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2014高考数学复习大串讲 第55课时--轨迹和对称问题

课题:轨迹和对称问题 教学目标:掌握轨迹问题及对称问题的基本解法 (一)

主要知识及主要方法:

1. 求轨迹方程常用的方法:?1? 定义法;? 2 ? 利用图形的几何性质;? 3? 轨迹法; ? 4 ? 参数法;? 5 ?
代入法; ? 6 ? 待定系数法; ? 7 ? 交轨法; ? 8 ? 向量法.要注意“查漏补缺,剔除多余”.

2. 对称分为中心对称和轴对称.中心对称问题常利用中点坐标公式解决;解决轴对称问题常根
据下列两个条件:①垂直.即已知点和对称点的连线与对称轴垂直;②中点.即已知点和对称点 的中点在对称轴上.

(二)典例分析: 问题 1. ( 07
北京)矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M (2, 0) , AB 边所在直线的方程

为 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,点 T (?11) , 在 AD 边所在直线上.

0) , ?1? 求 AD 边所在直线的方程;? 2 ? 求矩形 ABCD 外接圆的方程;? 3? 若动圆 P 过点 N (?2,
且与矩形 ABCD 的外接圆外切,求动圆 P 的圆心的轨迹方程.

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问题2. ( 07 福建)如图,已知点 F (1, 0) ,
直线 l : x ? ?1 , P 为平面上的动点,过 P 作直线

l

y

F

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? l 的垂线,垂足为点 Q ,且 QP? QF ? FP?FQ .
(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A, B 两点,交直线 l 于点 M ,已知 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,求 ?1 ? ?2 的值;

?1 O

1

x

????

??? ?

????

??? ?

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问题 3.倾斜角为 ? 的直线交椭圆
4

x2 ? y 2 ? 1 于 A, B 两点,求线段 AB 中点的轨迹方程 4

问题 4. ?1? 双曲线

x2 y 2 ? ? 1 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 对称的曲线方程是 4 3

? 2 ? 已知抛物线 y 2 ? 2 x ? 1 ,A ? 2, 0 ? .问是否存在过 A 点的直线 l ,使抛物线上存在不同的两
点关于直线 l 对称?如果存在,求出直线 l 斜率的取值范围;如果不存在,请说明理由.

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(三)课后作业:
1. 已知动点 P ? x, y ? 满足 10

? x ? 1? ? ? y ? 2 ?
2

2

? 3 x ? 4 y ,则 P 点的轨迹是

A. 椭圆

B. 双曲线

C. 抛物线

D. 两相交直线

??? ? ??? ? 2. ( 04 辽宁)已知点 A(?2,0) 、 B(3,0) ,动点 P( x, y ) 满足 PA ? PB ? x 2 ,则点
P 的轨迹是

A. 圆

B. 椭圆

C. 双曲线

D. 抛物线

3. 在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,已知 A ? 3,1? , B ?1, ?3? ,若点 C 满足 ???? ??? ? ??? ? OC ? ? OA ? ? OB ,其中 ? , ? ? R ,且 ? ? ? ? 1 ,则点 C 的轨迹方程是

4. 已知点 P( x, y ) 在以原点为圆心的单位圆上运动,则点 Q( x ? y, xy ) 的轨迹是 A. 圆 B. 抛物线 C. 椭圆 D. 双曲线

5. ⊙C : ( x ? 3 ) 2 ? y 2 ? 16 内部一点 A

?

3, 0 与圆周上动点 Q 连线 AQ 的中垂线

?

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交 CQ 于 P ,求点 P 的轨迹方程.

6. 已知圆 C1 : ? x ? 3? ? y 2 ? 1 和圆 C2 : ? x ? 3? ? y 2 ? 9 ,动圆 M 同时与 C1 与圆 C2 相外 切,求动圆圆心 M 的轨迹.
2 2

7. 已知椭圆 C :

y ? 4 x ? m 对称.

x2 y 2 ? ? 1 ,试确定 m 的取值范围,使得椭圆上存在两个不同的点关于直线 4 3

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8. 设椭圆与双曲线有公共的焦点 F1 ? ?4, 0 ? , F2 ? 4, 0 ? ,并且椭圆的长轴长是双曲线实轴长的 2 倍,试求椭圆与双曲线交点的轨迹.

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(四)走向高考:
9. ( 07 天津)设椭圆
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,A 是椭圆上的一点, a 2 b2

1 (Ⅰ)证明 a ? 2b ; AF2 ? F1 F2 ,原点 O 到直线 AF1 的距离为 OF1 . 3
(Ⅱ)设 Q1,Q2 为椭圆上的两个动点, OQ1 ? OQ2 ,过原点 O 作直线 Q1Q2 的垂线 OD ,垂 足为 D ,求点 D 的轨迹方程.

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???? ??? ? 如图,三定点 A ? 2,1? , B ? 0, ?1? , C ? ?2,1? ; 三动点 D, E , M 满足 AD ? t AB , 10.( 06 陕西) ??? ? ??? ? ???? ? ???? BE ? t BC , DM ? t DE , t ? ? 0,1? ,(Ⅰ) 求动直线 DE 斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点 M 的
轨迹方程.

y
C

D
O

A

?2

?1
E

M
B

1

2 x

-1

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