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河南省洛阳市2012届高三上学期期中考试(数学理)


河南省洛阳市 2011—2012 学年高三年级期中考试

数 学 试 题(理)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。共 150 分。考试时间 120 分钟。

第 I 卷(选择题,共 60 分)
注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目用铅笔涂 写在答 题卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮 擦干净 后,再选涂其它答案,不能答在试卷上。 3.考试结束后,将第 II 卷答题卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.函数 y ? lg(1 ? x) 的定义域为 A,函数 y ? 3x 的值域为 B,则 A ? B = ( A. (0,1) 2.若 Z ? ) C.R D. ?

B. (1,3)

?i (i 是虚数单位) ,则复平面内表示复数 z 的点在 2?i
( ) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

3.已知 a,b 是实数,则 " a ? 1, b ? 1" 是“ a ? b ? 2且ab ? 1 ”的 ( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.有七名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲、乙恰好相邻的概率是( )

1 7 5 C. 7
A. 5.右图给出的是计算 写 A. i ? 11 C. i ? 11?

1 1 ? 1 ? ? ?? ? 的值的一个框图,则判断框内可填 2 4 6 20
( B. i ? 10 ? D. i ? 10 ? )

2 7 6 D. 7
B.

-1-

6.设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂 直,那么该双曲线的离心率是 ( ) A. 2 B. 3 C.

3 ?1 2

D.

5 ?1 2

7.如图是一个正三棱柱的三视图,若三棱柱的体积是 8 3 ,则 a= ( A.2 C. 2 3 ) B.6 D. 6 3 )

8.设函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 4ln x, 则f ( x) 的递增区间为( A. (0, ??) C. (2, ??) 9 . 为 了 得 到 函 数 y ? sin(? (

B. (?1, 0), (2, ??) D. (0,1)

1 ? 1 x ? ) 的 图 象 , 只 需 把 函 数 y ? sin( ? x) 的 图 象 2 5 2


? 个长度单位 5 2? C.向左平移 个长度单位 5
A.向左平移

? 个长度单位 5 2? D.向右平移 个长度单位 5
B.向右平移

10.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 M、N、P 三点共线,O 为坐标原点,且

???? ???? ? ??? ? ,则 ON ? a15 OM ? a6 OP (直线 MP 不过点 O) S20 等于
A.10 ( ) B.15 C.20 D.40

11 . 设 偶 函 数 f ( x ) 对 任 意 x ? R 都 有 f ( x ? 6 ) ? f ( x )? f ( 3) 且 当 x ? (?3, ?2) 时 , ,

) f ( x) ? 5x 则 f ( 2 0 1 . 2= ,
A.14
3

( ) B.-14

C.16
2

D.-16

12.已知函数 f ( x) ?| x ? 3x | ,则关于 x 的方程 f ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 恰有 8 个不同实数解 的充要条件是 ( A. 2b ? c ? 4 ? 0 B. ? )

?b ? ?4 ?c ? 0 ?c ? 0 C. ? D. ? ?2b ? c ? 4 ? 0 ?2b ? c ? 4 ? 0 ?2b ? c ? 4 ? 0
-2-

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.若 tan ? ? 2, 则

sin ? ? 3cos ? = 2sin ? ? cos ?



14.若变量 x,y 满足约束条件 ?
n 2 0

?1 ? x ? y ? 3, 则 z ? 4 x ? 2 y 的最大值是 ??1 ? x ? y ? 1.
1 a ) 展开式中常数项是 x



15.设 n ? 9

?

sin xdx ,则二项式 (2 x ?

(填数字) 。

16.已知函数 f ( x) ? ?

?(3 ? a) x ? 4( x ? 6)
x ?6 ?a

( x ? 6)

设 an ? f (n), n ? N * ,若 {an } 是递增数列,则实数

a 的取值范围是 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (sin A, )与n ? (3,sin A ? 3 cos A) 共线,其中 A 是 ?ABC 的内角。 (1)求角 A 的大小; (2)若 BC=2,求 ?ABC 面积 S 的最大值。

??

1 2

?

18. (本小题满分 12 分) 如图所示,在矩形 ABCD 中,AB=4,AD=2,E 是 CD 的中点,O 为 AE 的中点,以 AE 为折痕将 ?ADE 向上折起,使 D 到 P 点位置,且 PC=PB。 (1)求证: PO ? 平面 ABCE; (2)求二面角 E—AP—B 的余弦值;

19. (本小题满分 12 分) 某学生参加跳高和跳远两项体育测试,测试评价设 A,B,C 三个等级,如果他这两 项测试得到 A,B,C 的概率分别依次为 , , 和 , , . (1)求该学生恰好得到一个 A 和一个 B 的概率; (2)如果得到一个 A 记 15 分,一个 B 记 10 分,一个 C 记 5 分,设该学生这两项测试得 分之和为 ? , 求? 的分布列和数学期望。

1 1 1 3 2 6

1 1 1 4 2 4

20. (本小题满分 12 分)
2 已知抛物线 C 的方程为 x ? 2 py( p ? 0) , 为坐标原点, 为抛物线焦点, O F 直线 y ? x

-3-

截 抛物线 C 所得弦 | ON |? 4 2. (1)求抛物线 C 的方程; (2)若直线 l 过点 F 交抛物线于 A,B 两点,交 x 轴于点 M,且 MA ? aAF ,MB ?bBF , 对任意的直线 l , a ? b 是否为定值?若是,求出 a+b 的值;否则,说明理由。 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? mx ? x ln x, 曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线 l 与直线 x ? 2 y ? 1 垂 直。 (1)求直线 l 的方程; (2)若 n(2 x ?1) ? f ( x) 对任意 x ?

????

??? ???? ?

??? ?

1 恒成立,求实数 n 的取值范围; 2

(3)当 b ? a ? 1 时,证明 (ab2b )n ? (ba 2a )b .

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答时, 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22. (本小题满分 10 分) 如图,直线 AB 经过⊙O 上的点 C,并且 OA=OB,CA=CB,直线 OB 交于⊙O 于点 E,D, 连接 EC,CD。 (1)试判断直线 AB 与⊙O 的位置关系,并加以证明; (2)若 tan E ?

1 ,⊙O 的半径为 3,求 OA 的长。 2

23. (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 : x2 ? y 2 ? 1 ,以平面直角坐标系 xOy 的原 点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线

l : ? (2 cos ? sin ? 6. ? ? )
(1)将曲线 C1 上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 3 、2 倍后得到曲线 C2,试 写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C2 的参数方程。

24. (本小题满分 10 分)

-4-

已知函数 f ( x) ?| x ? a | . 不等式 f ( x) ? 3 的解集为 {x | ?1 ? x ? 5} (1)求实数 a 的值; (2)若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? c 2 ? 4c 对一切实数 x 恒成立,求实数 c 的取值范围。

-5-

-6-

-7-

-8-

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