?? ? 2 ? ? C3 ? ? ? ?2? 8 3 ?1? 1 P ?? ? 3? ? ? ? ? .……………11 分 ?2? 8 所以 ? 的分布列为 0 1 2 3 ? 1 3 3 1 P 8 8 8 8 1 3 所以 ? 的数学期望是 E? ? 3 ? ? ..……………13 分 2 2 17. 解: ( I )由三视图知, CA, CB, CE 两两两垂直,以 C 为原点,以
CA, CB, CE
所在直线为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系.……………1 分

3

AQ ? BQ,? AQ ? BQ ? 0
即 ? ?4? ?? 4 ? 4? ? + ? 3? +1? =0
2

解得 ? ?

1 5

所以满足题设的点 Q 存在, DQ 的长为 1.…………………………13 分 18. 解: (I)设 MA ? MA? ? x ,则 MB ? 1 ? x .
z E

在 Rt ?MBA? 中, cos ?? ? 2? ? ? ∴ MA ? x ?
D

1? x , …………………………………2 分 x

则 A (4,0,0) , B (0,4,0) , D (0,4,1) , E (0,0,4)
C

y

1 1 ? . …………………………………4 分 1 ? cos 2? 2sin 2 ? ∵点 M 在线段 AB 上, M 点和 B 点不重合, A? 点和 B 点不重合,
4

B A x

?? ? ? , ? .…………………………………5 分 ?4 2? 2? ?? (II)在 ?AMN 中, ?ANM ? 3 AN MA , ? sin ? ? 2? ? sin ? ?? ? ? 3 ? 1 sin ? ? MA sin ? 1 2sin 2 ? ? .…………… 8 分 AN ? ? ? 2? ? ? 2? ? ? 2? ? sin ? ? ? ? sin ? ? ? ? 2sin ? sin ? ?? ? ? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ?1 ? 3 ? 2? ? ? ? ? ? 2sin ? ? sin ? ? cos ? ? ? sin 2 ? ? 3 sin ? cos ? 令 t ? 2sin ? sin ? 2 ? 3 ? ?2 ?
∴? ? ?

PA ? PB ? PN ? NA ? PN ? NB
2

?

??

?

? PN ? PN ? NA ? NB ? NA ? NB ? PN ? 1 ?3 2 ? ?? ? ?1 ? 2 ? 7 ? 2
所以 PA ? PB 的取值范围是
2 2

?

?

?7 ? , ?? ? .…………13 分 ? ?2 ?

1 3 1 1 ?? ? ? ? sin 2? ? cos2? ? ? sin ? 2? ? ? ………………… 11 分 2 2 2 2 6? ? ? ? ? ? 5? ∵ ?? ? , ∴ ? 2? ? ? . 4 2 3 6 6 ? ? 3 ? 当且仅当 2? ? ? ,即 ? ? 时, t 有最大值 . 6 2 2 3 2 ? ∴ ? ? 时, AN ? 有最小值 .………………… 13 分 3 3
19.解: (Ⅰ) 依题意,设抛物线 C 的方程为

20.解: (I)因为 f ? x ? ? ax ? x ln x ,所以 f ? ? x ? ? a ? ln x ? 1.………………… 1 分 因为函数 f ? x ? ? ax ? x ln x 的图像在点 x ? e 处的切线斜率为 3, 所以 f ? ? e? ? 3 ,即 a ? ln e ? 1 ? 3 . 所以 a ? 1 .………………… 2 分 (II)由(1)知, f ? x ? ? x ? x ln x , 所以 k ?

y 2 ? 4cx ,由

c?0?2 2

?

3 2 结合 c ? 0 ,解得 c ? 1 . 所以 2

f ? x? x ? x ln x 对任意 x ? 1 恒成立,即 k ? 对任意 x ? 1 恒成立.………………… 3 分 x ?1 x ?1
x ? x ln x , x ?1

抛物线 C 的方程为 y ? 4 x . …………4 分
2

令 g ? x? ? 则 g? ? x ? ?

(Ⅱ) (i)设圆 M 与 y 轴的切点是点 M ? ,连结 MM ? 交抛物线 C 的准线 于点 M ?? ,则 MF ? MM ?? ? rM ? 1 ,所以圆 M 与以 F 为焦点,1 为半
2 径的圆相切,圆 N 即为圆 F ,圆 N 的方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 ;…………8 2

x ? ln x ? 2

? x ? 1?

2

,………………… 4 分

令 h ? x ? ? x ? ln x ? 2 ? x ? 1? , 则 h? ? x ? ? 1 ?

分 (ii)由 AB ? ? BN 可知, AB 为圆 N 直径,…………9 分 从而

1 x ?1 ? ?0, x x

所以函数 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增.………………… 5 分 因为 h ?3? ? 1 ? ln3 ? 0, h ? 4? ? 2 ? 2ln 2 ? 0 , 所以方程 h ? x ? ? 0 在 ?1, ?? ? 上存在唯一实根 x0 ,且满足 x0 ? ? 3, 4? .

5

当 1 ? x ? x0时,h( x) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 ,当 x ? x0时,h( x) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 ,6 分 所以函数 g ? x ? ? 所以 ? ? g ? x ?? ?

(2)解: (Ⅰ) y 2 ? 2ax, y ? x ? 2 …………………4 分
? ? x ? ?2 ? ? (Ⅱ)直线 l 的参数方程为 ? ? y ? ?4 ? ? ? 2 t 2 (t 为参数),代入 y 2 ? 2ax 得到 2 t 2

x ? x ln x 在 ?1, x0 ? 上单调递减,在 ? x0 , ??? 上单调递增. x ?1

min

? g ? x0 ? ?

x0 ?1 ? ln x0 ? x0 ?1 ? x0 ? 2 ? ? ? x0 ? ? 3, 4 ? .……… 7 分 x0 ? 1 x0 ? 1

所以 k ? ? ? g ? x ?? ? min ? x0 ? ? 3, 4 ? . 故整数 k 的最大值是 3.………………… 8 分
* (III)由(II)知 x ln x ? 2x ? 3 ? x ? 1? ,取 x ? k k ? 2, k ? N ,则有

t 2 ? 2 2 (4 ? a)t ? 8(4 ? a) ? 0 ,则有 t1 ? t 2 ? 2 2 (4 ? a),t1 ? t 2 ? 8(4 ? a) ,因为
MN ? PM PN ,所以 ? t1 ? t2 ? ? t1t2 ,即 ? t1 ? t2 ? ? 5t1t2 ,即 8 ? 4 ? a ? ? 40 ?4 ? a ?
2 2 2 2

?

?

解得 a ? 1 …………………7 分 (3) (Ⅰ)证明: a ? 0, b ? 0 ,由柯西不等式得

2ln 2 ? 2 ? 2 ? 3,3ln 3 ? 2 ? 3 ? 3,
将上面各式相加得

, k ln k ? 2 ? k ? 3

?b ? a ? ?
2

? a 2 b2 ? ? a b ? 2 ? ??? b? ? a? ? ?a ? b? ? b a? ? b a? ?
a b ? ,即 a ? b . b a a b

2 ln 2 ? 3ln 3 ?
2

? k ln k ? 2 ? 2 ? 3 ?

? k ? ? 3 ? k ? 1? ? k 2 ? 2k ? 1 ? ? k ? 1?

等号成立当且仅当

即 ak ? ? k ? 1? ,故
n

1 1 1 ? ? ? k ? 3? ,所以 2 ak ? k ? 1? ? k ? 1? (k ? 2)
?

?a
k ?3

1
k

?

1 ? a3

?

1 1 1 ? ? ? an 1 ? 2 2 ? 3 1 1 1 ? 1? ? ? ? 2 2 3 1 ? 1? n ?1 ?1

? n ? 1?? n ? 2 ?

1

所以

a 2 b2 ? ? a ? b .…………………4 分 b a
0 ? x ? 1,?1 ? x ? 0
2

1 1 ? ? n ? 2 n ?1

(Ⅱ)解:

?1 ? x ? 由(Ⅰ)知, y ?
x

x2 ? ? 1 ? x ? x ? 1, 1? x
1 时等号成立. 2

当且仅当 1 ? x ? x ,即 x ?

…………………14 分

? 3 ? ?2 ? ? 2 4 21.(1)解: (Ⅰ)法1:由于 ? 2 ,∴M-1= M ?1 ? ? 2 ?, 1 3 1 ?? 1? ? 2 ? ? 3 ? ?2 ? ? ?1 ? 2 0 ? ? ? 1 0 ? ;…………………3 分 ∴X ?M N ? ? 2 ? 1 0? ? 0 0? ? 1 ? ? ? ?? 1 ?? ? 2 ? ?1 (Ⅱ)设圆上任意一点 ? x, y ? 在矩阵 M 对应的变换作用下变为 ? x?, y?? 则

?1 ? x ? 所以函数 y ?
x

2

?

x2 ? 0 ? x ? 1? 的最小值为 1. …………………7 分 1? x

? x? ? x ?1 0 ?? x ? ? x? ? ? x ? ? 0 0 ?? y ? ? ? y? ? ? ? 0 ? 则 ? y? ? 0 , ? ? ?? ? ? ? ? ? 所以作用后的曲线方程为 y = 0(- 1 #x 1) .…………………7 分
6


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