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第二章 平面向量练习一


第二章 第二章

平面向量

练习一 一、选择题 1、若三点 P(1,1) ,A(2,-4) ,B(x,-9)共线,则( A、x=-1 B、x=3 C、x=
9 2

) D、x=51

2、与向量 a=(-5,4)平行的向量是( A、 (-5k,4k) B、(5 4 ,- ) k k

) C、(-10,2) D、(5k,4k)

3、若点 P 分 AB 所成的比为 A、
3 7

3 ,则 A 分 BP 所成的比是( 4 7 7 B、 C、3 3

) D、3 7

4、已知向量 a、b,a· b =-40,|a|=10,|b|=8,则向量 a 与 b 的夹角为( A、60° B、-60° C、120°



D、-120°

5、若|a-b|= 41 ? 20 3 ,|a|=4,|b|=5,则向量 a·b=( A、10 3 B、-10 3 C、10 2

) D、10

6、已知 a=(3,0),b=(-5,5),则 a 与 b 的夹角为( A、

)

π
4

B、

3π 4

C、

π
3

D、

2π 3 )

7、已知向量 a=(3,4),b=(2,-1),如果向量 a+x·b 与 b 垂直,则 x 的值为( A、 23 3 B、 3 23 C、2 D、2 5

8、设点 P 分有向线段 P1 P2 的比是λ,且点 P 在有向线段 P1 P2 的延长线上,则λ的取值范 围是( ) B、(-1,0) C、(-∞,0) D、(-∞,1 ) 2

A、(-∞,-1)

9、设四边形 ABCD 中,有 DC = A、平行四边形

1 AB ,且| AD |=| BC |,则这个四边形是( 2



B、矩形

C、等腰梯形

D、菱形

10、将 y=x+2 的图像 C 按 a=(6,-2)平移后得 C′的解析式为( A、y=x+10 B、y=x-6 C、y=x+6

) D、y=x-10

11、 将函数 y=x2+4x+5 的图像按向量 a 经过一次平移后, 得到 y=x2 的图像, a 等于 则 ( A、(2,-1) B、(-2,1) C、(-2,-1) D、(2,1)



12、已知平行四边形的 3 个顶点为 A(a,b),B(-b,a),C(0,0),则它的第 4 个顶点 D 的坐 标是( ) B、(a-b,a+b) C、(a+b,b-a) D、(a-b,b-a)

A、(2a,b)

二、填空题 则 13、 设向量 a=(2,-1), 向量 b 与 a 共线且 b 与 a 同向, 的模为 2 5 , b= b 。

14、已知:|a|=2,|b|= 2 ,a 与 b 的夹角为 45°,要使λb-a 垂直,则λ=



15、已知|a|=3,|b|=5,如果 a∥b,则 a·b=



16、在菱形 ABCD 中, AB + AD )( AB - AD )= ( ·



三、解答题 17、如图,ABCD 是一个梯形,AB∥CD,且 AB=2CD,M、N 分别是 DC、AB 的中点,已知

AB =a, AD =b,试用 a、b 分别表示 DC 、 BC 、 MN 。

18、已知 a=(1,2),b=(-3,2),当 k 为可值时: (1) ka+b 与 a-3b 垂直; (2) ka+b 与 a-3b 平行,平行时它们是同向还是反向?

19、设 e1 与 e2 是两个单位向量,其夹角为 60°,试求向量 a=2e1+e2,b=-3e1+2e2 的夹角θ。

20、以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB,∠B=90°,求点 B 的坐标

和 AB 。

21、 已知两个向量 a 和 b,求证:|a+b|=|a-b|的充要条件是 a⊥b。

22、已知△ABC 顶点 A(0,0) ,B(4,8) ,C(6,-4) ,点 M 内分 AB 所成的比为 3,N 是 AC 边上的一点,且△AMN 的面积等于△ABC 面积的一半,求 N 点的坐标。

答案: 一、选择题 1、B; 2、A; 3、C; 4、C; 5、A; 6、B; 7、D; 8、A; 9、C; 10、B; 11、A; 12、C;

二、填空题 13、(4,-2) 14、2 15、±15

16、0 三、解答题 17、解: 连结 AC DC =
1 1 AB = a,…… 2 2 1 b- a,…… 2

AC = AD + DC = b+

1 1 a,…… BC = AC - AB = b+ a-a= 2 2

NM = ND + DM = NA+ AD + DM = b-

1 1 a,…… MN =- NM = a-b。…… 4 4

18、解: (1)k·a+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4)。 当(ka+b)·(a-3b)=0 时,这两个向量垂直,∴由 10(k-3)+(2k+2)×(-4)=0……得 k=19。 (2)当 ka+b 与 a-3b 平行,存在惟一的实数λ,使 ka+b=λ(a-3b), 1 ? ?k = ? 3 ?k ? 3 = 10λ ? 解得 ? 由(k-3,2k+2)=λ(10,-4)得 ? ? 2 k + 2 = ? 4λ ?λ = ? 1 ? 3 ? 1 此时- a+b 与 a-3b 反向。 3 19、解:∵a=2e1+e2,∴|a|2=a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1·e2+e22=7,∴|a|= 7 。 同理得|b|= 7 。又 a·b==(2e1+e2) ·(-3e1+2e2,)=-6e12+ e1·e2+2e22=7 , 2

7 a· b 2 =- 1 ,∴θ=120°、 ∴ cosθ= = | a |· | b | 2 7× 7 ?
20、解:如图 8,设 B(x,y),

则 OB =(x,y), AB =(x-4,y-2)。 ∵ ∠ B=90 ° , ∴ OB ⊥ AB , ∴ x(x-4)+y(y-2)=0 , 即 x2+y2=4x+2y。① 设 OA 的 中 点 为 C , 则 C(2,1), OC = ( 2 , 1 ) , CB =(x-2,y-1) ∵ △ ABO 为 等 腰 直 角 三 角 形 , ∴ OC ⊥ CB , ∴

2(x-2)+y-1=0,即 2x+y=5。②

? x1 = 1 ? x2 = 3 或? ∴ B(1,3) 或 B(3,-1) , 从 而 AB =(-3,1) 或 AB = 解得①、②得 ? ? y1 = 3 ? y 2 = ?1
(-1,-3) 21、解: 如图 9, OA =a, OB =b。

(1)充分性:若 OA ⊥ OB ,OBCA 为矩形,则|a+b|=| OC |,|a-b|=| BA | ∵OBCA 为矩形,∴| OC |=| BA |,即|a+b|=|a-b| (2)必要性: ∵|a+b|=| OC |,|a-b|= BA ,且|a+b|=|a-b|,∴| OC |=| BA |, ∴平行四边形 OBCA 为矩形, ∴a⊥b, a 的方向与 b 的方 即 向垂直。 22、解: 如图 10,

S △ AMN S △ ABC

1 | AM |· | AN |· sin ∠BAC | AM |· | AN | 2 = = 。 1 | AB |· | AC | | AB |· | AC |· sin ∠BAC 2 | AM | 3 = ,则由题设条件得 | AB | 4

∵M 分 AB 的比为 3,∴

1 4 | AN | | AN | 2 | AN | = ,∴ = ,∴ =2。 2 3 | AC | | AC | 3 | AC | 0 + 2× 6 ? ? x N = 1 + 2 = 4, ? 由定比分点公式得 ? ? y = 0 + 2 × ( ? 4) = ? 8 . ? N 1+ 2 3 ?


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