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必修四1.4.1


1.4.1正弦、余弦函

数的图象

学 习 目 标

1、了解利用单位圆中的三角函数线作 正余弦函数图象(难点) 2、会用”五点作图法”作正余弦函数 的简图(重点)
3、掌握正余弦函数图象之间的关系 (难点)

回顾(一)
分别指出 sin a , 数线? y T
P
?
-1 O

cos a , tan a 的三角函
正弦线MP
x

A(1,0)
x

余弦线OM 正切线AT

M

回顾:(二)
? 作函数图象的基本步骤?

作正弦函数 y=sinx (x∈R) 的图象
(一)先作出函数

y ? sin x, x ? ?0,2? ? 的图象

1、描点法

(1).列表
x
y
0
?
1 2

?
3
3 2

?

6

2

2? 3
3 2

5? 6
1 2

?
0

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

0

1

?1 2

?

3 2

? 1 ? 23

?1 2

0

(2).描点

y 10

?

2

?

-

-

-

-

3? 2

2?

x

(3).连线

?1 -

新知新授

? 用正弦函数线画正弦函数

2?]的图 用几何方法作正弦函数y=sinx,x? [0, 象:

? 2? 5? 3 2

? 3

y
?
1
● ● ● ●

y=sinx ( x ? [0, 2? ] )
● ●

?

6

7? 6

4? 3

6 2? 0 ? ? ? 01 11? 6 3 2 6 -1 5 ? 3? 2 3


2? 3

5? 6

?

7? 4? 3? 5? 11? 6 3 2 3 6 2?
● ● ● ● ● ●



x

函数

y ? sin x, x ? ?0,2? ?

图象的几何作法

y

(五点作图法)
1-

y ? sin x, x ? ?0,2? ?
?
6

o
-1 -

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11 ? 6

2?

x

简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)

与x轴的交点

图象的最高点 ( ?

-

(0,0) (? ,0)

(2? ,0)

1) 2 ,

? 图象的最低点 ( 3 2,

? 1)

y

三、正弦函数y=sinx, x∈R的图象
1-

? 6?
-

? 4?
-

? 2?
-

o
-1-

2?

4?

6?
-

-

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以y=sinx的图象在……, …… 与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同 ?? 4? ,?2? ? , ?? 2? ,0?, ?0,2? ?, ?2? ,4? ? ,

-

正弦曲线

-

x

二、作余弦函数 y=cosx (x∈R) 的图象

思考:如何将余弦函数用诱导公式写成正弦函数?

y ? sin(

?
2

? x) ? cos x

注:余弦曲线的图象可以通过将正弦曲线 π 向左平移 个单位长度而得到。余弦函数 2 的图象叫做余弦曲线。

正弦、余弦函数的图象
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ 余弦函数的图象
?
2

正弦曲线

), x?R y
1

形状完全一样 只是位置不同
余弦曲线

-4?

-3?

-2?

-?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

余弦函数的“五点画图法” ? x ? 0 2 1 0 cosx -1 y
1

3? 2

2?

0

1

o
-1

? 2

?

3? 2

2?

x

五点法的规律是: 横轴五点排均匀,上下顶点圆滑行; 上凸下凹形相似, 游走酷似波浪行.

y

五点作图法
1-

y ? sin x, x ? ?0,2? ?
图象的最高点
(? 1) 2 ,
3? 2 5? 3 11 ? 6

o
-1 -

?
6

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

2?

x

简图作法 (五点作图法) (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) y y ? cosx , x ?[0,2π] (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点) 图象的最高点 (0,1)
1-

-

-

与x轴的交点
(0,0) (? ,0) (2? ,0)
( 32?, ? 1)

图象的最低点

与x轴的交点
3? (? 2 ,0) ( 2 ,0)
?
6

(2? ,1)

o
-1 -

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11 ? 6

2?

x 图象的最低点

-

(? ,?1)

例1.作函数y=1+sinx,x∈[0,2π]的简图 ? 3? 解:列表 ? x 0 2 2 sinx 0 1 0 -1 sinx+1 1 2 1 0 用五点法描点做出简图 y

2?

0 1

o

? 2

?

3? 2

2?

x

函数y=1+sinx, x∈[0, 2π]与函数 y=sinx, x∈[0, 2π]的图象之间有何联系?

y

y=1+sinx, x∈[0, 2π]

o

? 2

?

3? 2

2?

x

例2.作函数 y=-cosx, x∈[0, 2π]的简图.

例2(1)按五个关键点列表 0 π/2 x

π
-1

3π/2



cosx
-cosx

1

0

0

1

-1
1
O

0
y

1

0

-1

(2)用五点法 做出简图

?

2?

x

-1
函数y=-cosx,与函数y=cosx, x∈[0,2π] 的 图象有何联系?

.函数y=1-cosx, x∈[0,2π] 的大致图象为(
y 2
1
?

D



y 2
1
? 2

? 2

o 1 y 2 1

?

A
?

3? 2

2?

x ??

o 1 y 2 1

2

? 2

?

B
? 2

3? 2

2?

x

?

? 2

o 1

? 2

3? 2

2?

x ??

o 1

2

?

C

D

3? 2

2?

x

几何作图法(三角函数线)

1. 正弦曲线、余弦曲线作法 描点法(五点法)
y 1
? ? 2

图象变换法
y=cosx,x?[0, 2?]
? 2

o -1

?

3? 2

2?

x

y=sinx,x?[0, 2?]

2.正弦曲线和余弦曲线之间的区别与联系; 3.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系; 4.巩固图象变换的规律:对自变量x“左加右减”, 对函数值f(x) “上加下减”.








X

1.课本习题1.4A组第1题、B组第一题
2.预习三角函数的性质

提高题:当x∈[0,2π ]时,求不等式
1 cos x ? y 2
1
? ? 3 2

的解集.
1 y? 2
π
?? 5? 2π 2 3

O -1

x

? ?? 0 , ? ? ? 3?

? 5? ? , 2 ? ? ? ? 3 ?

变式 当x∈[0,2π ]时,求不等式
1 sin x ? 2 y
1 π O -1
? 6

的解集.
p 3 π 2
2π x

p π 2

5? 6


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