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2014年新课标2卷高考理科数学试题及答案


2014 年普通高等学校招生全国统一考试 理科
(新课标卷二Ⅱ) 第Ⅰ卷 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.设集合 M={0,1,2} ,N= ?x | x2 ? 3x ? 2≤0? ,则 M ? N =( ) A. {1} B. {2} C. {0,1} D. {1,2} )

2.设复数 z1 , z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,zxxk z1 ? 2 ? i ,则 z1 z2 ? ( A. - 5 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i 3.设向量 a,b 满足|a+b|= 10 ,|a-b|= 6 ,则 a ? b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 4.钝角三角形 ABC 的面积是 1 ,AB=1,BC= 2 ,则 AC=( ) 2 A. 5 C. 2 D. 1 B. 5

5.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75,连续两为优良 的概率是 0.6, 已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气 质量为优良的概率是( ) A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 6.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm),图中粗 线画出的是某零件的三视图, 该零件由一个底面半径为 3cm,高 为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛 坯体积的比值为( ) A. 17 B. 5 C. 10 D. 1 27 9 3 27 7.执行右图程序框图,如果输入的 x,t 均为 2,则输出的 S= ( A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 )

8.设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a= A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
? x ? y ? 7≤0 ? 9.设 x,y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1≤0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?3 x ? y ? 5≥0 ?

( ) A. 10

B. 8

C. 3

D. 2

10.设 F 为抛物线 C: y 2 ? 3x 的焦点, 过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点, O 为坐 标原点,则△OAB 的面积为( ) A.
3 3 4

B.

9 3 8

C.

63 32

D. 9 4

11.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1, 则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为( )
30 B. 2 C. D. 2 2 5 10 2 f ? x0 ? ? ? m2 ,则 m 的取 12.设函数 f ? x ? ? 3 sin ? x .若存在 f ? x ? 的极值点 x0 满足 x0 2 ? ? ? ? m 值范围是( ) A. ? ??, ?6? ? ? 6, ?? B. ? ??, ?4? ? ? 4, ?? C. ? ??, ?2? ? ? 2, ??

A. 1 10

D. ? ??, ?1? ? ? 4, ?? 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答.本试题由 http://gaokao.ccutu.com 整理 二.填空题 13. ? x ? a ? 的展开式中, x 7 的系数为 15,则 a=________.(用数字填写答案)
10

14.函数 f ? x ? ? sin ? x ? 2? ? ? 2sin ? cos ? x ? ? ? 的最大值为_________. 15. 已知偶函数 f ? x ? 在 ?0, ??? 单调递减, f ? 2? ? 0 . 若 f ? x ?1? ? 0 ,则 x 的取值范围是 __________. 16.设点 M( x0 ,1) ,若在圆 O: x 2 ? y 2 ? 1上存在点 N,使得 zxxk∠OMN=45°,则 x0 的取值 范围是________. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 =1, an?1 ? 3an ? 1 . (Ⅰ)证明 an ? 1 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式; 2

?

?

(Ⅱ)证明: 1 ? 1 ? …+ 1 ? 3 . a1 a2 an 2 18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面 AEC; (Ⅱ)设二面角 D-AE-C 为 60°,AP=1,AD= 3 ,求三棱锥 E-ACD 的体积.

19. (本小题满分 12 分) 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯 入 y(单位:千元)的数据如下表: 年份 2007 年份代号 t 1 人均纯收入 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9



y

(Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入 的变化情况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
b?
?

? ? t ? t ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

? ?t ? t ?
i ?1 i

n

2

? ? ? y ? bt ,a

20. (本小题满分 12 分)
2 y2 设 F1 , F2 分别是椭圆 C: x2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的左,右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂 a b 直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. (Ⅰ)若直线 MN 的斜率为 3 ,求 C 的离心率; 4 (Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN ? 5 F1N ,求 a,b.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? = e x ? e ? x ? 2 x zxxk (Ⅰ)讨论 f ? x ? 的单调性; (Ⅱ)设 g ? x ? ? f ? 2x ? ? 4bf ? x ? ,当 x ? 0 时, g ? x ? ? 0 ,求 b 的最大值; (Ⅲ)已知 1.4142 ? 2 ? 1.4143 ,估计 ln2 的近似值(精确到 0.001)

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,有途高考网同按所做的第一题计 分,做答时请写清题号. 22.(本小题满分 10)选修 4—1:几何证明选讲 如图,P 是 O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与 相交于点 B,C,PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延长线交 于点 E.证明: (Ⅰ)BE=EC; (Ⅱ)AD ? DE=2 PB 2

O O

23. (本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos? ,

? 2? (Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到的 参数方程,确定 D 的坐标.
24. (本小题满分 10)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? = x ? 1 ? x ? a (a ? 0) a (Ⅰ)证明: f ? x ? ≥ 2; (Ⅱ)若 f ? 3? ? 5 ,求 a 的取值范围.

? ? .zxxk ? ?? ?0, ?

2014 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案
一、 选择题 (1)D (2)A (3)A (4)B (5)A ( 8)D (9)B (10)D (11)C 二、 填空题
1 2

(6)C (12)C

(7)D

(13)

(14)1

(15) (-1,3)

(16)[-1,1]

三、解答题 (17)解: (1)由 am?1 ? 3am ? 1得 am ?1 ?
1 1 ? 3(am ? ). 2 2

1 3 1 3 ? ,所以,{ am ? } 是首项为 ,公比为 3 的等比数列。 2 2 2 2 m 1 3 3m ? 1 am ? = ,因此{ an }的通项公式为 am = 2 2 2 2 1 (2)由(1)知 = m am 3 ? 1 1 1 ? 因为当 n ? 1 时, 3m ? 1 ? 2 ? 3m?1 , 所以, m 3 ? 1 2 ? 3m ?1 3 1 3 1 1 1 1 1 于是, ? ? ? ? 1 ? ? ? m?1 = (1 ? m ) ? 2 3 2 a1 a2 am 3 3 1 1 1 3 所以, ? ? ? ? a1 a2 am 2

又 a1 ?

(18)解: (1)连结 BD 交 AC 于点 O,连结 EO 因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点 又 E 为的 PD 的中点,所以 EO PB EO ? 平面 AEC,PB ? 平面 AEC,所以 PB 平面 AEC (2)因为 PA ? 平面 ABCD,ABCD 为矩形,所以 AB,AD,AP 两两垂直 如图,以 A 为坐标原点, AB 的方向为 x 轴的正方向, AP 为单位长,建立空间直角坐标
3 1 , ), AE =(0, 2 2

系,则 A—xyz,则 D(0, 3 ,0),则 E(0, 设 B(m,0,0)(m>0),则 C(m, 3 ,0) 设 n(x,y,z)为平面 ACE 的法向量, mx ? 3 y ? 0 n1 ? AC ? 0 则{ 即{ 3 1 n1 ? AE ? 0 y? z ?0 2 2 3 可取 n1 =( ,-1, 3 ) m 又 n1 =(1,0,0)为平面 DAE 的法向量, 1 由题设 cos(n1, n2 ) = ,即 2 1 3 3 = ,解得 m= 2 2 3 ? 4m 2

3 1 , ) 2 2

因为 E 为 PD 的中点,所以三棱锥 E-ACD 的高为 V=
1 1 3 1 3 ? ? 3? ? = 3 2 2 2 8

1 ,三棱锥 E-ACD 的体积为 2

19 解:

(1) 由所得数据计算得 1 t = (1+2+3+4+5+6+7)=4, 7 1 y = (2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3 7

? (t
i ?1
7

7

1

? t ) 2 =9+4+1+0+1+4+9=28
? t )( y1 ? y)

? (t
i ?1
7

1

=(-3) ?(-1.4) + (-2)?(-1) + (-1)?(-0.7) +0 ? 0.1+1 ? 0.5+2 ? 0.9+3 ? 1.6=14, b=

? (t
i ?1

1

? t )( y1 ? y )

? (t
i ?1

7

=
? t )2

14 =0.5 28

1

a= y -b t =4.3-0.5 ? 4=2.3 所求回归方程为 y =0.5t+2.3 (Ⅱ)由 (Ⅰ) 知, b=0.5>0,故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加, 平均每年增加 0.5 千元. 将 2015 年的年份代号 t=9 代入(1)中的回归方程,得 y=0.5×9+2.3=6.8 故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元 (20)解: (Ⅰ)根据 c= 以及题设知 M(c, ) ,2 =3ac

将 = - 代入 2 =3ac,解得 = , =-2(舍去) 故 C 的离心率为 (Ⅱ) 由题意, 原点 O 的 的中点,故 =4,即 由 = 得 ① = 即 的中点,M ∥y 轴,所以直线 M 与 y 轴的交点 D 是线段 M

设 N(x,y) ,由题意可知 y<0,则 代入方程 C,得 将①以及 c= 解得 a=7, + =1 ② + =1

代入②得到

a=7, (21)解 (Ⅰ) + -2≥0,等号仅当 x=0 时成立,所以 f(x)在(—∞,+∞)单调递增 (Ⅱ)g(x)=f(2x)-4bf(x)= -4b( - )+(8b-4)x (x)=2[ + + ]=2( + )( + ) (1) 当 b ? 2 时,g’(x) ? 0,等号仅当 x=0 时成立,所以 g(x)在(- ? ,+ ? )单调递增, 而 g(0)=0,所以对任意 x>0,g(x)>0; (2) 当 b>2 时,若 x 满足,2< e x ? e? x <2b-2 即 0<x<ln(b-1+ b2 ? 2b )时 g’(x)<0,而 g(0)=0,因此当 0<X ? ln(b-1+ b2 ? 2b )时,g(x)<0 综上,b 的最大值为 2 3 (3) 由(2)知,g(ln 2 )= -2 2 b+2(2b-1)ln2 2 3 8 2 ?3 当 b=2 时,g(ln 2 )= -4 2 +6ln2>0,ln2> >0.6928 2 12 3 2 当 b= +1 时,ln(b-1+ b2 ? 2b )=ln 2 4 3 g(ln 2 )= -2 2 +(3 2 +2)ln2<0 2 18 ? 2 in2< <0.693 28 (22)解: (1)连结 AB, AC 由题设知 PA= PD,故 PAD= PDA 因为 PDA= DAC+ DCA PAD= BAD+ PAB DCA= PAB 所以 DAC= BAD,从而。 。 。 。 。 。 。 因此 = (2)由切割线定理得 PA2 =PB*PC 因为 PA=PD=DC,所以 DC=2PB,BD=PB 由相交弦定理得 AD*DE=BD*DC 所以,AD*DE=2 PB 2 (23)解: (1)C 的普通方程为 + =1(0 可得 C 的参数方程

) (t 为参数,0

(Ⅱ)设 D(1+cost,sint).由(Ⅰ)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆。 因为 C 在点 D 处的切线与 I 垂直,所以直线 GD 与 I 的斜率相同。

tant= ,t=π /3. 故 D 的直角坐标为(1+cosπ /3,sinπ /3),即(3/2,

/2).

(24)解: (Ⅰ)由 a>0,有 f(x)=|x+1/a|+|x-a|≥|x+1/a-(x-a)|=1/a+a≥2. 所以 f(x)≥2. (Ⅱ)f(x)=|3+1/a|+|3-a|. 当 a>3 时,f(3)=a+1/a,由 f(3)<5 得 3<a< 当 0<a≤3 时,f(3)=6-a+ ,f(3)<5 得 综上所诉,a 的取值范围为( ) <a≤3


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