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甘肃省会宁县第一中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试题


会宁一中 2014-2015 高二理科期末试题
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 设 i 是虚数单位,复数 A. 2 B. ? 2

1 ? ai 为纯虚数,则实数 a 为( 2?i
C. ?

)

1 2

D.

1 2

2.双曲线 3mx2-my2=3 的一个焦点是(0,2),则 m 的值是( ) 10 10 A.-1 B. 1 C.- D. 20 2 3.在某项测量中,测量的结果? 服从正态分布 N(a,? 2) (a>0,?>0) ,若? 在 (0,a)内取值的概率为 0.3,则? 在(0,2a)内取值的概率为( ) A.0.8 B.0.6 C.0.4 D.0.3 4.人站成一排,甲乙之间恰有一个人的站法有( ) A.18 B.24 C.36 D.48 5.已知 f(x)=x2+3xf ′(2),则 f ′(2)=( )

A.-2 B. 4 C.0 D. -2 6.直线 y=kx+2 与抛物线 y2=8x 只有一个公共点,则 k 的值为( ) A.1 B. 0 C.1 或 0 D.1 或 3 2 7.已知 a=(x,2,0),b=(3,2-x,x ),且 a 与 b 的夹角为钝角,则实数 x 的取值范 围是( ) A.x>4 B.x<-4 C.0<x<4 D.-4<x<0. 2 9 11 8. 已知 (x + 1) (2x-1) = a0 + a1x + ? + a11x , 则 a1 + a2 + ? + a11 的值为( ) A.3 B. 2 C.1 D.-1 9.从 1、2、3、4、5、6 这六个数字中随机抽出 3 个不同的数,则这 3 个数和为 偶数的概率为( )

5 A、 9

1 B、 2

1 C、 6

5 D、 6

x2 10.设 F1 和 F2 是双曲线 -y2=1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且满足∠F1PF2 4 =90° ,则△F1PF2 的面积为( ) 5 A.1 B. C.2 D. 5 2 11.椭圆长轴和短轴把椭圆分成 4 部分,现有 5 种不同的颜料涂色,要求有公共边 的两块不同色,每块只涂一色,不同的涂色的方法有( ) A、120 种 B、180 种 C、260 种 D、256 种 12.下列论断中错误 的是( ) .. A.a、b、m 是实数,则“am2>bm2”是“a>b”的充分非必要条件; B.命题“若 a>b>0,则 a2>b2”的逆命题是假命题; C.向量 a,b 的夹角为锐角的充要条件是 a ? b>0; D.命题 p:“?x∈R,x2-3 x+2≥0”的否定为?p:“?x∈R,x2-3x+2<0”

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.

? ?x
2 ?2

3

? 1? dx ?
a x

.

8 14.若 ( x ? ) 的展开式中常数项为 1120,其中常数 a 是负数,则展开式各项系

数和是

.

15 . 已 知 经 过 计 算 和 验 证 有 下 列 正 确 的 不 等 式 : 1 ?

1 , 2

1?

1 1 1 1 1 3 1 1 1 ? ? 1,1? ? ??? ? ,1? ? ??? ? 2 , ? , 2 3 2 3 7 2 2 3 15

根据以上不等式的规律,写出一个一般性的不等式 x2 y2 16.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交于 A,B a b 4 两点, 连接 AF, BF.若|AB|=10, |AF|=6, cos∠ABF= , 则 C 的离心率 e=________. 5 三、解答题: (本大题 共 6 个小题,共 70 分) 17. (10 分)已知命题 p: 不等式|x-1|>m-1 的解集为 R, 命题 q: f(x)=-(5-2m)x 是减函数,若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求实数 m 的取值范围.

18. (12 分)通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,其中 60 名男大学生中有 40 人爱好此项运动,女大学生中有 20 人爱好此项运动,其 中 K2 ? P(k2>k )
n(ad ? bc)2 ,附表: (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

0.02 0.01 5 0 0.45 0.70 1.32 2.07 2.70 5.02 6.63 k 3.84 5 8 3 2 6 4 5 能不能有 99% 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05

0.00 5 7.87 9

0.00 1 10.8 3

19. (本题 12 分)已知函数

f ? x ? ? x 2 ? ax ? a ln x ( a ? R ) .

(1)若函数 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值;

(2)在(1)的条件下,求证:

x3 5 x 2 11 f ? x? ? ? ? ? 4x ? ; 3 2 6

20. (本题 12 分)2010 年 6 月 11 日,第十九届世界杯在南非拉开帷幕.比赛前,

某网站组织球迷对巴西、西班牙、意大利、英格兰四支夺冠热门球队进行竞猜, 每位球迷可从四支球队中选出一支球队,现有三人参与竞猜. (1)若三人中每个 人可以选择任一球队,且选择各个球队是等可能的,求四支球队中恰好有两支球 队有人选择的概率; 1 (2)若三人中有一名女球迷,假设女球迷选择巴西队的概率为 ,男球迷选择巴 3 1 西队的概率为 ,记? 为三人中选择巴西队的人数,求? 的分布列和期望. 4

21. (本题 12 分)如图,在正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 中,AA1 = 2 ,AB = 1,E 是 DD1 的中点. A1 (1)求直线 B1D 和平面 A1ADD1 所成角的大小; (2)求证:B1D⊥AE; (3)求二面角 C-AE-D 的大小.
A

D1 B1 E F D B

C1

C

22. 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的右焦点 F1 与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点重 a 2 b2
2 21 . 7

合,原点到过点 A ? a, 0 ? , B ? 0, ?b ? 的直线的距离是 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ) 设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 有且只有一个公共点 P , 过 F1 作 PF1 的垂 线与直线 l 交于点 Q ,求证:点 Q 在定直线上,并求出定直线的方程.

会宁一中 2014-2015 学年度高二期末数学理科模拟试卷

数学答题卡 班级:
题 号 答 案 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 )

姓名:
1 2 3 4 5 6

学号:
7 8 9 10

得分:
11 12

一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 )

13. 15.

14. 16.

三.解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答题写出必要的文字说明、推演步骤) 17. 解:

18. 解:

19. 解:

20. 解:

21. 解:

22. 解:

会宁一中 2014-2015 高二理科期末模拟试题及答案

命题人:卢晓兰 审核人:李兆阳 二、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 设 i 是虚数单位,复数 A. 2

1 ? ai 为纯虚数,则实数 a 为( 2?i
C. ?

A) D.

B. ? 2

1 2

1 2

2.双曲线 3mx2-my2=3 的一个焦点是(0,2),则 m 的值是( A ) 10 10 A.-1 B. 1 C.- D. 20 2 x2 y2 3 1 解析 把方程化为标准形式- 1 + 3 =1,则 a2=-m,b2=-m, - - m m 4 ∴c2=a2+b2=-m=4,∴m=-1. 3.在某项测量中,测量的结果? 服从正态分布 N(a,? 2) (a>0,?>0) ,若? 在 (0,a)内取值的概率为 0.3,则? 在(0,2a)内取值的概率为( B ) A.0.8 B.0.6 C.0.4 D.0.3 4.人站成一排,甲乙之间恰有一个人的站法有( C ) A、 18 B、2 4 C 、3 6 D 、4 8 5.已知 f(x)=x2+3xf ′(2),则 f ′(2)=( D ) A.-2 B. 4 C.0 D. -2

∵f ′(x)=2x+3f ′(2), ∴f ′(2)=4+3f ′(2),∴f ′(2)=-2. 6.直线 y=kx+2 与抛物线 y2=8x 只有一个公共点,则 k 的值为( C ) A.1 B.0 C.1 或 0 D.1 或 3 1 ? ?x= , ?y=2, 解析 验证知,当 k=0 时,有? 2 ?? 2 适合题意. ?y =8x, ? ?y=2. ?y=x+2, ?x=2, 当 k=1 时,有? 2 解得? 也适合题意, ?y =8x, ?y=4. ∴k=0 或 1. 7.已知 a=(x,2,0),b=(3,2-x,x2),且 a 与 b 的夹角为钝角,则实数 x 的取值范 围是( B ) A.x>4 B.x<-4 C.0<x<4 D.-4<x<0. 解析 ∵〈a,b〉为钝角,∴a· b=|a||b|cos〈a,b〉<0,即 3x+2(2-x)<0,∴ x<-4. 8.已知(x2 + 1) (2x-1)9 = a0 + a1x + ? + a11x11,则 a1 + a2 + ? + a11 的值为 ( A ) A.3 B .2 C.1 D.-1

9.从 1、2、3、4、5、6 这六个数字中随机抽出 3 个不同的数,则这 3 个数和为 偶数的概率为( B ) 1 5 1 5 C、 A、 B、 D、 6 9 2 6 2 x 2 10.设 F1 和 F2 是双曲线 -y =1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且满足∠ 4 F1PF2=90° ,则△F1PF2 的面积为( A ) 5 A.1 B. C.2 D. 5 2 ① ?|PF1|-|PF2|=4 解析 由题设知? 2 2 ② ?|PF1| +|PF2| =20 1 ②-①2 得|PF1|· |PF2|=2. ∴△F1PF2 的面积 S= |PF1|· |PF2|=1. 2 11.椭圆长轴和短轴把椭圆分成 4 部分,现有 5 种不同的颜料涂色,要求有公共边 的两块不同色,每块只涂一色,不同的涂色的方法有( C ) A、120 种 B、180 种 C、260 种 D、256 种 12.下列论断中错误 的是( C ) .. A.a、b、m 是实数,则“am2>bm2”是“a>b”的充分非必要条件; B.命题“若 a>b>0,则 a2>b2”的逆命题是假命题; C.向量 a,b 的夹角为锐角的充要条件是 a ? b>0; D.命题 p:“?x∈R,x2-3 x+2≥0”的否定为?p:“?x∈R,x2-3x+2<0” 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.

? ?x
2 ?2

3

? 1? dx ?
a x

4

.

8 14.若 ( x ? ) 的展开式中常数项为 1120,其中常数 a 是负数,则展开式各项系

数和是______38

__

15 . 已 知 经 过 计 算 和 验 证 有 下 列 正 确 的 不 等 式 : 1 ?

1 , 2

1?

1 1 1 1 1 3 1 1 1 ? ? 1,1? ? ??? ? ,1? ? ??? ? 2 , ? , 2 3 2 3 7 2 2 3 15

根 据 以 上 不 等 式 的 规 律 , 写 出 一 个 一 般 性 的 不 等 式 1 1 1 n 1? ? ??? n ? . 2 3 2 ?1 2 x2 y2 16.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交于 a b 4 A,B 两点,连接 AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF= ,则 C 的离心率 e 5 5 =___ _____. 7

本题考查椭圆的几何性质,解三角形问题. 在△ABF 中,由余弦定理得, |AB|2+|BF|2-|AF|2 cos∠ABF= ,∴|BF|2-16|BF|+64=0,∴|BF|=8,设右焦 2|AB|· |BF| 点为 F1, 因为直线过原点,∴|BF1|=|AF|=6,∴2a=|BF|+|BF1|=14,∴a=7, 1 5 ∵O 为 Rt△ABF 斜边 AB 的中点,∴|OF|=2|AB|=5,∴c=5,∴e=7. 三、解答题: (本大题 共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤) 17.(10 分)已知命题 p:不等式|x-1|>m-1 的解集为 R,命题 q:f(x)=-(5 -2m)x 是减函数,若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求实数 m 的取值范围. 解 由|x-1|>m-1 的解集为 R,知 m-1<0, ∴m<1.即 p:m<1. 又 f(x)=-(5-2m)x 是减函数, ∴5-2m>1,即 m<2,即 q:m<2. ?m<1, 若 p 真 q 假,则? m 不存在. ?m≥2, ?m≥1, 若 p 假 q 真,则? ∴1≤m<2. ?m<2, 综上知,实数 m 的取值范围是[1,2). 18. (12 分)通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,其中 60 名男大学生中有 40 人爱好此项运动,女大学生中有 20 人爱好此项运动,其 中 K2 ? P(k2>k )
n(ad ? bc)2 ,附表: (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

0.02 0.01 0.00 5 0 5 0.45 0.70 1.32 2.07 2.70 5.02 6.63 7.87 k 3.84 5 8 3 2 6 4 5 9 能不能有 99% 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 18. 解:列联表: 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05
K2 ? 110 ? (40 ? 30 ? ?20 ? 20) 2 ? 7.8. 60 ? 50 ? 60 ? 50

0.00 1 10.8 3

有 99% 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 19. (本题 12 分)已知函数

f ? x ? ? x 2 ? ax ? a ln x ( a ? R ) .

(1)若函数 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值;

(2)在(1)的条件下,求证:
a x

x3 5 x 2 11 f ? x? ? ? ? ? 4x ? ; 3 2 6

解: (1) f ?( x) ? 2 x ? a ? ,由题意可得 f ?(1) ? 0 ,解得 a ? 1 经检验, a ? 1 时 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,所以 a ? 1 (2)证明:由(1)知, f ( x) ? x 2 ? x ? ln x 令 g ( x) ? f ( x) ? (?
x3 5 x 2 11 x3 3x 2 11 ? ? 4x ? ) ? ? ? 3x ? ln x ? 3 2 6 3 2 6 1 x x3 ? 1 ( x ? 1)3 ? 3( x ? 1) ? ( x ? 0) , x x x3 5 x 2 11 ? ? 4 x ? 成立 3 2 6

由 g ?( x) ? x 2 ? 3x ? 3 ? ?

可知 g ( x) 在 (0,1) 上是减函数,在 (1, ??) 上是增函数 所以 g ( x) ? g (1) ? 0 ,所以 f ( x) ? ?

20. (本题 12 分)2010 年 6 月 11 日,第十九届世界杯在南非拉开帷幕.比赛前, 某网站组织球迷对巴西、西班牙、意大利、英格兰四支夺冠热门球队进行竞猜, 每位球迷可从四支球队中选出一支球队,现有三人参与竞猜(1)若三人中每个人 可以选择任一球队,且选择各个球队是等可能的,求四支球队中恰好有两支球队 有人选择的概率; 1 (2)若三人中有一名女球迷,假设女球迷选择巴西队的概率为 ,男球迷选择巴 3 1 西队的概率为 ,记? 为三人中选择巴西队的人数,求? 的分布列和期望. 4 20.(1)由于三人可等可能的选择四支球队中的任意一支,故恰好有两支球队被 人选择的概率为 P ?
2 C32 A4 9 ? . 3 4 16

(2)记 A 为女球迷选择巴西的事件,B 为男球迷选择巴西的事件,则 2 3 1 1 P(A)= , P( A) ? ,P(B)= , P( B) ? . 分 3 4 3 4
2 3 3 1 3 2 1 1 3 7 ,P(? = 1)= ? ( )2 ? ? C2 ? ? ? , 3 4 8 3 4 3 4 4 16 1 1 1 3 2 1 2 1 1 1 1 P(? = 2)= ? C2 .∴ ? 的分布列为: ? ? ? ? ( ) ? ,P(? = 3)= ? ( ) 2 ? 3 4 48 3 4 4 3 4 6

所以 P(? = 0)= ? ( ) 2 ?

?
P

0
3 8

1 7 16

2
1 6

3
1 48

3 7 1 1 5 则 E? = 0 ? +1 ? + 2 ? + 3 ? = . 48 6 8 16 6
21. (本题 12 分)如图,在正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 中,AA1 = 2 ,AB = 1,E 是 DD1 的中点. (1)求直线 B1D 和平面 A1ADD1 所成角的大小;

D1 A1 E B1

C1

(2)求证:B1D⊥AE; (4)求二面角 C-AE-D 的大小.

F D C B

20. (1)连结 A1D. A ∵ ABCD-A1B1C1D1 是正四棱柱,∴ A1B1⊥平面 A1ADD1, ∴ A1D 是 B1D 在平面 A1ADD1 上的射影, ∴ ∠A1DB1 是直线 B1D 和平面 A1ADD1 所成的角. 在 RtΔB1A1D 中,tan∠A1DB1 =
A1 B1 1 3 , ? ? A1 D 3 3

∴∠A1DB1 = 30° ,即直线 B1D 和平面 A1ADD1,所成的角 30° . (2)在 Rt△A1AD 和 Rt△ADE 中, A A AD ∵ 1 ? ? 2 ,∴△A1AD∽△ADE,于是 ∠A1DA =∠AED.w o AD DE ∴ ∠A1DA +∠EAD =∠AED +∠EAD = 90° ,因此 A1D⊥AE. 由 (1) 知, A1D 是 B1D 在平面 A1ADD1 上的射影, 根据三垂线定理, 得 B1D⊥AE. (3)设 A1D∩AE = F,连结 CF. 因为 CD⊥平面 A1ADD1,且 AE⊥DF,所以根据三垂线定理,得 AE⊥CF, 于是∠DFC 是二面角 C-AE-D 的平面角.w 在 Rt△ADE 中,由 AD ·DE = AE ·DF 在 Rt△FDC 中,tan∠DFC =
CD ? 3, DF

? DF ?

AD ? DE 1 . ? AE 3

∴ ∠DFC = 60° ,即二面角 C-AE-D 的大小是 60° . 另法 ∵ ABCD-A1B1C1D1 是正四棱柱, ∴ DA、DC、DD1 两两互相垂直. 如图,以 D 为原点,直线 DA,DC,DD1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间 直角坐标系. 则 D(0,0,0) ,A(1,0,0) ,B(1,1,0) ,C(0,1,0) ,B1(1,1, 2 ) . (1)连结 A1D,则 A1B1⊥平面 A1ADD1,w ∴ A1D 是 B1D 在平面 A1ADD1 上的射影, 因此∠A1DB1 是直线 B1D 和平面 A1ADD1 所成的角. A1 ∵ A1(1,0, 2 ) , ∴ DA =(1,0, 2 ) , DB1 =(1,1, 2 ) , 1 ∴ cos ? DA1 , DB1 ??
DA1 · DB1 | DA1 | ? | DB1 | ? 3, 2
A x F D B C y z D1 B1 E C1

从而 ∠A1DB1 = 30° ,即直线 B1D 和平面 A1ADD1 所成角的大小是 30° .
? ? ? 2? ?, (2)∵ E 是 DD1 的中点,∴ E ? 0,0, 2 ? ,∴ AE ? ? ? 1,0, ? ? ? 2 ? 2
? ?

?

?

∵ DB1 · AE =-1 + 0 + 1 = 0,∴ B1D⊥AE. (3)设 A1D∩AE = F,连结 CF. ∵ CD⊥平面 A1ADD1,且 AE⊥DF,则由三垂线定理得 AE⊥CF, o*m ∴ ∠DFC 是二面角 C-AE-D 的平面角.
1 2? 根据平面几何知识,可求得 F ? ? ,0, ?, ? ? ?3 3 ?

? ? ? ? ∴ FD ? ? ? 1 ,0,? 2 ?, FC ? ? ? 1 ,1,? 2 ?. ? 3 ? ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ?

∴ cos ? FD, FC ??

FD · FC | FD | ? | FC |

?

1 ,∴ 二面角 C-AE-D 的大小是 60° . 2

22. 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的右焦点 F1 与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点重 2 a b
2 21 . 7

合,原点到过点 A ? a, 0 ? , B ? 0, ?b ? 的直线的距离是 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ) 设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 有且只有一个公共点 P , 过 F1 作 PF1 的垂 线与直线 l 交于点 Q ,求证:点 Q 在定直线上,并求出定直线的方程. 20.(Ⅰ)由于抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点坐标为 (1, 0) ,所以 c ? 1 ,因此 a 2 ? b 2 ? 1 ,……2 分 因为原点到直线 AB : ?
x a

ab 2 21 y , ? ? 1 的距离为 d ? 2 2 7 b a ?b

解得: a 2 ? 4, b 2 ? 3 ,所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 .……………………5 分 4 3

? y ? kx ? m ? (Ⅱ)由 ? x 2 y 2 ,得方程 (4k 2 ? 3) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0 , ( ? )……………6 分 ?1 ? ? 3 ?4

由直线与椭圆相切得 m ? 0 且 ? ? 64k 2 m 2 ?4(4k 2 ? 3)(4m2 ? 12) ? 0 , 整理得: 4k 2 ? m2 ? 3 ? 0 ,……………………8 分 将 4k 2 ? 3 ? m2 , m2 ? 3 ? 4k 2 代入( ? )式得
m 2 x 2 ? 8kmx ? 16k 2 ? 0 ,即 (mx ? 4k ) 2 ? 0 ,解得 x ? ?
4k 4k 3 ,所以 P(? , ) ,……10 分 m m m

又 F1 (1, 0) ,所以 k PF

1

3 3 4k ? m m ? ?? ,所以 k F1Q ? , 4k 4k ? m 3 ? ?1 m

所以直线 F1Q 方程为 y ? 联立方程组 ? ?
?

4k ? m ( x ? 1) ,……………………11 分 3

y ? kx ? m ,得 x ? 4 , 4k ? m y? ( x ? 1) ? 3 ?

所以点 Q 在定直线 x ? 4 上.……………12 分


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