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必修5模块期末综合测试卷一及答案(带详解哦)(人教A版)


高中数学必修 5 模块期末综合测试卷一 一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列,则其最小内角的正弦值为( ) 5-1 1- 5 1 A.{eq \f(\r(5)+1,2)| B. | C. | D. | 2 2 2 2. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=-11, 4+a6=-6, a 则当 Sn 取最小值时, 等于( n A.6 B.7 C.8 D.9 1 1 3.不等式 ax2+bx+2>0 的解集是?-2,3?|,则 a+b 的值是( ) ? ? A.10 B.-10 C.-14 D.14 4.已知数列{an}满足 a1=0,an+1=an+2n,那么 a2 009 的值是( ) 2 A.2 009 B.2 008×2 007 C.2 009×2 010 D.2 008×2 009

)

5.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B= 3|ac,则角 B 的值 为( ) π π π 5π π 2π A. | B. | C. |或 | D. |或 | 6 3 6 6 3 3 6.已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6=( ) A.5 2| B.7 C.6 D.4 2|

?y≤1, ? 7.若变量 x,y 满足约束条件?x+y≥0, ?x-y-2≤0, ?

|则 z=x-2y 的最大值为(

)

A.4 B.3 C.2 D.1 8.设{an}是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X,Y,Z,则下列等 式中恒成立的是( ) A.X+Z=2Y B.Y(Y-X)=Z(Z-X) C.Y2=XZ D.Y(Y-X)=X(Z-X) 9.下列命题正确的是( ) A.a,b∈R,且 a>b,则 a2>b2 a b B.若 a>b,c>d,则 |> | c d a b C.a,b∈R,且 ab≠0,则 |+ |≥2 b a D.a,b∈R,且 a>|b|,则 an>bn(n∈N*) 3 10. 在△ABC 中, 已知 a 比 b 长 2, 比 c 长 2, b 且最大角的正弦值是 |, 则△ABC 的面积是( ) 2 15 15 21 35 A. | B. | 3| C. | 3| D. | 3| 4 4 4 4 5 11.已知数列{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和.若 a2·3=2a1,且 a4 与 2a7 的等差中项为 |, a 4 则 S5=( ) A.35 B.33 C.31 D.29 + 12.已知 x,y∈R ,2x+y=2,c=xy,那么 c 的最大值为( ) 1 2 1 A.1 B. | C. | D. | 2 2 4 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把正确答案填在题中横线上) 2π 13.在△ABC 中,若 b=1,c= 3|,∠C= |,则 a=________. 3 14.不等式 ax2+4x+a>1-2x2 对一切 x∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围是________.

?2x-y+2≥0, ? 15.设 x,y 满足约束条件?8x-y-4≤0, ?x≥0,y≥0, ?
则 a+b 的最小值为________.

|若目标函数 z=abx+y(a>0,b>0)的最大值为 8,

1

x2 x3 16.设实数 x,y 满足 3≤xy2≤8,4≤ |≤9,则 4|的最大值是______. y y 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)某单位在抗雪救灾中,需要在 A,B 两地之间架设高压电线,测量人员 在相距 6 000 m 的 C、D 两地(A,B,C,D 在同一平面上)测得∠ACD= 45° ,∠ADC=75° ,∠BCD=30° ,∠BDC=15° (如图).假如考虑到电线 的自然下垂和施工损耗等原因,实际所需电线长度大约是 A、B 两地之 间距离的 1.2 倍, 问施工单位至少应该准备多长的电线(精确到 0.1 m)? (参考数据: 2|≈1.4, 3|≈1.7, 7|≈2.6)

18. (本小题满分 12 分)已知关于 x 的不等式 2x2+(3a-7)x+(3+a-2a2)<0 的解集中的一个元素 为 0,求实数 a 的取值范围,并用 a 表示该不等式的解集. 19.(本小题满分 12 分)已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. (1)求数列{an}的通项; (2)求数列{2an}的前 n 项和 Sn. 20.(本小题满分 12 分)某村计划建造一个室内面积为 72 m2 的矩形蔬菜温室.在温室内,沿左、 右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地.当矩形温室的边长各为多 少时?蔬菜的种植面积最大,最大种植面积是多少? 21.(本小题满分 12 分)某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机,由于这两种产 品的市场需求量非常大,有多少就能销售多少,因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产 品的月供应量,以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力,通 过调查,得到关于这两种产品的有关数据如下表: 单位产品所需资金(百元) 资金 空调机 洗衣机 月资金供应量(百元) 30 20 300 成本 5 10 110 劳动力(工资) 6 8 单位利润 试问:怎样确定两种货物的月供应量,才能使总利润达到最大,最大利润是多少? 22.(本小题满分 14 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn=2n2,{bn}为等比数列,且 a1=b1,b2(a2- a1)=b1. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)设 cn= |,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 高中数学必修 5 模块期末综合测试卷一(答案) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.解析: 设最小内角为 α,则 sin α,cos α,1 成等比数列, 5-1 - 5-1 所以 1-sin2α=sin α,解得 sin α= |或 sin α= |(舍).答案: B 2 2 2.解析: a4+a6=2a5=-6 ∴a5=-3
2

an bn

a5-a1 ∴d= |=2 5-1 n?n-1? ∴Sn=-11n+ |· 2 2 2 =n -12n 故 n=6 时 Sn 取最小值.答案: A 1 1 1 3.解析: 不等式 ax2+bx+2>0 的解集是?-2,3?|,即方程 ax2+bx+2=0 的解为 x=- |或 ? ? 2 1 |, 3

?-2+3=-a, 故? 1 1 2 ?-2×3=a.
1 1 b

|

?a=-12, ? 解得? | ? ?b=-2, ∴a+b=-14. 答案: C 4. 解析: 由已知 an+1-an=2n, 所以 a2-a1=2×1,a3-a2=2×2, a4-a3=2×3,…,an-an-1=2×(n-1), 以上各式两端分别相加得: an-a1=2[1+2+3+…+(n-1)]=n(n-1), 即 an=n(n-1) ∴a2 009=2 008×2 009. 答案: D 5.

sin B 解析: 由余弦定理,得 a2+c2-b2=2accos B.由已知,得 2accos B· |= 3|ac,即 sin B cos B 3 π 2π = |,又 B 是三角形的内角,所以 B= |或 |.故选 D. 2 3 3 答案: D 6. a7·8·9 a a 解析: |=q18=2, a1·2·3 a a ∴q9= 2|, a4·5·6=(a1·2·3)·9=5 2|. a a a a q 答案: A 7. 解析: 作出可行域如图所示

1 1 目标函数 y= |x- |z 2 2 过点 A(1,-1)时 zmax=3
3

答案: B 8. 解析: 易知 X,Y-X,Z-Y 成等比数列 ∴(Y-X)2=X(Z-Y) 化简可得 Y(Y-X)=X(Z-X). 答案: D 9. 解析: a>|b|≥0,故 an>bn. 答案: D 10. 解析: 由题可知 a=b+2,b=c+2, ∴a=c+4. 3 ∵sin A= |,∴A=120° . 2 b2+c2-a2 又 cos A=cos 120° = | 2bc ?c+2?2+c2-?c+4?2 c2-4c-12 1 = |= |=- |, 2 2c?c+2? 2c?c+2? 2 整理得 c -c-6=0, ∴c=3(c=-2 舍去),从而 b=5, 1 15 ∴S△ABC= |bcsin A= | 3|.故选 B. 2 4 答案: B 11. 解析: 设公比为 q, 2 3 a ?a2·3=a1 q =2a1 ? 由题意知? 5 | 3 6 ? ?a4+2a7=a1q +2a1q =2

?a1q =2 ? 即? 3 5 | q3 q3 ? ?a1q +2a1· · =2
1 ? 1 16×?1-25? ?q=2 ? ? 解得? |,故 S5= |=31. 1 ? 1- ?a1=16 2 答案: C 12. 1 解析: 由已知,2=2x+y≥2 2xy|=2 2c|,所以 c≤ |. 2 答案: B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把正确答案填在题中横线上) 13. 解析: ∵c2=a2+b2-2abcos∠C, 2 ∴( 3|)2=a2+12-2a· cos |π, 1· 3 ∴a2+a-2=0, ∴(a+2)(a-1)=0 ∴a=1 答案: 1 14. 解析: 不等式 ax2+4x+a>1-2x2 对一切 x∈R 恒成立, 即(a+2)x2+4x+a-1>0 对一切 x∈R 恒成立.
4

3

若 a+2=0,则 4x-3>0,显然不恒成立; ?a+2>0, ? 若 a+2≠0,则? | ? ?Δ<0,
? ?a+2>0, 即? 2 |解得 a>2. ?4 -4?a+2??a-1?<0, ? 答案: (2,+∞) 15. 解析: 可行域如图所示 目标函数 y=-abx+z ∵a>0,b>0 ∴斜率-ab<0 ∴直线过 A(1,4)时 z 取到最大值 8 ∴ab=4

∴a+b≥2 ab|=4(当且仅当 a=b=2 时等号成立) ∴a+b 的最小值为 4. 答案: 4 16. 1 1 1 解析: 由 3≤xy2≤8 得 |≤ 2|≤ |① 8 xy 3 x2 x4 由 4≤ |≤9 得 16≤ 2|≤81② y y x3 ①×②得 2≤ 4|≤27 y ∴最大值为 27 答案: 27 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.解析: 在△ACD 中∠CAD=180° -∠ACD-∠ADC=60° , CD=6 000,∠ACD=45° , CDsin 45° 2 根据正弦定理,得 AD= |= |CD. sin 60° 3 在△BCD 中,∠CBD=180° -∠BCD-∠BDC=135° ,CD=6 000, ∠ BCD=30° , CDsin 30° 2 根据正弦定理,得 BD= |= |CD. sin 135° 2 又在△ABD 中,∠ADB=∠ADC+∠BDC=90° , 2 1 根据勾股定理,得 AB= AD2+BD2|= + |CD=1 000 42|, 3 2 而 1.2AB≈7 425.6,则实际所需电线长度约为 7 425.6 m. 18. 解析: 原不等式即(2x-a-1)(x+2a-3)<0, 由 x=0,适合不等式,故(0-a-1)(2a-3)<0, 3 即(a+1)(2a-3)>0,∴a> |或 a<-1. 2 a+1 5 3 5 若 a> |,则-2a+3- |= |(1-a)<- |, 2 2 2 4 a+1? ∴不等式的解集为?3-2a, |; 2 ? ? a+1 5 若 a<-1,则-2a+3- |= |(1-a)>5, 2 2 a+1 ? ∴不等式的解集为? ? 2 ,3-2a?|.
5

3 综上,a 的取值范围是(-∞,-1)∪?2,+∞?|. ? ? a+1? 3 当 a> |时,不等式的解集为?3-2a, |. 2 2 ? ? a+1 ? 当 a<-1 时,不等式的解集为? ? 2 ,3-2a?|. 19.解析: (1)由题设知公差 d≠0, 1+2d 1+8d 由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得 |= |, 1 1+2d 解得 d=1,d=0(舍去),故{an}的通项 an=1+(n-1)×1=n. (2)由(1)知 2an=2n,由等比数列前 n 项和公式得 n + 2 3 n 2?1-2 ? Sn=2+2 +2 +…+2 = |=2n 1-2. 1-2 20.解析: 设矩形温室的左侧边长为 a m,后侧边长为 b m,则 ab=72,蔬菜的种植面积 S =(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=80-2(a+2b)≤80-4 2ab|=32(m2) 当且仅当 a=2b,即 a=12,b=6 时,Smax=32. 答:矩形温室的边长为 6 m,12 m 时,蔬菜的种植面积最大,最大种植面积是 32 m2. 21. 解析: 设空调机、洗衣机的月供应量分别是 x,y 台,总利润是 z,则 z=6x+8y

?30x+20y≤300, ?5x+10y≤110, 由题意有? x≥0, ?y≥0, ?

|x,y 均为整数.

3 1 由图知直线 y=- |x+ |z 过 M(4,9)时, 纵截距最大. 这时 z 也取最大值 zmax=6×4+8×9=96(百 4 8 元). 故当月供应量为空调机 4 台,洗衣机 9 台时,可获得最大利润 9 600 元. 22.解析: (1)当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2, 当 n=1 时,a1=S1=2 满足上式, 故{an}的通项式为 an=4n-2. 1 1 设{bn}的公比为 q,由已知条件 b2(a2-a1)=b1 知,b1=2,b2= |,所以 q= |, 2 4 1 2 - ∴bn=b1qn 1=2× n-1|,即 bn= n-1|. 4 4 an 4n-2 - (2)∵cn= |= |=(2n-1)4n 1, bn 2 - 4n 1 - ∴Tn=c1+c2+…+cn=[1+3×41+5×42+…+(2n-1)4n 1]. -1 4Tn=[1×4+3×42+5×42+…+(2n-3)4n +(2n-1)4n]. 两式相减得: - 3Tn=-1-2(41+42+43+…+4n 1)+(2n-1)4n 1 = |[(6n-5)4n+5]. 3
6

1 ∴Tn= |[(6n-5)4n+5]. 9

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