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2017年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题


2017 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题
2017.4
本试题卷分填空题和解答题两部分。全卷共 2 页,满分 200 分,考试时间 120 分钟

第 1 卷 填空题(共 80 分) 一、填空题(本小题共 10 小题,每小题 8 分,共 80 分) 1.设集合 A ? {x | 2 ? x ? a ? 5}, B ? {x |1 ? x ? 8} ,满足 A ? B ,则实数 a 的取值范围是___________. 2.设点 O 是 ?ABC 的外心, AB ? 13, AC ? 12, 则 BC ? AO 为______________。 3.函数 f ( x) ? log 1 ( x 2 ? 2 x ? 3) 的值域为_________________。
2

??? ? ????

4.已知函数 f ( x) ? sin x ? cos( x ? t ) 为偶函数,且 t 满足不等式 t ? 3t ? 4 ? 0 ,则 t 的值是________
2

5.已知函数 f ( x ) 满足 f (1 ? x) ? f (5 ? x) ,且方程 f ( x) ? 0 有 5 个不同的实根

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? ______________。
6. 已 知 当 x ?

?
6

时 , 函 数 y ? s i n x ? a co sx取 最 大 值 , 则 函 数 y ? a sin x ? cos x 图 像 的 对 称 轴 为

_____________。 7.

6 tan100 ? 4 2 cos800 的值等于___________。

8.设 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数, r 为实数,且

17 18 19 97 ] ? [r ? ] ? [r ? ] ? ??? ? [r ? ] ? 357 .则 [1000r ] ? _______。 1000 1000 1000 1000 ? ? ? ? 23 ? 1? ? ?? ? ? ? ? 9. 已知平面向量 a, b, c ,满足 | a |?| b |? 4, a ? b ? ,且 (c ? a) ? (c ? b) ? 0,则 | c ? b | 的最小值为 2 2 [r ?
_____________。 10.设函数 f ( x) ? x ? 2ax ? a ? 6 的两个零点分别为 x1 , x2 ,且在区间 ( x1 , x2 ) 上恰好有两个整数,则实数
2

a 的取值范围_____。

第 2 卷(解答题,共 120 分)
二、解答题(本大题共 5 个小题,前三个小题每题 20 分,后两个小题每题 30 分,共 120 分) 11.已知实数 t 满足关系式 log a
x

t y ? log t 3 (a ? 0, a ? 1) 3 a a

(1)令 t ? a ,求 y ? f ( x) 得表达式; (2)在(1)的条件下,若 x ? (0, 2) 时, ymin ? 8 ,求 a 和 x 的值。 12.已知 0 ? ? ? ? ,函数 f ( x) ?

3 3 cos(2 x ? ? ) ? sin 2 x 的最大值是 。 2 2

(1)求 ? 得值及函数 f ( x ) 的单调减区间; (2)若 f ( x) ? 2m ? 1 在 x ? [ ?

3? ? , ] 上恒成立,求实数 m 的取值范围。 8 12

13.定义在实数集 R 上的函数 f ( x ) 满足: f (1 ? x) ? f (9 ? x) ? f (9 ? x) ,且 f (0) ? 0, f (1) ? 1 。 (1)求 f (2) ; (2)若方程 f ( x) ? 0 在区间 [?2020, 2020] 上有 m 个根,求 m 得最小值。 14.已知非零向量 a, b , | a |? 3,| b |? 4 。 (1)若 a ? b ,且 e 为单位向量,求 y ?| a ? e | ? | b ? e | 的最大值; (2)若对任意单位向量 e ,均有 | a ? e | ? | b ? e |? 6 ,求 a ? b 的取值范围。 15.已知函数 f ( x) ? 9 x2 ? (6 ? a) x ? (a ? b) ,记 M (a, b) ? max | f ( x) | 。
x?[ ?4, ?2]

? ?
?

?

?

?

?

? ?

? ?

?

? ?

? ?

? ?

(1)求 M (a, b) 的最小值,并求实数 a , b 的值; (2)在(1)的条件下,请问函数

y ? [2 ?

4 lg( f ( x) ? 10 ? | f ( x) |)
2 2

][1 ?

4 lg( f ( x) ? 10 ? | f ( x) |)
2

] 在 x ?[?4, ?2] 上是否都有定义,

并求出它在有定义部分的值域。


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